Модули "Доли и дроби"

Задачи на нахождение дроби от числа. Задачи на нахождение неизвестного числа по значению его дроби. Задачи на нахождение отношения чисел. Комбинированные задачи на дроби. Навстречу долям и дробям. Тренировочные задания.

Задачи на нахождение дроби от числа

• На ветке сидело 12 птиц, 2/3 их числа улетело. Сколько птиц улетело?
• Занятия в школе занимают 5ч30мин. Перемены занимают 3/11 этого времени. Сколько часов длятся уроки?
• Туристы за три дня прошли 48км. В первый день они прошли ¼ всего расстояния, а во второй день – 5/9 остатка. Сколько километров они прошли в третий день?

Задачи на нахождение неизвестного числа по значению его дроби

• Определите длину отрезка, 3/5 которого имеют длину 15см.
• Прочитали 90 страниц. Это составило 9/16 всей книги. Сколько страниц осталось прочитать?
• Машинистка взяла пачку бумаги для перепечатывания двух рукописей. На перепечатывание первой рукописи ушло 3/5 пачки, а другой – 2/3 остатка. Сколько листов бумаги было в пачке, если после перепечатывания рукописей осталось 24 листа?

Задачи на нахождение отношения чисел

• Стакан вмещает 200г молока. Какую часть стакана нужно наполнить, чтобы в нём оказалось 160г молока?
• Первый стрелок из 80 выстрелов по мишени попал в цель 60 раз, второй из 60 выстрелов попал 50 раз. Кто из них показал лучший результат?
• В прошлом году в ноябре в Московской области число солнечных дней составило 1/10 от всех дней месяца. Какую часть составило в ноябре число солнечных дней от числа пасмурных? Во сколько раз пасмурных дней было больше, чем солнечных?

Комбинированные задачи на дроби

Задача:

Магазин продал в первый день 160кг яблок, что составило 1 / 3 всех яблок, во второй день-4 /5 оставшихся яблок. Сколько килограмм яблок осталось продать в третий день?

1- ?

1день

осталось

? - ?

1

- 160 кг

1- ?

3

2день

3день

- ?

4

? - ?

5

1- ?

480кг

1день

осталось

? - ?

- 160 кг

1

1- ?

3

2день

3день

Задача на нахождение целого числа по значению его дроби

4

- ?кг

? - ?

5

Решение:

1- ?

480кг

Соотношение между целым

и его частями

1день

осталось

320кг

? - ?

1

- 160 кг

1- ?

3

320кг

2день

3день

4

- ?кг

? - ?

5

Решение:

1 способ

2 способ

1- ?

480кг

1день

осталось

? - ?

320кг

1

- 160 кг

1- ?

3

320кг

Задача на нахождение дроби от числа

1 способ:

2день

3день

4

- ?кг

? - ?

256кг

5

Решение:

1- ?

480кг

1день

осталось

? - ?

320кг

1

- 160 кг

1- ?

3

320кг

Соотношение между целым

и его частями

2день

3день

1 способ:

4

- ?кг

? - ?

256кг

64кг

5

Решение:

Магазин продал в первый день 160кг яблок, что составило 1 / 3 всех яблок, во второй день-4 /5 оставшихся яблок. Сколько килограмм яблок осталось продать в третий день?

Итог

решения

задачи:

1- ?

480кг

1день

осталось

? - ?

320кг

1

- 160 кг

1- ?

320кг

3

2день

3день

4

256кг

? - ?

- ?

Ответ:

64кг

5

в третий день осталось продать 64кг яблок.

1- ?

480кг

1день

осталось

? - ?

320кг

1

- 160 кг

1- ?

3

320кг

Соотношение между целым

и его частями

2день

3день

2 способ:

4

1

- ?кг

? - ?

5

Решение:

5

1- ?

480кг

1день

осталось

? - ?

- 160 кг

1

Задача на нахождение дроби от числа

320кг

1- ?

3

2день

3день

2 способ:

4

- ?кг

1

? - ?

64кг

5

Решение:

5

Магазин продал в первый день 160кг яблок, что составило 1 / 3 всех яблок, во второй день-4 /5 оставшихся яблок. Сколько килограмм яблок осталось продать в третий день?

