Множества и операции над множествами

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

( Георг Кантор)

КАНТОР (Cantor) Георг (1845—1918) -

немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19— 20 вв .

Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года .

Кантора заинтересовал вопрос, каких чисел больше – натуральных или действительных?

В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ РАЗМИНКА

• 1. Что означает слово « множество »?

• (Множество – это набор или совокупность предметов одинаковой природы).

• 2. Как различаются множества по числу элементов?

• (Множества бывают конечные, бесконечные и пустое множество).

• 4. Какими способами можно задать множество?

• ( Множество можно задать перечислением, с помощью характеристического свойства, графически).

• 5.Какое свойство называется характеристическим свойством?

• ( Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты).

ПОНЕДЕЛЬНИК

ВТОРНИК

ВОСКРЕСЕНЬЕ

МНОЖЕСТВО ДНЕЙ НЕДЕЛИ

СРЕДА

СУББОТА

ЧЕТВЕРГ

ПЯТНИЦА

МНОЖЕСТВО ПЛАНЕТ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

ЯНВАРЬ

ДЕКАБРЬ

ФЕВРАЛЬ

НОЯБРЬ

МАРТ

ОКТЯБРЬ

МНОЖЕСТВО МЕСЯЦЕВ

АПРЕЛЬ

СЕНТЯБРЬ

МАЙ

АВГУСТ

ИЮНЬ

ИЮЛЬ

МНОЖЕСТВО ЗНАКОВ ЗОДИАКА

множества

• конечные
• бесконечные

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

Множество можно задать…

Графически

Перечислив все его

Указав характеристическое

свойство его элементов

элементы

Множество ЧЁТНЫХ чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, - «ДЕЛИТСЯ НА 2» .

Круги Эйлера

А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B = {Маша, Даша, Саша}

Исторические личности в развитии математики

• Леонард Эйлер(1707-1783)- швейцарский, немецкий и российский математик

• Леонард Эйлер  (1707-1783) – швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внесший огромный вклад в развитие этих наук.
• Жизнь Леонарда Эйлера была полна удивительных открытий, принесших человечеству огромную пользу. Его масштабный вклад в развитие математики, механики, физики и астрономии невозможно переоценить, а его познания в самых разнообразных отраслях науки вызывают восхищение. За всю свою жизнь он издал более 850 трудов, в которых содержатся глубокие исследования ботаники, химии, медицины, древних языков. Имел членство во многих Академиях наук по всему миру.

• Круги Эйлера — это геометрическая схема, которую можно применять для наглядного отображения отношений между множествами. Диаграммы разработал известный математик и механик, чьим именем и назван метод. Учёный считал, что его подход облегчает размышления человека.

Два множества  А  и  В  называются равными

(  А  =  В  ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

Если каждый элемент множества А является

элементом множества В, то множество А называется подмножеством В.

Обозначение: А  В.

Знак «  » - знак включения.

Символическая форма задания множеств

А – это множество всех натуральных чисел, больших 3 и меньших 10 можно записать таким образом:

• А = { х|х Є N , 3

всех

больших

А

это

натуральных

чисел

меньших

множество

• Какие операции можно выполнять над множествами?

I. Объединение множеств

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

С=А∪В

С={2,4,5,6,7,8,9}

А={2,4,6,8}

В={5,6,7,8,9}

А

2

4 6 8

5

7

9

В

II. Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

А={2,4,6,8}

В={5,6,7,8,9}

С=А∩В

С={6,8}

2

4

А

6

8 7 5

9

В

III. Вычитание множеств

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

А\В={a, d}

Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

a

d

В

А

b

c

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО

УПРАЖНЕНИЕ № 1

• Множество задано путем перечисления своих элементов. Придумайте какое-нибудь его словесное описание.

• {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
• {A, B, C, D, E, … X, Y, Z};
• {0, 2, 4, 6, 8}.

УПРАЖНЕНИЕ № 2

• Даны множества:
• А = {2, 5, 0, 11, 12, 19},
• В = {2, 7, 8, 12, 13, 9, 0}.
• Найдите множества A  В, А  В, А\В, В\А.

Ответы:

A  В= {2, 0, 12},

А  В= {2, 5, 0, 11, 12, 19, 7, 8, 13, 9},

А\В = { 5, 11, 19},

В\А = { 7, 8, 13, 9}.

УПРАЖНЕНИЕ № 3

• Задайте множество груш, растущих на берёзе.
• Задайте множество чисел, которые делятся на 0.

УПРАЖНЕНИЕ № 4

• Даны множества: М = {5, 4, 6}, Р = {4, 5, 6}, Т = {5, 6, 7}, S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?
• а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.

УПРАЖНЕНИЕ №5

• Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:

• а) множество чисел, кратных 11; б) множество делителей числа 5; в) множество океанов; г) множество натуральных чисел; д) множество рек России; е) множество корней уравнения х - 3 = 10.

УПРАЖНЕНИЕ №6

• Даны множества:

• А – множество фруктов в корзине; В – множество яблок в этой корзине; С – множество груш в этой корзине; Д – множество слив в этой корзине.

• Чем являются множества В, С и Д для множества А?

УПРАЖНЕНИЕ № 7

• Изобразите с помощью кругов Эйлера множества A и В, если:
• а) А  В
• б) А  В
• в) А  В =
• г)А⊂ В

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ А  В

А

В

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ А  В

А

В

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ А  В = Æ

В

А

Подмножество А⊂ В

А

В

УПРАЖНЕНИЕ № 8

Расположите 4 элемента a, b, c, d в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

УПРАЖНЕНИЕ №9

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

Объединение содержит 9 элементов

ЗАДАЧА 1. Каждый обучающийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 обучающихся, французский — 27 обучающихся, а два языка — 18 обучающихся. Сколько обучающихся в классе?

18

Французский 27

Английский 25

Только французский

27 – 18 = 9

Только английский

25 – 18 = 7

7

9

7 + 9 + 18 = 34

Ответ: в классе 34 ученика

ЗАДАЧА 2. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Всего: 14 + 13 + 62 =89

13

ТЕСТ

Тест по теме «Множества»

ПРОВЕРКА ТЕСТА

№ 1

№ 2

А

А

№ 3

№ 4

В

В

Фрактал

• Фракта́л  —  множество , обладающее свойством  самоподобия  (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Подведение итогов урока.

• Продолжите слова:
• сегодня я узнал… теперь я могу… я научился… было интересно…
• меня удивило… я приобрел… мне захотелось…

Алгебраические фракталы необыкновенно красивы

Картина японского художника Хокусаи "Большая волна"

ЗАДАНИЕ НА ДОМ

• Выучить конспект.
• Ответить на вопросы теста.

Задача для любознательных

• Многие ребята нашего класса любят футбол, баскетбол и волейбол. А некоторые - даже два или три из этих видов спорта. Известно, что 6 человек из класса играют только в волейбол, 2 – только в футбол, 5 – только в баскетбол. Только в волейбол и футбол умеют играть 3 человека, в футбол и баскетбол – 4, в волейбол и баскетбол – 2. Один человек из класса умеет играть во все игры, 7 не умеют играть ни в одну игру. Требуется найти:
• Сколько всего человек в классе?
• Сколько человек умеют играть в футбол?
• Сколько человек умеют играть в волейбол?

ТЕСТ

БЛАГОДАРЮ ЗА УРОК