Моделирование в процессе обучения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РД

ГОУ СПО «ХАСАВЮРТОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Работа допущена к защите

Зам.директора ХПК по УР

«______________»Магомедов Д.Н.

«_____» _______________ 2009г.

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Тема: Моделирование в процессе

решения задач в начальной

школе.

Буруевой Муслимат -

студентки 6 «д» курса

ОЗО ш/о

Научный руководитель:

Халилова Назимат Атахановна

Рецензент:

Клычева Дина Султановна

Работа защищена с оценкой ____________

Председатель государственной

аттестационной комиссии

___________ ________________________

^{подпись Ф.И.О.}

«_____» ________________________ 2009г.

г.Хасавюрт

2009г.

Оглавление.

I.Введение………………………………………………………….…...3

II. Моделирование в процессе текстовых задач…………………...5

2.1. Сущность математического моделирования………………..5

2.2. Классификация математических моделей…………………..6

2.3. Вспомогательная модель и её использование в решении

текстовой задачи…………………………………………..…..10

1. Алгебраическое решение задач…………...………….....…..29

III. Практическая часть……………………………………….……..32

3.1. Моделирование в решении задач на движение…………......32

3.2. Моделирование в решении задач ”на части”…...……….….35

3.3. Применение моделирования во внеклассной работе...…….37

IV. Заключительная часть………………………………………..….40

4.1. Выводы и предложения……………………………...…...…….40

4.2. Литература………………………………………….....…………42

I.Введение.

Использование моделирования имеет два аспекта. Во-первых, моделирование является тем содержанием, которое дол­жно быть усвоено учащимися в резуль­тате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть, во-вто­рых, моделирование является тем учеб­ным действием и средством, без которо­го невозможно полноценное обучение.

Л.М. Фридман

Среди целей обучения математике в начальных классах России важное место занимает овладение математическим языком, умение оперировать знаково-символическими средствами и формирование представлений о ведущем математическом методе познания реальной действительности – математическом моделировании. В начальном курсе математики используется содержательный математический язык, который включает естественный, предметный, графический и символический языки. Они представляют собой системы знаков различной структуры, отличающиеся степенью условности, абстрактности и обобщенности отражения объектов.

Общеобразовательная и педагогическая значимость решения текстовых задач опре­деляется не только целью — формировани­ем умения решать задачи, но и возможностью их использования для усвоения зна­ний, предусмотренных программой, а также для развития познавательных способнос­тей и мышления школьников. Большое зна­чение в формировании умения решать зада­чи имеет использование наглядности, кото­рая может быть выполнена в виде краткой записи, таблицы, чертежа и т.п.

В последнее время в практике обучения решению текстовых задач учителя и учащи­еся стали широко использовать термины: построим модель задачи, использование мо­делирования и т.п., наряду с терминами: за­пишем кратко условие задачи, использова­ние наглядности и т.п. Однако в процессе опроса установлено, что многим неясно, в чем отличие этих терминов, а чаще всего эти термины просто отождествляются. Следует отметить, что принцип модели­рования не противопоставляется принципу наглядности, а является лишь его высшей ступенью, его развитием и обобщением. В психолого-педагогической и методической литературе под моделированием понимает­ся построение моделей с целью их изучения или получения новых знаний об объектах.

Моделирование при решении задач в начальной школе очень трудный процесс.

Учитель часто сталкивается с проблемой, когда ученики не могут применить моделирование при решении задач.

И главная задача учителя – правильно подойти к решению этой проблемы, ведь зачастую дети не могут правильно анализировать задачу, не тем более решать её. Анализ задачи – первое что должны усвоить учащиеся, потом они смогут правильно применять моделирование.

Учащимся постоянно приходится переживать проблему, порождаемую противоречием между знанием и умением его использовать при решении задач. В этом отношении иллюстративен случай, когда дети уже знают что такое чертеж, умеют его «читать» и даже самостоятельно строить чертеж к задаче, но не делают даже попыток воспользоваться такой моделью задачи, если привыкли применять, скажем, краткую запись задачи. В этом случае можно воспользоваться приемом противопоставления, использования разных знаний и умений в условии решения одной и той же задачи с тем, чтобы научить учащихся пользоваться чертежом для поиска других способов решения задачи.

Цель работы - показать роль и способы моделирования в процессе решения задач и как приучать детей к математическому моделированию в начальной школе.

Гипотеза: Успех в умении решать текстовые задачи в начальной школе полностью зависит от способности ребенка строить математическую модель данной задачи.

Объект исследования: методика обучения младших школьников решению текстовой задачи.

II Моделирование в процессе решения текстовых задач.

1. Сущность математического моделирования.

В энциклопедическом словаре читаем:

«Модель»-любой образ (мысленный или условный: изображение, описание, схема, чертёж, график, план, карта, и т.п.) какого-либо объекта, процесса или явления, используемый в качестве его “заменителя”, “представителя”, аналог, изображение чего-либо.

Текстовая задача – это словесная модель некоторого явления ( ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести её на язык математических действий, то есть построить её математическую модель. Под моделью понимается мысленно или специально созданная структура, которая отражает в упрощенной и наглядной форме все основные связи и соотношения между элементами задачи, то есть отражает содержание конкретной задачи.

Математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений.

Математической моделью текстовой задачи является выражение ( либо записи по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение ( либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.

Обучение моделированию реальных явлений с помощью математики является одной из важнейших целей преподавания.

Моделирование есть метод опосредованного познания с использованием искусственного или естественного языка (знаков, слов), сохраняющего некоторые особенности объекта исследования и дающего возможность представить его и получить о нем новые знания.

В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования.

I этап – это перевод условий задачи на математический язык, при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними.

II этап - внутримодельное решение, выполнение действий, решение уравнения, систем уравнений.

III этап – интерпретация, то есть перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Эти три шага составляют процедуру математического моделирования. А так как знакомство с математическим моделированием является одной из главных целей изучения математики в школе, то необходимо вооружать этим умением учащихся.

Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический , то есть I этап математического моделирования. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели – схемы, таблицы и так далее. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и так далее) от неё к математической, на которой и происходит решение задачи.

2.2. Классификация математических моделей.

В литературе нет единообразия в классификации и названи­ях моделей. Согласно Л.М. Фридману, модели делятся на 3 класса:

1. Материальные или предметные моде­ли, которые предназначаются либо для воспроизведения в наглядной форме сюжет­ной задачи, либо для построения предметной модели с помощью манипуляций пред­-
   метами.

2. Знаково-символические модели под­разделяются на:

а) иконические — это разного рода рисунки, схемы, чертежи и т.п.;

б) знаковые — это разного рода числовые выражения, уравнения, системы урав­нений, неравенства и системы неравенств.

3. Идеальные модели (мысленные, умственные, воображаемые, создаваемые субъектом в своем воображении в виде образа-представления или образа-воображения).

При решении текстовых задач краткие записи условия в виде таблиц, рисунков, графиков, диаграмм, служат схематизации материала, причем знаково-символические средства выполняют ориентировочную роль, поскольку дают возможность одновременно видеть все связи между данными.

Лучшему и быстрому осознанию сути явления, зафиксированного в схеме, помогает уменьшение количества перекодировок, которые потребуется делать; при составлении схемы должна быть разумно сокращенной и упрощенной по сравнению с реальным явлением и в то же время наиболее естественной для каждой задачи.

Пренебрежение образами, которые возникают у детей при чтении задачи, приводит к тому, что учитель, запланировавший реализовать свой подход к схематизации ,подталкивает учеников к схеме, которая чужда их ведению. Тогда ученики начинают полагать, что математика есть искусство оформлять простые вещи сложным языком.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов ( пуговиц, спичек, бумажных полосок и так далее) Они могут строиться из сюжета задач. К этому виду людей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче в виде представлений.

Выполнение схематических рисунков – эффективный способ решения многих арифметических задач. Он помогает учащимся самостоятельно осмыслить текст задачи и разобраться в тех связях и зависимостях, которые в нем даны.

Формируя у детей умение выполнять схематический рисунок и пользоваться им, осуществляя поиск решения задачи, не ограничиваться узкой целью получить правильный ответ данной конкретной задачи, а иметь в виду цель более широкую, а именно формирование общего способа действия.

В данном случае этим общим способом действия является выполнение схематического рисунка.