Итог

решения

задачи:

1- ?

480кг

1день

осталось

? - ?

320кг

1

- 160 кг

1- ?

320кг

3

2день

3день

- ?

- ?

64кг

Ответ:

4

1

в третий день осталось продать 64кг яблок.

5

5

Навстречу долям и дробям

Дорога от Фабричного до Ильинского равна

8 км. Петя прошел 3 км.

Какую часть дороги он прошел?

Математика 5 класс. Н.Я.Виленкин. № 872.

8 км

Скорость машины по шоссе равна 80 км/ч , что

составляет её скорости по бездорожью.

На сколько быстрее машина проедет 240 км по шоссе,

чем 30 км по бездорожью?

*

240 км

30 км

Идея задачи. Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон, 5 класс (часть 2). № 499.

Велосипедист проехал дороги из п.А в п.В.

Какова длина дороги АВ, если он проехал 42 км?

1) 42:6=7(км) составит дороги

2) 7*5=35(км) вся дорога АВ

7 км

7 км 7 км 7 км 7 км 7 км

А

В

42 км

Расстояние от Москвы до Владимира 175 км. В 9ч утра из Владимира в Нижний Новгород выехал автомобиль со скоростью 90км/ч. Одновременно из Москвы в том же направлении выехал автомобиль, скорость которого составляет скорости первой

машины. На каком расстоянии друг от друга будут

автомобили в 13 ч того же дня?

9 00

13 00

от

90км/ч

Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон, 3 класс (часть 4). Урок 15 №10

Нижний

Новгород

Владимир

Москва

175 км

1) (90–54)*4= 144(км) на 144 км отстанет машина за 4ч

2) 144+175=319 (км) будет между машинами в 13 00

Н

И

Ж

Н

И

Й

В

Л

А

Д

И

М

И

Р

М

О

С

К

В

А

Н

О

В

Г

О

Р

О

Д

13 00

9 00

54км/ч

90км/ч

175 км

Основные задачи на дроби

Нахождение дроби от числа.

В лесу 800 деревьев. Сосны составляют 3 /4 всех деревьев. Сколько сосен в лесу?

Нахождение числа по значению его дроби.

В лесу 600 сосен, что составляет 3/4 всех деревьев. Сколько всего деревьев в лесу?

Нахождение отношения чисел.

В лесу 800 деревьев. Из них 200 деревьев-сосны. Какую часть деревьев составляют сосны?

В лесу 800 деревьев. Сосны составляют 3 /4 всех деревьев. Сколько сосен в лесу?

Нахождение дроби от числа.

3 /4

с о с н ы

800 дер.

Решение :

• 800 : 4 = 200 (дер.) – 1 часть

2) 200 * 3 = 600 (дер.)

Всего - 800 дер.

Сосны- 3/4 от -?

Ответ: 600 сосен.

В лесу 600 сосен, что составляет 3 / 4 всех деревьев. Сколько всего деревьев в лесу?

Нахождение числа по значению его дроби.

3

600 дер.

4

сосны

? дер.

Решение :

600 сос .- это 3/4 от

Всего -? дер.

1) 600 : 3 = 200 (дер.) – 1 часть

2) 200 . 4 = 800 (дер.)

Ответ: 800 деревьев.

В лесу 800 деревьев. Из них 200 деревьев-сосны.

Какую часть составляют сосны?

Нахождение отношения чисел.

сосны

200

200

200

200

800 дер.

• 200 : 800 = 1/4

200 сос. из 800 дер.

Ответ : Сосны составляют

¼ всех деревьев.

В классе 28 учеников. Четыре седьмых из них мальчики. Сколько мальчиков в классе?

Нахождение дроби от числа.

4 / 7

мал.

дев.

28 учен.

1) 28 : 7 = 4(уч.)-1 часть

2) 4 . 4 = 16 (уч.)-мальчики

Всего -28 учен.

Мальч .- 4 / 7 от -?

Ответ: В классе 16 мальчиков.

На подарок мальчику друзья собрали 660 рублей, что составляет 2 /3 стоимости велосипеда. C колько стоил велосипед?

Нахождение числа по значению его дроби.

2

600 руб.

3

? руб.

600 руб .- это 2 / 3 от

Всего -? руб.

