Мордовия в координатах

МОУ «Лицей №31»

XXI лицейская научно-практическая конференция

Исследовательская работа

Мой край в координатах

секция «Математика»

Работу выполнила: Немойкина Дарья

ученица 7 «Б» класса

Руководитель работы: Щукарева Н.Г.

учитель математики

Саранск, 2022 г.

Содержание:

1. Теоретическая часть: 3

1.1 Введение 3

1.2 История возникновения координат 4

1.3 Использование координат в математике 5

1.4 Виды координатных систем 6

1.5 Координаты в жизни человека 11

1. Практическая часть 15

2.1 Мой край 15

2.2 Мордовия в координатах 17

2.3. Рисунки с помощью прямоугольной системы координат 18

1. Заключение 19

2. Список литературы 20

1. Теоретическая часть:

1. Введение

Математика и география – это две науки, которые не могут существовать друг без друга, они неразрывно связаны между собой, и продолжают работать вместе на благо всего человечества.

Математика позволяет определить обычные явления в природе, обществе, даже в нашей Мордовии и в стране, которые основываются на приблизительных описаниях, на язык точных формул, которые можно получить не приблизительно, а точно. География складывается из всего окружающего: леса, океаны, пустыни, почва, общество, экономические отношения, животные и растения, климат и погода, круговорот веществ в природе и многое другое.

Только с использованием «чисел», главного и основного орудия «царицы всех наук» - математики, можно познать одну из самых трудно-поддающихся изучению, науку Географию.

Меня заинтересовала данная тема, и я решила проследить и показать в своей работе, как связаны между собой две науки: математика и география, с помощью координат. Я очень люблю математику, и хочу познать мир, с помощью точного и понятных мне школьных знаний.

Актуальность моего проекта заключается в том, математика взаимодействует с такой древней наукой, как география. География не может существовать без математики, потому что она является основой главного инструмента – географической карты. Но только с помощью математики мы можем ей пользоваться для различных исследований

Цель проекта – показать важность математики в географии, и выявить, как координаты использовать для определения объекта на карте.

Задачи проекта:

1. познакомиться историей возникновения координат;

2. показать разные системы координат;

3. провести построение объектов в прямоугольной системе координат;

4. использовать систему координат для объектов республики Мордовия

Объект исследования: математические методы в географии

Методы и приемы: теоретический анализ литературы, построение объектов, нахождение координат объектов на плоскости.

1. История возникновения координат

Идея координат зародилась в древности в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей( II в.) применил географические координаты(долготу и широту) для определения местонахождения мореплавателей. Идеей координат пользовались в средние века для определения положения светил на небе, для определения места на поверхности Земли. Прямоугольной сеткой пользовались художники эпохи Возрождения.

Применять координаты в математике впервые стали Пьер Ферма ( 1601-1665 ) и Рене Декарт ( 1596-1650). В 1637 году вышла книга Рене Декарта «Рассуждения о методе». В ней он предложил новый метод — метод координат, который позволил переходить от точки в координатной плоскости к паре чисел — её координатам.

Метод координат позволяет строить графики уравнений, изображать геометрически различные зависимости, выраженные с помощью уравнений и формул.

Термины «абсцисса» и «ордината» были введены в употребление Г. Лейбницем (1646-1716) в 70-80 годы XVII века. Термин «координаты»  произошел от  латинского  слова «ordinates» - «упорядоченный», а приставка «co» указывает на «совместность»: координат обычно бывает две и более. «Абсцисса» (латинское слово «abscissus» -«отрезанный».

Рене Декарт

Гениальный французский ученый и мыслитель XVII века Рене Декарт (1596–1650) далеко не сразу нашел свое место в жизни. Родившись в дворянской семье, Декарт получил хорошее образование. В 1606 году отец отправил его в иезуитскую коллегию Ла Флеш. Учитывая не очень крепкое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, например, разрешали вставать позже других. Приобретя в коллегии немало познаний, Декарт в то же время проникся антипатией к схоластической философии, которую он сохранил на всю свою жизнь.

После окончания коллегии Декарт продолжил образование. В 1616 в университете Пуатье он получил степень бакалавра права. В 1617 Декарт поступает на службу в армию и много путешествует по Европе.

1619 год в научном отношении оказался ключевым для Декарта. Именно в это время, как он сам писал в дневнике, ему открылись основания новой «удивительнейшей науки». Скорее всего, Декарт имел в виду открытие универсального научного метода, который он впоследствии плодотворно применял в самых разных дисциплинах.

Р ене Декарт

1620-е годы Декарт знакомится с математиком М. Мерсенном, через которого он долгие годы «держал связь» со всем европейским научным сообществом.

В 1628 Декарт более чем на 15 лет обосновывается в Нидерландах, но не поселяется в каком-то одном месте, а около двух десятков раз меняет место жительства.