Существуют различные модели задач - это: опорные слова ,таблицы, схемы, рисунки. Насколько быстро ответит на вопрос задачи ученик, найдет возможные варианты решения, зависит от удачного выбора схемы, по которым можно найти только традиционный способ решения. Для того чтобы дети учили различные способы решения задач, используя схему, можно предлагать им такие задания. Из всех моделей именно схема предусматривает больше вариантов решения.

Графические модели используются для воссоздания ситуации задачи.

К графическим следует отнести следующие виды моделей:

1. Рисунок;

2. Условный рисунок;

3. Чертеж;

4. Схематичный чертеж ( или просто схема).

Рисунок в качестве графической модели.

Условный рисунок.

Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертежных инструментов с соблюдением заданных отношений.

1д

?

Схематический чертеж (схема) может выполняться от руки, на нем указываются данные и искомые.

⁴

₃

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям выполненными на естественном языке можно отнести краткую запись задачи ,таблицы.

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения задачи по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке, - это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.

Не следует думать, что всякая краткая запись или чертеж, выполненные для данной задачи, являются её моделями. Так как модель – это своеобразная копия задачи, то на её объекты, все отношения между ними, указаны требования.

Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели представляющие собой результат анализа задачи, но с другой – построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.

Вспомогательная модель помогает осмыслить текст, сделать его наглядным, а также перевести текст на математический язык. А перевод на математический язык – шаг особенно важный. И не только потому что от него, как от первого шага, зависит успех всего процесса математического моделирования, но также и потому, что этот шаг – самый трудный.

Прием моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта ( в нашем случае текстовой задачи) выбирают ( или строят) другой объект, в каком то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект. Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет однообразия в их названиях уточним терминологию, которую будем использовать.

2.3. Вспомогательная модель и ее использование в решении текстовой задачи

Под вспомогательной моделью понимает­ся такая форма фиксации задачи (наглядная интерпретация задачи), которая отражает все ситуации, рассматриваемые в задаче, связи и отношения между величинами, а также данные и искомые задачной ситуации.

Построение вспомогательных моделей в процессе решения задач выступает как средство наглядности, помогающее упрос­тить рассматриваемые в задаче ситуации с целью поиска пути ее решения. При этом задачная ситуация преобразуется таким обра­зом, что все ее элементы, отношения между данными и искомыми, входящими в задачу, представлены в легкообозримой форме. В процессе построения вспомогательной мо­дели происходит переформулировка задачи и появляется идея, которая может привести к решению, то есть к математической модели. При таком подходе процесс решения задачи рассматривается как переход от словесной модели к вспомогательной, затем к матема­тической (решающей модели). В этом слу­чае вспомогательная модель задачи являет­ся своеобразным мостиком между задачной ситуацией и ее математической моделью. Покажем примеры построения различных моделей текстовых задач.

Задача: «Из двух городов, расстояние между которыми равно 1200 км, одновре­менно вышли навстречу друг другу два поез­да. Один из них проходит это расстояние за 20 ч, а другой — за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?»

При решении задач, связанных с движе­нием тел, часто выполняется схематичес­кий чертеж.

20 ч 30 ч

1200 км

Такой схематический чертеж может направить мысль ученика по неверному пу­ти, так как два времени, обозначенные спра­ва и слева, могут подтолкнуть ребенка к сложению соответствующих чисел, то есть уче­ник найдет сумму: 20 + 30 = 50 ч, а затем по­пытается разделить расстояние на получен­ный результат. По мнению А. В. Белошистой, такая попытка показывает, что си­туацию задачи ребенок не анализирует, а просто манипулирует числами, угадывая ответ в надежде найти решение задачи. По­этому целесообразнее провести разбор текста «от данных», сразу фиксируя каж­дый шаг записью действий.

Действительно, такая ошибочная идея поиска решения возникает у учащихся по­тому, что выбрана неудачная интерпрета­ция задачи. Для того чтобы направить мысль учащегося в нужное русло, целесооб­разно использовать табличную запись час­ти задачи, а для второй части задачи — схе­матический чертеж.

Табличная краткая запись задачи дает возможность приступить к решению, т.е. найти скорости поездов (1200:20 = 60 км/ч; 1200:30 = 40 км/ч).

После того как найдены скорости поез­дов, полезно выполнить схематический чертеж с целью осознания учащимися сути второй части задачи.

	Скорость	Время	Расстояние
I	?км/ч	20ч	1200км
II	?км/ч	30ч	1200км

60 км/ч 40 км/ч

1200 км

Данный чертеж дает возможность уча­щимся представить и осознать задачную си­туацию, что, в свою очередь, помогает понять и закончить решение: 60 + 40 = 100 (км/ч); 1200:100 = 12 (ч).

Подчеркнем, что в практике обучения часто приходится сталкиваться с тем, что при поиске решения бывает удобнее выпол­нить вспомогательную модель не для всей задачи, а для некоторой ее части, причем могут быть использованы различные фор­мы (виды) наглядности (например, для данной задачи — табличная запись и схема­тический чертеж). Как видим, на чертеже, а также и в таблице не отражены все задачные ситуации, все связи и отношения меж­ду величинами, входящими в задачу, а так­же и неизвестные, в том числе и вопрос за­дачи, а потому и чертеж, и таблицу нельзя назвать моделью задачи.

Для того чтобы построить модель зада­чи, необходимо установить, о каких величи­нах идет речь в задаче, и выявить все ситуа­ции, все данные и искомые. В данной зада­че речь идет о скорости, времени, расстоя­нии (пути) и о трех ситуациях:

1. первый поезд проходит расстояние 1200 км за 20 ч;

2. второй поезд проходит расстояние 1200 км за 30 ч;

3) первый и второй поезда идут навстре­чу друг другу и проходят 1200 км.

Зафиксируем названия величин в пер­вой строке, а ситуации — в первом столбце. Запишем значения величин в соответствии с каждой ситуацией. В результате получим следующую таблицу:

	Скорость	Время	Расстояние
I поезд	?км/ч	20 ч	1200 км
II поезд	?км/ч	30 ч	1200 км
I и II поезда	?км/ч	?ч	1200 км

Данная табличная запись является мо­делью рассмотренной выше задачи, так как в ней отражены все ее элементы, все ситуа­ции, рассматриваемые в задаче, выделены все искомые и основной вопрос задачи. Опираясь на данную модель, путь решения задачи легко находится в процессе рассуж­дений как «от данных к вопросу», так и «от вопроса к данным».

И

30

зобразив данные прямоугольником, а неизвестные кружком и рассуждая «от дан­ных к вопросу», получим схему (рис. 1), ко­торую называют моделью поиска решений данной задачи

Рис.1

Но рассуждения можно проводить и «от вопроса к данным», тогда модель поиска решения задачи будет иметь другой вид (рис. 2).

Рассмотренные выше модели позволя­ют легко составить план решения и устано­вить последовательность арифметических действий, выполнение которых даст ответ на вопрос задачи, т.е. построить математи­ческую модель задачи, которая может иметь вид:

а) последовательно записанных дейст­вий:

1. 1200 : 20 = 60 (км/ч);

2. 1200 : 30 = 40 (км/ч);

3. 60 + 40 = 100 (км/ч);

4. 1200 :100 - 12 (ч);

б) выражения:

1200 : (1200 : 20 + 1200 :30) = 12 (ч).

Как видим, построение вспомогатель­ной модели помогает учащимся увидеть скрытые связи и отношения между данны­ми и искомыми задачной ситуации и осоз­нанно выбрать последовательность дейс­твий, посредством которых находится ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим построение модели следую­щей задачи: «Расстояние между городом и зимовкой равно 150 км. Из города к зимовке выехали аэросани со средней скоростью 60 км/ч. В то же время навстречу аэросаням из зимовки по той же дороге вышел лыжник со скоростью 15 км/ч. На каком расстоянии от зимовки он встретил аэросани?»

В своем пособии А.В. Белошистая предлагает выполнить к данной задаче ри­сунок, а при поиске решения задачи ис­пользовать так называемый жесткий синте­тический разбор задачи, поскольку он од­нозначно выводит на решение задачи, а де­ти выполняют только исполнительную функцию (отвечают на прямые вопросы пе­дагога).

Приведем чертеж и разбор задачи, пред­лагаемый автором пособия:

^{15км/ч 60км/ч}

^{150 км}

— Что можно узнать, зная, что лыжник и аэросани двигались навстречу друг другу со скоростью 15 км/ч и 60 км/ч? (Скорость сближения: 15 + 60 = 75 (км/ч) — расстоя­ние, на которое лыжник и аэросани сблизи­лись за один час.)