1) 600 : 2 = 300(руб.)– 1 часть

2) 300 . 3 = 900(руб.)

Ответ: Велосипед стоил

900 руб.

Украшая елку, ребята повесили 8 шаров, из них 3- красные. Какую часть шаров составляют синие шары?

Нахождение отношения чисел.

5

• 5 : 8 =

8

Ответ : Синие шары

составляют всех шаров.

5 шар. из 8 шаров

5

8

За первую неделю бригада заасфальтировала 15 км, что составило 3/5 расстояния между двумя сёлами. Каково расстояние между сёлами?

3

15 км

5

? км

1) 15 : 3 = 5 (км)– 1 часть

2) 5 . 5 = 25 (км)

15 км - это 3 / 5 от

Всего -? км

Ответ: Расстояние между селами 25 км.

Магазин за 3 дня продал 360 кг картофеля. В первый день была продано 1/3 часть всего картофеля. Во второй день 1/4 часть от общего количества. А в третий-весь оставшийся картофель. Сколько картофеля собрали в третий день?

1

осталось

1

3

4

Всего -360 кг

I день- 1 / 3 от

II день- 1 /4 от

III день - ? кг

1) 360 : 3 = 120 (кг)-1 день

2) 360 : 4 = 90 (кг)-2 день

3)120+90 =210 (кг)-за 2 дня

4)360–210=150 (кг)

Ответ: 150 кг картофеля

собрали в третий день.

Маша прочитала 90 страниц. Это составило 5/7 всей книги. Сколько страниц осталось прочитать?

5

? стр.

90 стр.

7

? стр.

1) 90 : 5 = 18 (стр.)– 1 часть

2) 18 . 7 = 126 (стр.)-прочитала

3) 126-90 =36(стр.)

90 стр. - это 5 / 7 от

Всего -? стр.

Ответ: Осталось прочитать 36 стр.

Когда туристка проехала 1 / 4 пути, ей осталось проехать ещё 24 километра. Какова длина всего пути?

3

4

24 км

1-1/4=3/4 (часть) – оставшийся путь.

24 км - это 3 / 4 от

Всего -? км

1) 24 : 3 = 8 (км) –1 часть

2) 8 . 4 = 32 (км)

Ответ: 32 км длина всего пути.

Рыбак поймал 23 рыбы. Из них 12- караси. Какую часть рыбы составляют караси?

12

• 12 : 23 =

23

Ответ : Караси составляют

всей рыбы.

12 кар. из 23 рыб

12

23

Мама купила арбуз.

Разрезала его на 6 равных частей:

Что такое доля?

Доля – каждая из равных частей единицы.

Как записывают доли?

дробной чертой

Что показывает число под чертой?

Половина.

Самая известная доля – это, конечно, половина. Слова с приставкой «пол» можно услышать часто: полчаса, полкилометра… Разделили целое на две части – «половина».

Долю называют половина .

Треть.

Название доли зависит от того, на сколько равных частей разделили единицу . Разделили на три части – «треть».

Долю называют «треть»

Четверть.

4

«четверть» .

Как называются другие доли?

А если разделить на пять частей, то что ли «пятерть», на шесть – «шестерть»?

Таких смешных слов в русском языке нет. Чтобы назвать доли пользуются словами «пятая», «шестая»

Игра «ДОЛИ»

Арбуз разрезали на равные доли.

На тарелку положили 5 долей.

Найди дробь и щелкни по ней мышкой.

Пригласите к компьютеру ученика

10

Разгадайте ребус и узнаете с чем мы сейчас познакомимся.

«Дроби»

Обыкновенная дробь.

Записи вида называют

обыкновенными дробями …

Числитель дроби

Черта дроби (дробная черта)

Знаменатель дроби

Обыкновенные дроби.

Каждый может за версту

Видеть дробную черту.

Над чертой – числитель , знайте,

Под чертою – знаменатель.

Дробь такую, непременно,

Надо звать обыкновенной .

Назовите числитель и знаменатель

каждой дроби

Что показывают числитель и знаменатель дроби?

Прочитайте дроби. Что показывает числитель и знаменатель каждой дроби?

Какая часть фигуры закрашена?