-Как найти время, через которое встре­тятся лыжник и аэросани? (Расстояние раз­делить на скорость 150 : 75 = 2 (ч) — через 2 ч они встретятся.)

Какое расстояние пройдет за это время лыжник? (15 • 2 = 30 (км) — на таком рас­стоянии от зимовки они встретятся.)

Конечно, данное решение задачи будет получено, если ученик ответит на первый вопрос учителя так, как это показано выше. Но нельзя забывать о том, что при разборе задачи «от данных к вопросу» мы нередко сталкиваемся с неоднозначностью ответа на поставленный вопрос. В нашем случае ответ на вопрос: «Что можно узнать, если даны скорости лыжника и скорость аэроса­ней?» также неоднозначен. По этим дан­ным можно узнать не только скорость сбли­жения, но и во сколько раз больше (мень­ше) скорость аэросаней, чем лыжника, а также и на сколько километров больше (меньше) скорость аэросаней, чем скорость лыжника.

И если ученик ответит, что по этим дан­ным можно узнать, во сколько раз скорость аэросаней больше скорости лыжника, то нужно дать ему возможность продолжить свои рассуждения, так как у школьника, возможно, появилась идея поиска решения задачи.

Приведем пример возможных рассужде­ний ученика: «Так как скорость аэросаней в 4 раза больше, чем скорость лыжника, а время движения одинаково, то аэросани пройдут расстояние в 4 раза большее, чем пройдет за это время лыжник. Построим схематический чертеж, для чего изобразим расстояние, пройденное лыжником, отрез­ком произвольной длины. Тогда расстоя­ние, пройденное аэросанями, будет изобра­жено отрезком длиной в 4 раза больше. От­метим данные и искомые величины на дан­ном чертеже.

15 км/ч 60км/ч

150 км

По чертежу ясно видно, что весь путь раз­делен на 5 (1 + 4 = 5) равных частей. Поэто­му можно найти, сколько километров прихо­дится на одну часть, а это и будет ответом на вопрос задачи: 150 : 5 - 30 (км) — лыжник встретил аэросани в 30 км от зимовки».

Как видим, рассуждение ученика привело к построению такой вспомогательной моде­ли задачи, которая позволяет найти другой способ решения, т.е. другую (решающую) ма­тематическую модель: 150: (1 + 4) = 30 (км).

При построении схематического черте­жа желательно соблюдать пропорции, т.е. равным величинам должны соответство­вать отрезки одинаковой длины, а большей величине соответствовать отрезок большей длины. Кроме того, важно обратить внима­ние на то, к какому пункту ближе произой­дет встреча движущихся тел и почему, а также и на то, что время движения до встре­чи у них одинаковое. Тогда поиск решения задачи будет доступен и понятен учащимся и при разборе «от вопроса к данным», то есть аналитическим способом разбора задачи. Следует отметить, что выбор вспомога­тельной модели в виде чертежа при реше­нии задач на движение не всегда целесооб­разен. Так, например, при решении задач на нахождение четвертого пропорционального выполнение вспомогательной модели в ви­де таблицы может оказаться более эффек­тивным, чем схематический чертеж.

Рассмотрим в качестве примера задачу: «Две команды лыжников гили навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Первая команда прошла до встречи 40 км за 4 ч, а вторая команда прошла 20 км. Сколько вре­мени была в пути вторая команда?»

Построим табличную модель задачи:

	Скорость	Время	Расстояние
I команда	?км/ч	4ч	40 км
II команда	?км/ч	?ч	20 км

Найти решение задачи по данной модели можно легко. При этом поиск решения мож­но провести как аналитическим, так и синте­тическим методом. Чтобы ответить на воп­рос, достаточно знать расстояние и скорость второй команды: расстояние равно 20 км, а скорость неизвестна, но так как скорости ко­манд одинаковы, то нужно найти скорость первой команды. Составляем план и записы­ваем решение задачи: 20: (40:4) = 2 (ч).

Табличная модель задачи позволяет увидеть и другой способ решения: если вто­рая команда прошла расстояние в 2 раза меньше, то при одинаковой скорости вто­рой команде потребуется времени в 2 раза меньше. Математическая модель задачи (т.е. ее решение) в данном случае будет иметь вид: 4 : (40: 20) » 2 (ч).

Рассматриваемая задача допускает еще один способ решения, но построенная выше модель не способствует его поиску. Для то­го чтобы осознать суть третьего способа ре­шения, необходимо преобразовать текст за­дачи в форму, удобную для поиска еще од­ного пути решения и построить соответст­вующую вспомогательную модель. Первая команда прошла 40 км за 240 минут, так как 4 ч = 240 мин. Время, затраченное на про­хождение 1 км, неизвестно. Вторая команда прошла 20 км, а чтобы пройти 1 км, второй команде требовалось столько же времени, сколько и первой. Нужно найти время дви­жения второй команды.

Зафиксируем наши рассуждения в таб­лице:

	Время на прохождение 1км	Расстояние	Общее время
I	?	40км	240мин
II	?	20км	? мин

В процессе рассуждений и построения модели появляется идея поиска пути реше­ния задачи:

«За 240 минут пройдено 40 км, значит, на 1 км требуется времени в 40 раз меньше: 240 : 40 = б (мин). Вторая команда проходила каждый километр также за 6 ми­нут и прошла до встречи 20 км. По этим данным можно найти, сколько времени она была в пути: 6 • 20 = 120 (мин) = 2 (ч)».

Как видим, в процессе переформулиров­ки задачи и соответствующих рассуждений выполнена вспомогательная модель задачи, которая способствует установлению взаи­мосвязи между величинами и нахождению решения задачи.

Рассмотрим в качестве примера задачу, при решении которой учащиеся испытыва­ют затруднения в процессе поиска ее реше­ния: «В трех классах 119 учащихся. В I классе на 4 человека больше, чем во II, и на 3 мень­ше, чем в III. Сколько учащихся в каждом классе?»

Построим вспомогательную модель дан­ной задачи в виде записи:

I — ? на 4 больше, чем, и на 3 меньше, чем

II-? 119 чел.

III - ?

Чтобы составить уравнение по условию задачи (математическую модель), обозна­чим буквой х число учащихся, например, I класса. Тогда число учащихся II класса — (х - 4), а число учащихся III класса — (х + 3). По условию задачи число учащих­ся трех классов — 119 чел. Составляем уравнение: х + (х - 4) + (х + 3) = 119, после преобразования находим значение неиз­вестного, то есть ответ на вопрос задачи х = 40.

Если обозначить число учащихся II или III класса через х, то в процессе рассужде­ний по условию задачи можно найти следу­ющие математические модели задачи — уравнения:

а) х + (х + 4) + (х + 4 + 3) = 119; б) х +(х-3) + (х-3 - 4) = 119.

Следует отметить, что составление этих уравнений по данной схематической моде­ли вызывает большие затруднения, да и с решением полученных уравнений справит­ся не каждый учащийся начальной школы.

Построим вспомогательную модель за­дачи в виде схематического чертежа. Рас­суждения могут быть такими: «Изобразим число учащихся I класса отрез­ком произвольной длины. Тогда число уча­щихся II класса будет выражено отрезком короче первого, а число учащихся III клас­са будет изображено в виде отрезка больше­го, чем первый отрезок». В результате полу­чаем следующую вспомогательную модель задачи:

1. ⁴

2. 119

3. 4 3

Данная модель задачи позволяет школь­никам легко составить каждое из вышерассмотренных уравнений, а также направляет мысль учащихся на составление следующе­го уравнения: х-3 + 4 + 4 + 3=119, решение которого вполне доступно младшим школь­никам. Кроме того, по данной модели легко найти арифметическое решение задачи, то есть построить ее математическую модель в ви­де последовательно записанных арифмети­ческих действий:

1) 4 + 4 + 3 = 11 4) 36+4=40

2) 119-11 = 108 5) 40+3=43

1. 108 :3 = 36

Сравнив вспомогательные модели дан­ной задачи, можно отметить, что модель в виде чертежа более эффективна при поиске как алгебраического, так и арифметическо­го способа решения.

Рассмотрим еще задачу, на примере которой покажем возможности построения различных вспомогательных моделей зада­чи в зависимости от способа рассуждений решающего: «Сумма трех чисел равна 1480. Сумма первого и второго числа равна 1230. Сумма второго и третьего числа равна 1010. Найти каждое число».

В данной задаче требуется найти три числа. Обозначим их буквами х, у, z. Извес­тны сумма двух первых и сумма второго и третьего числа, а также сумма трех чисел. Такие рассуждения приводят к системе уравнений, решение которой недоступно младшим школьникам:

х + у = 1230

y + z = 1010

х + у + z = 1480

Рассуждая немного иначе, можно прий­ти к другой вспомогательной модели. Обозначим первое число через у, тогда второе число 1230 - у, а третье — 1010 -- (1230 - у), сумма трех чисел равна 1480. Получили следующую краткую запись (вспомогательную модель) задачи:

1- у

II - 1230 -у

III -1010 -(1230 -у)

Данная наглядная интерпретация (мо­дель) задачи позволяет составить уравнение: у + (1230 -у) + (1010 - (1230 - у)) = 1480.

Рассуждения могут быть и такими: «Пусть х — это первое число. Сумма второ­го и третьего числа равна 1010. Сумма трех чисел равна 1480. Можно составить уравне­ние: х + 1010 = 1480. Находим первое число: х = 1480 - 1010, х = 470. Сумма первого и второго числа равна 1230. Первое число — 470, второе неизвестно. Обозначим второе число буквой у. Составляем уравнение: 470 + у = 1230 и, решив его, находим второе число: у = 760. Сумма второго и третьего числа равна 1010, второе число — 760, тре­тье неизвестно. Обозначим третье число буквой z. Составим уравнение: 760 + z = 1010, отсюда z = 250».Построим вспомогательную модель рас­сматриваемой задачи в виде схематическо­го чертежа:

1230

^{I II III}

¹⁰¹⁰

1480

Данная модель задачи представляет задачную ситуацию в легкообозримой форме, поэтому решение задачи находится легко и просто:

1) 1480 - 1230 = 250

2) 1480 - 1010 = 470

3) 1230 - 470 = 760

Как видно, в процессе решения задач большое значение имеет и то, в контексте каких знаний решающий рассматривает за­дачу, а выбор вспомогательной модели су­щественно влияет на поиск решения зада­чи. Поэтому при решении задач желательно рассмотреть различные вспомогательные модели и выбрать ту, которая позволяет представить задачную ситуацию в понят­ной и доступной для учеников форме.

Рассмотрим еще одну задачу, на приме­ре которой покажем преимущественно мо­дели в виде чертежа по сравнению с таблич­ной моделью.

Задача: «У Коли в 2 раза больше марок, чем у Сережи. Когда Коле подарили 8 марок, то у него их стало в 3 раза больше, чем у Се­режи. Сколько марок было у Сережи?»

Построим табличную модель задачи.

Было	Подарили	Стало
К. — ? в 2 раза больше	8	? в 3 раза больше
С. — ?	—	—

Такая табличная запись задачи вряд ли поможет ученикам найти путь решения за­дачи. Если же построить модель задачи в виде схематического чертежа, то идея реше­ния задачи становится ясной и понятной и, кроме того, с помощью логических рассуж­дений можно ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметического действия. При построении такой модели рассуждения мо­гут быть примерно такими: «Изобразим число марок Сережи отрезком произволь­ной длины. Тогда число марок Коли будет изображено отрезком в 2 раза большим. После того как Коле подарили 8 марок, то у него их стало в 3 раза больше, чем у Сере­жи, т.е. число марок Коли будет изображе­но отрезком в 3 раза большим».

C.

8 марок

К.

По чертежу видно, что третья часть со­ответствует 8 маркам, следовательно, у Се­режи было 8 марок. Как видно, чтобы отве­тить на вопрос задачи, арифметическое действие выполнять необязательно, т.е. при решении некоторых задач построение вспомогательной модели в виде схемати­ческого чертежа позволяет найти ответ на вопрос задачи на основе логических рас­суждений без выполнения арифметичес­ких действий.

Рассмотрим задачу, при решении кото­рой у учащихся возникают затруднения, и, кроме того, покажем преимущество одной из вспомогательных моделей, при помощи которой учащиеся осознают суть поиска пути решения.

Задача: «Лыжи с ботинками стоят 1200 рублей. Ботинки дешевле лыж на 400 рублей. Сколько стоят ботинки и сколько стоят лыжи?»

Построим вспомогательную модель за­дачи в виде краткой записи:

Л.-? | _{1200 р.}

Б. — на 400 р. меньше, чем лыжи

Такая наглядная интерпретация не по­могает поиску решения задачи, так как рас­суждения от «вопроса к данным» обрываются в самом начале (чтобы узнать цену ботинок, нужно знать цену лыж). Ученики за­трудняются ответить на вопросы: «Что можно найти, зная, что лыжи с ботинками стоят 1200 рублей и что ботинки дешевле лыж на 400 рублей?» и «Можно ли найти по данным условия задачи стоимость двух пар лыж?». И только модель задачи в виде схе­матического чертежа позволяет учащимся осознать суть поиска решения задачи. Изоб­разим стоимость лыж отрезком произволь­ной длины, тогда стоимости ботинок будет соответствовать отрезок, длина которого ко­роче. Отметим соответствующие данные на схеме и получим модель задачи:

Л. 1200 р

Б. 400р

Такая модель задачи помогает осознать ход решения задачи. Причем ученики пони­мают, что если к 1200 прибавить 400, то (по чертежу видно) получим стоимость двух пар лыж (1600 р.). Тогда, чтобы найти цену лыж, нужно 1600:2 = 800 (р.). Если от 1200 вычесть 400, то получим стоимость двух пар ботинок (800 р.). Цена ботинок — 400 р., так как 800 : 2 = 400. Решение задачи по действиям можно выполнить следую­щим образом:

Первый способ:

1. 1200 + 400 = 1600 (р.)

2. 1600 : 2 = 800 (р.)

3. 800 - 400 = 400 (р.)
   Второй способ:

1. 1200 - 400 - 800 (р.)

2. 800 : 2 = 400 (р.)

3. 400 + 400 - 800 (р.)

Рассмотрим еще одну задачу, связанную с движением тел, при решении которой у большинства учащихся возникают серьез­ные трудности, и только построение вспо­могательной модели в виде схематического чертежа позволяет учащимся понять задачную ситуацию и найти путь ее решения.

Задача: «Туристы прошли по реке на байдарках половину намеченного пути и еще 9 км. Оставшийся путь они могут пройти на байдарках за З часа, скоростью 6 км/ч. Уз­най весь путь, который должны были прой­ти туристы на байдарках»

Построим вспомогательные модели задачи в виде таблицы и схематической записи:

	Скорость	Время	Расстояние
Прошли	?	?	пути и 9 км
Осталось	6 км	Зч

Прошли — пути и 9 км _?

Осталось — ? 3 ч по 6 км/ч

Выполненные модели (краткие записи) задачи не помогают понять ее суть. Постро­ение модели в виде чертежа позволяет представить задачную ситуацию в легко­обозримой форме, и поиск решения задачи не вызывает у учащихся затруднений. Рас­суждения при этом могут быть примерно такими: «Изобразим пройденный путь в ви­де отрезка произвольной длины. Туристы прошли половину пути (отмечаем на черте­же) и еще 9 км (отмечаем на второй части пути). Оставшийся путь туристы прошли со скоростью 6 км/ч за 3ч». Зафиксировав данные и вопрос задачи, получим вспомога­тельную модель, которая дает ясную карти­ну процесса движения туристов на всем участке пути:

½ пути 9км ^6км/ч

Вторая половина пути состоит из 9 км и расстояния, пройденного туристами за 3 ч со скоростью 6 км/ч: 9 + 6 • 3 = 27 (км). Весь путь в 2 раза больше, следовательно, реше­ние задачи (математическая модель) будет иметь вид: (6 • 3 + 9) • 2 = 54 (км).

Как видим, удачно выбранная форма вспомогательной модели помогает обнару­жить скрытые связи и отношения между ве­личинами, входящими в задачу, что, в свою очередь, способствует составлению плана решения задачи.

Наряду с вышерассмотренными вспо­могательными моделями задач, поиск ре­шения задач может осуществляться и с помощью выделения основного отноше­ния: а · b = с, моделью которого является прямоугольник. При построении такого рода моделей множители записывают с помощью сторон прямоугольника, а произведение обозначают внутри прямо­угольника.