Математика 5 класс. Н.Я.Виленкин. № 860.

Какая часть фигуры закрашена?

Пригласите к компьютеру ученика

Какая часть фигуры закрашена?

Пригласите к компьютеру ученика

3

Какая часть фигуры закрашена?

Пригласите к компьютеру ученика

3

Какая часть фигуры закрашена?

Пригласите к компьютеру ученика

5

Какая часть фигуры закрашена?

Пригласите к компьютеру ученика

6

Какая часть фигуры закрашена?

Пригласите к компьютеру ученика

7

Какая часть фигуры закрашена?

Пригласите к компьютеру ученика

8

Какая часть фигуры закрашена?

8

Какая часть фигуры закрашена?

Пригласите к компьютеру ученика

10

Какая часть фигуры закрашена?

Математика 5 класс. Н.Я.Виленкин. № 860.

11

Какая часть фигуры закрашена?

Математика 5 класс. Н.Я.Виленкин. № 860.

12

Отметьте на координатном луче мигающую точку.

3

1

0

7

13

Отметьте на координатном луче мигающую точку.

7

1

0

9

14

Отметьте на координатном луче мигающую точку.

7

0

1

5

15

Отметьте на координатном луче мигающую точку.

Подумай!

;

1

0

16

Отметьте на координатном луче мигающую точку.

Подумай!

;

1

0

17

Найдите координаты точек.

1

В

С

0

А

18

3

2

7

1

4

9

10

5

10

5

5

10

5

10

1

0

В

С

А

0

1

D

E

F

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Загрузим в грузовик правильные дроби, для этого

щелкни по ним мышкой.

Вырази дробью, какую часть квадрата составляют фигуры разного цвета?

5

16

4

16

4

16

1

16

2

16

Какую часть всех яблок положили в тарелку?

Пригласите к компьютеру ученика

4

12

100

17

100

4

100

1

100

3

100

В бидон налили молоко.

Какая часть бидона

занята молоком?

6

Площадь всего треугольника, разбитого на равные части,составляет 124 сантиметра квадратных. Какая площадь красного треугольника? Желтого ромба?

31

62

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Загрузим в поезд неправильные дроби, для этого

щелкни по ним мышкой.

Дан прямоугольник:

Площадь данного прямоугольника 100 сантиметров квадратных. Найти площади следующих прямоугольников:

20

40

60

80

Старинные задачи

• В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречаются много интересных задач на дроби. Решение каждой из таких задач требует немалой смекалки, сообразительности и умения рассуждать.
• Рассмотрим несколько таких задач.

задачи

• Путник, догнав другого, спросил его: «Далеко ли до деревни, которая впереди?» Другой путник ответил: « Расстояние от деревни, из которой ты идёшь, равно трети всего расстояния меду деревнями. А если пройдёшь ещё две версты, будешь ровно посередине между деревнями. Сколько вёрст осталось идти первому путнику?

• Четыре плотника хотят построить дом. 1 плотник может построить дом за год, второй- за 2 года, третий- за три года, четвёртый- за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?

«Арифметика», Магницский, 1703

• Число 12 –делители 1, 2, 3, 4. 1) 12:1=12( домов) 1 плотник за 12 лет 2) 12:2=6( дом) 2 плотник за 12 лет 3) 12:3=4( дом) 3 плотник за 12 лет 4) 12:4=3( дом) 4 плотник за 12 лет 5) 12+6+4+3=25( домов) вместе за 12 лет 6) 12:25= 12/25( года) 1 дом вместе. Ответ: примерно 6 месяцев.

• 2 версты, которые нужно пройти до середины, составляют 1/6 всего расстояния до деревни. 2*6=12( вёрст) всё расстояние 12*1/3=4( версты) прошёл путник 12-4=8 (вёрст) осталось Ответ: 8 вёрст.

Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н.э.).

• Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: - Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада? Пастух отвечает: - Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в стаде?