Рассмотрим решение составной задачи с помощью выделения основного отноше­ния и построения вспомогательной моде­ли:

«5 один магазин привезли 18 одинако­вых бидонов молока, а в другой — 12 таких же бидонов. В первый магазин привезли на 228 л молока больше, чем во второй. Сколь­ко литров молока привезли в каждый мага­зин?» .

В данной задаче даны две ситуации, ко­торые связаны отношением а • b = с, т.е., чтобы найти общее количество молока, привезенного сначала в первый, а затем во второй магазин, необходимо найти вмес­тимость одного бидона и умножить на со­ответствующее число бидонов. Но чтобы от­ветить на вопрос задачи, нужно выяснить, что в первый магазин привезли молока на 228 л больше потому, что привезли больше бидонов. Для того чтобы узнать, на сколько бидонов больше привезли в первый мага­зин, чем во второй, надо из 18 вычесть 12: 18 - 12 = 6. Это значит, что в 6 бидонах со­держится 228 л молока. Теперь можно най­ти, сколько литров молока в одном бидоне, а это третья ситуация, в которой использу­ется основное отношение: а • b = с. Связь между ситуациями основана на том, что вместимость всех бидонов одинакова. Пос­троим модель поиска решения задачи:

18 б.

? л

12 б. =

? л

18 -12 =

228 л

? л ? л ? л

Чтобы найти вместимость одного бидо­на, нужно 228 : 6 = 38 (л). Далее находим общее количество молока, которое привез­ли во второй магазин, а затем и в первый.

Заполнение модели проводится справа налево. Модель после рассуждений и за­полнения примет вид:

18 б. 12 б. 6 б.

38 · 18 = 684 л

=

38· 12 = 456 л

=

228: 6 = 38 л

38л 38 л 38 л

Как показывает опыт работы с группой школьников IV и V классов, слабоуспеваю­щих по математике, при самостоятельном решении учащиеся выбирают модель в виде прямоугольника, в случае если в задаче речь идет о площади прямоугольника или в задачах типа: «В саду росли 4 ряда по 6 яб­лонь в каждом и столько же рядов груш по 8 штук в каждом ряду. Сколько всего деревьев росло в саду?»

Учащиеся уверенно выполняют модель задачи, причем точками отмечают количес­тво рядов и количество кустов, а затем вы­полняют действия и записывают решение.

4р

● ● ● ● ● ● ● ● ●

+ 4 р

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

=

6 яблонь 8 груш

При решении задач, в которых требуется найти стоимость покупки или общую массу купленных предметов, большинство уча­щихся в качестве модели задачи выбирают схематический рисунок или чертеж. Приве­дем в качестве примера задачу: «В школь­ную столовую привезли 4 ящика яблок по 6 кг в каждом и столько же ящиков груш по 8 кг в каждом ящике. Сколько килограммов фрук­тов привезли в школьную столовую?»

6кг

6кг

6кг

6кг

+

8кг

8кг

8кг

8кг

=

= 6-4 + 8-4 = 56 кг

Следует отметить, что методика работы по установлению основного отношения, реа­лизованного в задаче, и построение модели в виде прямоугольника, по мнению некоторых методистов, вызывает у учащихся интерес, способствует формированию умения решать текстовые задачи, «позволяет учащимся ра­зобраться в структуре задачи и способе ее решения, быстрее формирует умение вести поиск плана решения и сохраняет на более длительное время в памяти учащихся внут­реннее устройство задачи и соответствую­щее ему решение этой задачи» .

Заметим, что не для каждой задачи мож­но построить вспомогательную модель, ко­торая позволяет представить задачную си­туацию в легкообозримой форме и помога­ет поиску пути ее решения. Иногда поиск решения приходится проводить по тексту задачи, а мысленное представление задачной ситуации дает возможность ученику находить путь решения задачи, причем раз­ные ученики могут представить задачную ситуацию для одной и той же задачи по-разному, что, в свою очередь, влияет на ход их рассуждений и поиск математической модели (решения задачи).

Так, например, при решении задачи: «Нужно перевезти 540 т угля на 3 машинах. За сколько дней это можно сделать, если на каждую машину грузить по Эти делать по 5 поездок в день?» школьник может пред­ставить такую ситуацию: едут 3 машины, и на каждую машину загружают по 3 т. Най­дем количество груза, который перевезут машины за один рейс: 3 · 3 = 9 т. Каждая ма­шина делала по 5 поездок (рейсов). Найдем количество груза, перевозимого тремя ма­шинами за один день: 9 • 5 = 45 т. Весь груз — 540 т, за день перевозят 45 т. Найдем количество дней, необходимых для пере­возки груза, т.е. ответ на вопрос задачи. Ре­шение задачи будет иметь вид:

1. 3 • 3 = 9 (т)

2. 9 • 5 = 45 (т)

3. 540 :45 = 12 (дн.)

Можно данную задачную ситуацию представить иначе, например: есть груз мас­сой 540 т, который нужно перевезти на 3 машинах. Можно найти массу груза, кото­рый должна перевезти одна машина: 540:3 = = 180 т. Машина берет 3 т и делает 5 поез­док в день, следовательно, можно найти, сколько тонн она перевезет за один день: 3 • 5 = 15 (т). Машине нужно перевезти 180 т, в день она перевозит 15 т, следователь­но, можно найти и ответ на вопрос задачи:

1)540:3= 180 (т)

2)3-5 = 15 (т)

3) 180 :15 = 12 (дн.)

Умение выполнять различные модели дает учащимся возможность выбирать ту, которая представляется им наиболее прием­лемой для той или иной задачи. Выбор и построение моделей задач во многом зави­сит от знаний и умения учащегося. Многие школьники могут найти путь решения зада­чи, мысленно представив модель задачной ситуации. Мысленное моделирование сю­жетных задач, по мнению Л.М. Фридмана, является важным видом моделирования, по­этому необходимо развивать у учащихся способности к мысленному воссозданию за­данной ситуации. В процессе решения тек­стовых задач ученик должен «научиться соз­давать у себя умственную модель — пред­ставление о решаемой задаче, которую он должен удерживать в памяти до конца про­цесса решения, а также воображаемую мо­дель о том, какой вид эта задача может при­нять при том или ином преобразовании» .

Решение текстовых (сюжетных) задач не достигается с помощью жестких алго­ритмов, а требует особого (своего) подхода. Здесь мало уметь строить модели задач, нужно уметь применять их в том или ином случае. Удачно выбранная модель задачи обеспечивает глубокое осмысление ситуа­ции и помогает обнаружить скрытые связи между величинами, входящими в задачу.

Обучение учащихся моделированию текстовых задач требует от учителя глубо­ких знаний и тщательной подготовки. Гото­вясь к уроку, учитель должен продумать, какую вспомогательную модель целесооб­разно выбрать для той или иной задачи, так как целесообразность выбора определяется дидактической целью и во многом зависит от знаний и умений учащихся, а также и от структуры задачи. Но построение моделей к решаемым задачам не должно быть само­целью, использовать наглядность нужно в разумной мере. Нежелательно требовать от учащихся выполнение вспомогательной. Модели к каждой решаемой ими задаче. Учитель не должен превращать построение вспомогательных моделей в дополнительную нагрузку в том случае, если школьник может найти решение, мысленно представив себе задачную ситуацию.

2.4.Алгебраическое решение задач.

Вычислительные текстовые задачи решаются либо синтетическим методом, либо аналитическим. Примерами этих последних являются задачи о «заданном числе», а также задачи на части. Естественным формированием решение таких задач служит составление уравнения - алгебраический метод. Он состоит из следующих шагов.

1. Введение неизвестного.

2. Выражение через это неизвестное величин, о которых говорится в задаче.

3. Составление уравнений.

4. Решение уравнений.

5. Осмысление результата и формулирование ответа.

Работа по указанному методу – яркий пример математического моделирования. Решающий задачу этим методом переводит её текст с естественного языка на математический ( пункты 1-3), решает задачу на математическом языке ( пункт 4) и совершает обратный перевод результата (пункт 5 )

В начальных классах в настоящее время практически отсутствует на уроках математики алгебраические и геометрические способы решения задачи, а преобладает в основном арифметический, да и только в виде решения задач по действиям или составляет математическое выражение, хотя в программе по математике и есть решение простейших уравнений, но это не проходит пропедевтической нитью через решение задач за все годы печального обучения математике, у многих младших школьников так и не сформировано представление о том, что задачи могут решаться алгебраическим или геометрическим способом.

Осуществление пунктов 1-3 особенно трудно потому, что оно аналогично синхронному переводу на иностранный язык. Прочитав задачу, нужно сразу выбирать, что приняв за неизвестное, затем выбирать, какие именно величины выражать через это неизвестное, а затем выбирать соотношение для составления уравнений. Для этого необходимо хорошо ориентироваться в ситуации задачи и видеть последствия выбора на каждом шаге, то есть фактически уже владеть методом алгебраического решения текстовых задач.

В отличии от арифметического метода в приведенной схеме отсутствует этап анализа условия задачи с построением вспомогательной модели, которая помогала бы совершить постепенный перевод текстовой задачи на математический язык.

Известно, что конечной целью перевода при алгебраическом решении – математической моделью задачи является уравнение.

Наряду с простейшими уравнениями в учебнике вводятся и уравнениями несколько более сложной структуры, например: х + 37 = 85 – 12

Составление уравнений такого вида может использоваться и при решении текстовых задач.

Решение уравнений, как и раньше проводится на основе использования взаимосвязей между компонентами и результатом действия.

Проиллюстрируем оказанное на примере решения алгебраическим методом следующей задачи: «В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека ,а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»

Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором вагоне. Тогда число пассажиров во втором вагоне – 2х. Когда из первого вагона вышли 3 человека, в нем осталось 2х – 3 пассажиров. Во второй вагон вошли 7 человек, значит в нем стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно записать, что 2х – 3 = х + 7. Получили уравнение – это математическая модель данной задачи.

Следующий этап – решение полученного уравнения вне зависимости от того, что в нем обозначает переменная переносим в левую часть члены уравнения, содержащие х, а в правую – не содержащие х, причем у переносимых членов знаки меняем на противоположные: х – х = 7 + 3. Приводим подобные члены и получаем, что х = 10.

Последний третий этап - используем полученное решение чтобы ответить на вопрос задачи: во 2-м вагоне было первоначально 10 человек, а в первом 20 (10 · ) = 20

Практическая часть

3.1. Моделирование в решении задач на движение.

Движение является темой для самых разнообразных задач, в том числе и для задач на части. Но на ряду с этим существуют и самостоятельный тип задач на движение. Он объединяет такие задачи, которые решаются на основании зависимости между тремя величинами характеризующими движение: скоростью, расстоянием и временем. Во всех случаях речь идёт о равномерном прямолинейном движении.

Основные объекты задач на движение: пройденный путь (S ), скорость ( V) , время (t ); основное отношение (зависимость) : S = V·t.

Задачи на встречное движение.

Задача1. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через 5 ч встретились. Один из них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Определить скорость автомобилей.

Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг другу автомобилей. Известно , что движение они начали одновременно и встретились через 5 часов. Скорости автомобилей различны – один ехал быстрее другого на 16 км/ч. Путь, который проехали автомобили – 600 км. Требуется определить скорости движения. Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть различными:

Схематический чертеж

V₁ - ? V₂ = V₁ + 16 км/ч

или таблица

	S	V	t
I	? 600 ? км	?	5ч
II		? 16 км/ч	5ч

Задача 2. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении 2 мотоциклиста. Скорость одного 40 км/ч, другого 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?

Решение. В задаче рассматривается движение двух мотоциклистов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся на расстоянии 30 км. Скорость одного 40 км/ч, другого 50 км/ч. Требуется узнать через сколько часов второй мотоциклист догонит первого. Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными: схематический чертеж и таблица.

50 км/ч 40 км/ч

30 км t встр - ?

	S	V	t
I	? на 30км	50 км/ч	? одина- ? ковое
II	?	40 км/ч

Запишем решение задачи по действиям.

1. 50 – 40 = 10 (км/ч) – скорость сближения мотоциклов.

2. 30: 10 = 3(ч) – за это время первый мотоциклист догонит второго.

40 км/ч 1ч 2ч 3ч

50 км/ч

1ч 2ч 3ч

Ответ: через 3 часа.

Задача 3. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорость 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?

Решение. В задаче рассматривается движение двух поездов. Они выходят одновременно от одной станции и идут в противоположных направлениях.

Вспомогательные модели.

60 км /ч 70 км/ч

3ч 3ч

?

	S	V	t
I	? ? ?	60 км/ч	3ч
II		70 км/ч	3ч

Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояние, пройденное первым и вторым поездом за 3 часа и полученные результаты сложить.

1. 60· 3 = 180 ( км)

2. 70 · 3 = 210 (км)

3. 180 + 210 = 390 ( км)

Ответ: 390 километров.

Задача 4. Велосипедист и всадник выехали из деревни в пионерский лагерь разными дорогами. Всадник ехал по дороге, которая была короче на 9 км, но со скоростью на 3 км/ч меньше, чем велосипедист. Велосипедист ехал 3ч со скоростью 18 км/ч. Кто из них раньше приедет в лагерь?

Краткая схема.

18 км/ч 9 км 3ч

Д ● ● Л

Всадник

( 18 – 3) км/ч tч

Решение.

1. 18· 3 = 45 (км) - путь всадника

2. 18 – 3 = 15 (км/ч) – скорость всадника

3. 18 · 3 = 54 (км)- путь, который пройдет всадник за 3 часа.

4. 45: 15 = 3 (ч) – время, затраченное всадником.

Ответ: В лагерь они придут одновременно.

1. Моделирование в решении задач «на части».

Само название вида задач говорит о том, что рассматриваемые в них величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других эти части надо суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определив, из скольких таких частей состоят другие величины о которых идет речь в задаче.

При решении таких задач арифметическим методом чаще всего используются вспомогательные модели, выполненные с помощью отрезков или прямоугольников.

Задача 1. Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10 кг ягод?

Решение. В задаче речь идет о массе ягод и о массе сахара, необходимых для варки варения. Известно, что всего ягод 10 кг и что на 2 части ягод надо брать 3 части сахара. Требуется найти массу сахара, чтобы сварить варенья из 10 кг ягод.

Изобразим при помощи отрезка данную массу ягод. Тогда половина этого отрезка представляет собой массу ягод, которая приходится на одну часть сахара. По условию задачи, надо 3 таких части. Запишем решения по действиям с пояснением.

1. 10: 2 = 5 ( кг) – сколько кг. ягод приходится на каждую часть.

2. 5· 3 = 15 ( кг) – сколько надо взять сахара.

3. Вспомогательную модель к данной задаче можно было выполнить при помощи прямоугольников.

10 кг ?

Задача2. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй. Всего было 70 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение. В задаче рассматриваются две пачки тетрадей. Всего тетрадей 70. в одной пачке тетрадей на 10 больше, чем в другой. Требуется узнать, сколько тетрадей было в каждой пачке?

Изобразим при помощи отрезка количество тетрадей во второй пачке. Тогда тетради в первой пачке можно представить в виде отрезка, который больше второго.

10 т

I.

? 70 тетр.

II.

?

По чертежу видно, что если тетради во 2-ой пачке составляют 1 часть всех тетрадей, то тетради в первой составляют также 1 часть и ещё 10 тетрадей.

Если эти 10 тетрадей убрать из первой пачки, то в пачках тетрадей станет поровну – столько, сколько во второй пачке.

Запишем решение задачи по действиям с пояснением.

1. 70 – 10 = 60 (тетр) – сколько тетрадей пригодится на 2 равные части, или сколько тетрадей было в первой пачке.

2. Вспомогательная модель подсказывает и 2-й способ решения данной задачи. Если за 1 часть принять тетради в первой пачке ,то чтобы во второй стало столько же, надо к ней добавить 10 тетрадей. И тогда решение будет таким.

1. 70 + 10 = 80 ( тетр)

2. 80 : 2 = 40 (тетр)

3. 40 – 10 = 30 ( тетр)

1. Применение моделирования во внеклассной работе.

Одной из форм воспитания добросовестного отношения к учебе служит организация внеклассной работы. Здесь наиболее эффективно могут быть реализованы возможности ребенка по изучению математики, реализацию возможности ребенка по изучению математики, развитию умственных способностей.

Задача учителя – психологически подготовить ребенка к восприятию более сложного материала по сравнению с тем, что он изучает на уроках.