• Решение: 70 быков составляют 2/3 от1/3 1) 2/3*1/3=2/9 составляют 70 быков. 2) 70 : 2/9= 315(быков) составляют стадо. Ответ: 315 быков

• Решение: утка 7 дн. 9раз 63 дня гусь 9 дн. 7раз 63 дня 1)7+9=16 раз 2) 63:16= 3 15/16 ( дней)

• 1) 1:7= 1/7 пути утка 1 д. 2) 1:9= 1 /9 пути гусь 1 д. 3) 1/7+1/9=16/63 вместе 4) 1: 16/63 =3 15/16 дней
• Ответ: через 3 15/16 дней.

Китай, II век н.э.

• Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моя до южного моря летит 9 дней. Теперь утка и гусь вылетают одновременно . Через сколько дней они встретятся?

Из книги «Косс» Адама Ризе ( XVI в.)

• Решение: примем выигрыш за 1. 1) ¼+ 1/7 = 11/28 (ч.) выиграли двое 2)1- 11/28 = 17/28 (ч.) выиграл третий 3)17/28=11/28 17 флористов есть 11/28 4)17:17*28=28(флор.) Ответ: 28 флоринов весь выигрыш.

• Трое выиграли некоторую сумму денег. На дою первого пришлось ¼ этой суммы, на долю второго -1/7, а долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

В знаменитой книге «1001 ночь» мудрец задаёт юной деве следующую задачу:

• Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

• Решение :
• I способ :

1) 1-1/2=1/2(ч) осталась

2) 1/2-1/4=1/4(ч ) осталась

3) 1/4-1/8=1/8(ч ) осталась

4) 1/8-1/16=1/16(ч ) осталась

1/16 составляет 10 яблок

5) 10*16=160(яблок)

• II способ:

1)2*2*2*2=16(раз)

2)10*16=160(яблок)

• III способ :

1) 10*2=20(яблок)

2) 20*2=40(яблок)

3) 40*2=80(яблок)

4) 80*2=160(яблок)

• Ответ: 160 яблок.

Брахмагупта, Индия, около 600 г.

• Решение:

Слон - 1 озеро 3ч

10 озёр 30ч

Слониха- 1 озеро 5ч

6 озёр 30 ч.

Слонёнок- 1 озеро 6ч

5 озёр 30 ч.

НОК(3,5,6)=30

1)10+6+5=21(озеро) выпьют слон, слониха и слонёнок за 30часов,

2)30:21=1 3/7 (ч) они вместе выпьют озеро.

Ответ: 1 3/7 часа.

• Слон, слониха и слонёнок пришли напиться к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3ч, слониха - за 5ч, а слонёнок - за 6ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?

Из «Арифметики» Магницкого (Россия, XVIII в.)

• Решение :

Лошадь- 1 воз 1 месяц 6 возов- 6месяцев

Коза- 1 воз 2 месяца 3 воза- 6 месяцев

Овца- 1 воз 3 месяца 4 воза- 6 месяцев

НОК(1,2,3)=6

1)6+3+4=11(возов) лошадь, коза и овца за 6 мес.

2)6:11= 6/11 (месяца) они съедят 1 воз.

Ответ: 6/11 месяца.

• Лошадь съедает воз сено за месяц, коза- за два месяца, овца- за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Из Акмимского папируса ( VI в.)

• Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

• Решение:

1)1- 1/13=12/13( ч) сокровищ осталось

2) 12/13-1/17=191/221 (ч) сокровищ осталось

191/221 составляет 191

3)191:191*221=221

Ответ: 221 было первоначально.

Тренировочные задания

Пирог разрезали на 8 долей.

На тарелку положили 3 доли

Пирог разрезали на 8 долей.

На тарелку положили 8 долей

Дробь, в которой числитель равен знаменателю,

называют неправильной дробью.

Возьмем два пирога.

Разрежем каждый на 8 долей.

Положим на блюдо 11 таких долей!

Чтобы взять части арбуза,

одного арбуза недостаточно!

Подумай и ответь.

• Как образуются доли

Когда один предмет или единица измерения делятся на равные части.

• Что показывает число под чертой

Число под чертой показывает на сколько равных долей разделили единицу.

Выполни задания.

Прочитайте доли

Как по другому можно назвать доли

четверть, треть,

половина.

Запишите в виде обыкновенной дроби.

• Две седьмых
• Четыре девятых
• Одна сотая
• Шесть восьмых
• Три двадцать пятых
• Половина

Подумай и ответь.

Какая часть фигуры закрашена?