Опыт использования ряда нестандартных задач показывает, что для формирования самостоятельности мышления, воспитания творческой активности можно рекомендовать для включения их в систему упражнений и задач, предлагаемых учащимся, как на уроке, так и во внеклассной работе. Однако отсутствие подобных задач в школьных учебниках и недостаточное количество их в дополнительной литературе не позволяет учителю решить эту проблему.

В связи с этим мы предлагаем рассмотреть ряд нестандартных задач и методику их решения.

Задача 1. На детской площадке 8 двух и трехколесных велосипедов. Всего у них 21 колес. Сколько двух и сколько трехколесных велосипедов на площадке?

Для решения задачи используем символы. Обозначим 8 велосипедов треугольниками, а затем под каждым треугольником нарисуем 2 кружка, так

○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ○○

у каждого велосипеда 2 колеса.

Мы используем 2 · 8 = 16 ( колес).

Используем те 5 колес, которые остались, найдя таким образом число трехколесных велосипедов. Остальные велосипеды – двухколесные.

Ответ: На площадке 5 трехколесных и 3 двухколесных велосипеда.

Проверка: 3 · 5 + 2 · 3 = 21 ( колес).

Задача 2. В клетку посажены кролики и фазаны. У животных вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько было в клетке кроликов и сколько фазанов?

Известно, что у кролика 4 ноги, а у фазана – 2. Обозначим 35 голов кружками.

. . .

35

Дорисуем каждому по 2 полоски ( ноги)

. . .

Всего используем 2 · 35 = 70 (ног). Осталось 94 – 70 = 24 ( ноги). 24: 2 = 12 – это число кроликов, а остальные 35 – 12 = 23 – фазаны.

Ответ: в клетке было 12 кроликов и 23 фазана.

Проверка: 12 + 23 = 35 ( кроликов и фазанов) 4 ·12 + 2 · 23 = 94 ( ноги)

Задача 3. Мама разделила поровну мандарины между тремя детьми. Когда каждый из них съел по 4 мандарина, у них осталось вместе столько мандаринов, сколько получил каждый. По сколько мандаринов досталось каждому?

Представим число мандаринов, которые разделила мама, в виде суммы трех разных отрезков.

Каждый ребенок получил по одной такой части. После того как все трое съели 4 · 3 = 12 ( мандаринов), у них осталось столько фруктов, сколько получил каждый.

Было:

Осталось:

Съели

Отрезок который представляет съеденные мандарины, равен 12. На рисунке видно, что он ещё равен сумме двух равных отрезков ,обозначающих мандарины, который получил каждый ребенок, то есть 12 : 2 = 6 ( мандаринов).

Ответ: Каждый ребенок получил по 6 мандаринов.

Задача 4. Белка задала зайке 6 задач. За каждое правильное решение задачи заяц получал 3 морковки, а за каждое неправильное решение белка забирала у него 2 морковки. Сколько задач правильно решил заяц, если он получил всего 8 морковок?

Предположим, что все задачи заяц решил правильно, тогда у него должно быть 3·8 = 18 (морковок). Обозначим эти морковки треугольниками. Их будет 18. Но заяц получил не 18 морковок, а всего 8.

8

10

За каждую неправильно решенную задачу ему непосредственно выдали 3 морковки ,да надо было забрать ещё 2 морковки, то есть за каждую нерешенную задачу надо брать 3 + 2 = 5 ( морковок). Следовательно 10 незаконно полученных морковок составляет 10 : 5 = 2 неправильно решенные задачи.

Ответ: заяц решил 4 задачи.

Проверка:

3 · 4 = 12 – морковок получил за правильное решение задачи.

2 · 2 = 4 – должен отдать за неправильно решенные задачи.

12 – 4 = 8 – морковок у него всего осталось.

3.4. Решение задач моделированием

1 класс.

Старинные задачи – способствуют развитию интереса к математике. Использование на уроках и внеклассных занятиях по математике элементов из её истории способствует развитию интереса у учащихся к предмету, а также имеет познавательное и воспитательное значение.

Однако освещать историю развития изучаемых в начальных классах математических понятий на уроках не представляется возможным. Речь может идти только о сообщении детям некоторых сведений из истории проведение такой работы служит решение на уроках или внеклассных занятиях старинных задач. Решать эти задачи помогает моделирование.

Задача 1. у пятерых крестьян - Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима было 10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец и говорит Иван остальным: «Будем, братцы ,пасти овец по очереди – по столько дней, по сколько каждый из нас имеет овец»Сколько овец у каждого крестьянина, если известно, что у Ивана в 2 раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в 2 раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в 2 раза меньше, чем у Ивана, Михаил имеет овец в 2 раза больше, чем Яков, а Герасим – в четверо меньше, чем Петр.

Для решения воспользуемся схематическим моделированием.

Михаил

Петр

Герасим

Иван

Яков

Решение:

10 : 10 = 1 – было овец у Герасима и Якова.

1 : 2 = 2 – было овец у Михаила и Ивана.

2 · 2 = 4 – было овец у Петра.

Ответ: У Ивана – 2 овцы, У Якова – 1 овца; У Михаила - 2 овцы; У Герасима – 1 овца; у Петра – 4 овцы.

Задача 2. Отрезок АВ на 7 больше отрезка СD и равен 18 см. Какова длина отрезка СD?

Краткое условие записывается так:

АВ – 18 см

СD - ? на 7 см больше

Краткая схема

А ^18см В

С D ^7cм

Решение: 18 – 7 = 11 ( см)

Ответ: CD = 11 см.

2 класс

Задача 1. Спросил некто у учителя: « Скажи сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать тебе в учение своего сына ». Учитель ответил: «Если придет ещё учеников столько же, сколько я имею, и пол-столько и четверть столько учеников, и твой сын, то будет у меня учеников 100»

Решение: Обозначая количество учеников в классе при помощи отрезка и моделируя связи и отношение между данными, получим схему:

100 учеников

Из схемы легко найти решение:

1) ( 100 – 1 ) : 11 – 9 = 0 2) 9· 4 = 36.

Ответ: в классе 36 учеников.

Задача 2. Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части, так чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза. Как разделить орехи? »

Решение: Воспользуемся схематической моделью:

I.

II.

130 : 13 = 10 ( орехов) – меньшая часть

10 · 4 · 3 = 120 ( орехов) - большая часть.

Ответ: 10 орехов, 120 орехов.

3 класс

Задача 1. За 2 дня самолет пролетел с одинаковой скоростью 10 240 км. В полете он был один день 10 часов, другой день 6 часов. Сколько километров пролетал самолет каждый день?

10 ч ? км 6ч ?км

● ● ●

10 240

Решение :

1. 10 + 6 = 16 (ч) – пролетал самолет за 2 дня.

2. 10240 : 16 = 640( км/ч) – скорость самолета.

3. 640 · 10 = 6400( км) – пролетел самолет за 1 день.

4. 640·6 = 3840 ( км) – пролетел самолет за 2 день.

Проверка.

6400 + 3840 = 10240

Ответ: в 1 день 6400, во 2 день 3840.

Задача 2. Автомашина прошла сначала 160 км, потом половину этого расстояния. После этого оставалось пройти в 2 раза меньше того, что пройдено. За сколько часов машина прошла весь путь, если средняя скорость её была 60 км/ч.

60км/ч ? ?

● ● ● ●

пройдено осталось

Решение.

1. 160: 2 = 80 (км)

2. 160 + 80 = 240 (км)

3. 240 : 2 = 120 (км)

4. 240 + 120 = 360 ( км)

5. 360 : 60 = 6 (ч)

Ответ: 6 часов.

Задача 3. Для записи чисел в математике используют 10 знаков, которые называют цифрами. Для записи слов в русском языке используют 33 знака, которые называют буквами. На сколько больше знаков используют, в русском языке, чем в математике?

Р ● ³³ ●

М ● ¹⁰ ●

Решение:

33 – 10 = 23 ( знака)

Ответ: 23 знака.

Задача 4. Рыбак поймал 8 карасей, окуней на 6 больше, чем карасей. Щук на 5 меньше, чем окуней. Сколько щук поймал рыбак?

8

К ● ● 6

О ● ● ● ●

Щ ● ● ● 5

Решение.

1. 8 + 6 = 14 (ок)

2. 14 – 5 = 9 (щ)

Ответ: 9 щук

Задача 5. Купили 6 билетов в кино и 4 билета в театр. Сколько всего билетов купили?

● ⁶ ●

● ⁴ ●

Решение.

1. 6 + 4 = 10 ( билетов)

Ответ: 10 билетов.

Задача 6. На привале туристы разместились в 2 палатах: в 1-й – 7 человек; во 2-й на 2 человека больше. Сколько туристов участвовало в походе?

7

I. ● ● 2

II. ● ● ●

Решение.

1. 7 + 2 = 9 ( тур)

2. 9 + 7 = 16 (тур)

Ответ: 16 туристов.

Задача 7. В нашем доме 70 жильцов, а в соседнем доме на 30 жильцов больше. Сколько человек живет в соседнем доме?

70

I. ● ● 30

II. ● ● ●

Решение.

1. 70 + 30 = 100 ( чел)

Ответ: 100 туристов.

Задача 8. Дети поехали на экскурсию в трех автобусах. В одном было 20 детей, в другом на 5 больше, а в третьем – столько же, сколько в первом. Сколько детей поехало на экскурсию?

20

5

Решение.

20 + ( 20 + 5 ) + 20 = 65 ( детей)

Ответ: 65 детей

Задача 9. Красный провод длиннее синего на 18 м. Чему равна длина желтого провода, красного провода, если длина синего 70м? Чему равна длина желтого провода, если он длиннее синего в 2 раза? На сколько метров желтый провод длиннее синего?

18м

К ● ₇₀ ●

О ● ●

Щ ● ● ●

( 70 · 2)

Решение.

1. 70 + 18 = 88 (м)

2. 70 · 2 = 140 (м)

3. 88 + 70 + 140 = 240 (м)

Ответ: Желтый провод – 140 метров. На 70 метров.

Задача 10. Магазин находится от дома в 150 м, а школа в 4 раза дальше от дома, чем магазин. Чему равно расстояние от магазина до школы, если оно в 2 раза больше, чем расстояние от дома до магазина?

М ●

S (S ·2)

Д● ●Ш

(S ·4 )

Решение.

1. 150 ·4 = 600( м)

2. 150 · 2 = 300(м)

Ответ: от Дома до школы 600м; от магазина до школы 300 м.

Задача 11 . Два муравья, находящиеся на расстоянии 81 см, ползли навстречу друг другу. На каком расстоянии друг от друга они окажутся, если 1-й муравей проползет 72 см, а второй в 9 раз меньше, чем первый?

72 см 72: 9

Решение.

1. 72: 9 = 8 (см)

2. 72 + 8 = 80 (см)

3. 81 – 80 = 1 (см)

Ответ: 1 см.

Задача 12. Арбузы продавали по 20 рублей за кг. Папа купил 2 арбуза. Масса одного из них была равна 3 кг, а другого 2 кг. Сколько всего денег он должен уплатить за эти арбузы?

● ^3кг ● ? р. по 20 р.

● ^2кг ●

Решение.

1. 3+2 = 5 (кг) – всего

2. 5 · 20 = 100 (р) заплатил.

Ответ: 100 рублей.

Задача 13. В детском саду за неделю израсходовали по 12 кг муки в день, а остальную муку поровну в 3 следующих дня. Сколько килограммов муки расходовали ежедневно в последние дни недели?

Мука

12 кг

12 кг

12 кг

12 кг

?

?

?

Решение.

1. 12 · 4 = 48 (кг)

2. 60 – 48 = 12 (кг)

3. 12: 3 = 4 (кг)

Ответ: 4 кг.

Задача 14. От Москвы до Самары 1200 км. На каком расстоянии друг от друга окажутся 2 поезда, если они одновременно вышли навстречу друг другу и первый прошел 236 км, а второй – 580 км?

М ^? С

236 580

1200 км

Решение.

1. 236 + 580 = 816 ( км)

2. 1200 – 816 = 384 ( км)

Ответ: 384 км.

Задача 15. В трех автобусах поехало на экскурсию 79 ребят. Сколько детей было в каждом автобусе, если во 2-м на 5 детей больше, чем в первом, а в третьем на 6 детей больше, чем во втором?

● ● 5

● ● ● 6 79

● ● ● ●

Решение.

1. 5 + 6 +5 = 16 4. 21+5=26

2. 79 – 16 = 63 5. 21+5+6=32

3. 63 : 3 = 21

Ответ: в 1-м – 21, во 2-м – 26, в 3-м – 32

4 класс

Задача 16. Товар массой 14 273 кг распределили на 3 машины. Масса товара на второй машине в 2 раза больше ,чем на первой. Какова масса товара на третьей машине, если масса товара на первой машине 3876 кг?

● ●

● ^? ● 14 273

● ^? ●

Решение.

1. 3876 · 2 = 7752 (кг)

2. 7752 + 3876 = 11 628 (кг)

3. 14 273 – 11 628 = 2 645 (кг)

Ответ: 2645 кг

Задача 17. Одна группа туристов заплатила за экскурсию в музей 59 500 рублей, а другая 73 500 рублей. Какова цена одного билета, если во второй группе на 4 человека больше, чем в первой? Сколько туристов в каждой группе?

73 500 р.

● ●

59 500р

● ●

Решение.

1. 73 500 – 59 500 = 14 000 (р)

2. 14000 :4 = 350 (р)

3. 73 500 : 350 = 210 (ч)

4. 59 500 : 350 = 170 (ч)

Ответ: в 1-й 170 человек

во 2-й 210 человек

Задача 18. Велосипедисту нужно проехать 34 км. Он был в пути 2ч и ехал со скоростью 14 км/ч. Какое расстояние ему осталось проехать?

14 км/ч ? км

● ●

2ч

Решение.

1. 14 · 2 = 28 (км)

2. 34 – 28 = 6 (км)

Ответ: 6 км

Задача 19. С участка собрали 4 мешка картофеля по 50 кг в каждом. Этот картофель разложили в ящики по 20 кг в каждый. Сколько ящиков потребовалось?

50 кг

М

? (ящ)

Я

Решение.

1. 50 · 4 = 200 (кг)

2. 200 : 20 = 10 (ящ)

Ответ: 10 ящиков

IV. Заключительная часть

4.1. Выводы и предложения.

1. Моделирование помогает в решении задач различными способами.

2. Самым важным этапом математического моделирования является I этап : перевод текста задачи на математический язык.

3. Модели к решению задачи могут быть разными ,это зависит от типа задач ,от индивидуальных способностей решаемых.

4. Важно, начиная с 1-го класса начать обучение младших школьников приемам моделирования задач.

5. Ввести во внеклассную работу в начальной школе решение «трудных» задач с помощью моделирования постоянно подчеркивая роль моделирования.

6. Обращать внимание детей на алгебраический и геометрический способы решения задач – один из способов моделирования.

7. Схематическая модель эффективна лишь тогда, когда она понятна каждому ученику и выработаны умения переводить словесную модель на язык схемы.

8. Решение текстовых (сюжетных) задач не достигается с помощью жестких алгоритмов, а требует особого (своего) подхода. Здесь мало уметь строить модели задач, нужно уметь применять их в том или ином случае.

9. Удачно выбранная модель задачи обеспечивает глубокое осмысление ситуации и помогает обнаружить скрытые связи между величинами, входящими в задачу.

10. Обучение учащихся моделированию текстовых задач требует от учителя глубоких знаний и тщательной подготовки.

11. Готовясь к уроку, учитель должен придумать, какую вспомогательную модель целесообразно выбрать для той или иной задачи, т.к. целесообразность выбора определяется дидактической целью и во многом зависит от знаний и умений учащихся, а также от структуры задачи.

12. Построение моделей к решаемым задачам не должно быть самоцелью, использовать наглядность нужно в разумной мере. Нежелательно требовать от учащихся выполнение вспомогательной модели к каждой решаемой ими задаче.

13. Учитель не должен превращать построение вспомогательных моделей в дополнительную нагрузку в том случае, если школьник может найти решение, мысленно представив себе задачную ситуацию.

4.2. Литература.

1. «Математика». Учебное пособие Л.П. Стойлова. Москва 1997г.

2. Журнал «Начальная школа» № 2, 2000г ,№ 1, 5, 2001г.

3. Журнал «Математика в школе», № 5, 2000г.

4. Учебник «Математика», 1-3 кл. Истомина Н.Б.

5. «Математика», 1-3 кл, Моро, Бантова.

6. Журнал «Начальная школа», № 5, 1998г, № 10, 2002г.

53