В 1633, узнав об осуждении церковью Галилея, Декарт отказывается от публикации натурфилософской работы «Мир», в которой излагались идеи естественного возникновения вселенной по механическим законам материи.

 1637 на французском языке выходит работа Декарта «Рассуждение о методе», с которой, как многие считают, и началась новоевропейская философия.

Большое влияние на европейскую мысль оказала и последняя философская работа Декарта «Страсти души», опубликованная в 1649 г. В том же году по приглашению шведской королевы Кристины Декарт отправился в Швецию. Суровый климат и непривычный режим (королева заставляла Декарта вставать в 5 утра, чтобы давать ей уроки и выполнять другие поручения) подорвали здоровье Декарта, и, подхватив простуду, он у мер от пневмонии.

1.3 Использование координат в математике

Координатная плоскость - это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами. Первая ось - абсцисс - горизонтальная. Она обозначается как (Ox). Вторая ось - ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0. Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки. Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината - положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной - ордината. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством. Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая - по оси ординат. Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy. Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения - это и будет заданная точка. Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.

Итак, мы с вами выяснили, что координатная плоскость – это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры.

1.4. Виды координатных систем

Координатные системы — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

В географии координаты выбираются как (приближённо) сферическая система координат — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). См. Географические координаты.

В астрономии небесные координаты — упорядоченная пара угловых величин (например, прямое восхождение и склонение), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной фундаментальной плоскостью и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется горизонтальной (плоскость горизонта), экваториальной (плоскость экватора), эклиптической (плоскость эклиптики) или галактической (галактическая плоскость).

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

Разъясним наиболее употребляемые системы координат в математике.

Декартовы координаты

Прямоугольная система координат

Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел  (x,y)

В пространстве необходимы уже три координаты  (x,y,z)

Полярные координаты.

В полярной системе координат, применяемой на плоскости, положение точки P определяется её расстоянием до начала координат r = |OP| и углом φ её радиус-вектора к оси Ox.

В пространстве применяются обобщения полярных координат — цилиндрические и сферические системы координат.

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты — трёхмерный аналог полярных

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси

Сферические координаты — трёхмерный аналог полярных.

Другие распространённые системы координат

Аффинная (косоугольная) система координат — прямолинейная система координат в аффинном пространстве. На плоскости задается точкой начала координат О и двумя упорядоченными неколлинеарными векторами, которые представляют собой аффинный базис. Осями координат в данном случае называются прямые, проходящие через точку начала координат параллельно векторам базиса, которые, в свою очередь, задают положительное направление осей..

Барицентрические координаты были впервые введены в 1827 году А. Мебиусом, решавшим вопрос о центре тяжести масс, расположенных на вершинах треугольника. Они аффинно инвариантны, представляют собой частный случай общих однородных координат.

Биангулярные координаты — частный случай бицентрических координат, система координат на плоскости, задаваемая двумя фиксированными точками С1 и С2, через которые проводится прямая, выступающая в качестве оси абсцисс.

Биполярные координаты  характеризуются тем, что в качестве координатных линий на плоскости в этом случае выступают два семейства окружностей с полюсами A и B, а также семейство окружностей, ортогональных к ним. Преобразование биполярных координат в декартовы прямоугольные осуществляется посредством специальных формул. Биполярные координаты в пространстве называются бисферическими; в этом случае координатными поверхностями являются сферы, поверхности, образуемые вращением дуг окружностей, а также полуплоскости, проходящие через ось Oz[4].

Бицентрические координаты — всякая система координат, которая основана на двух фиксированных точках и в рамках которой положение некоторой другой точки определяется, как правило, степенью её удаления или вообще позицией относительно этих двух основных точек. Системы подобного рода могут быть довольно полезны в определённых сферах научных исследований.

Бицилиндрические координаты — система координат, которая образуется в том случае, если система биполярных координат на плоскости Oxy параллельно переносится вдоль оси Oz. В качестве координатных поверхностей в этом случае выступают семейство пар круговых цилиндров, оси которых параллельны, семейство ортогональных к ним круговых цилиндров, а также плоскость. Для перевода бицилиндрических координат в декартовы прямоугольные для трехмерного пространства также применяются специальные формулы

Диполярные координаты — трехмерная криволинейная ортогональная система координат, основанная на точечном (центральном) диполе, точнее, на его инвариантах преобразования координат. Одним из инвариантов является эквипотенциальная поверхность, которая служит координатной поверхностью; другой инвариант — силовые линии векторного поля, перпендикулярные эквипотенциальным поверхностям. Преобразование сферических или декартовых координат в диполярные осуществляется посредством специальных формул.

Конические координаты — трехмерная ортогональная система координат, состоящая из концентрических сфер, которые описываются посредством их радиуса, и двух семейств перпендикулярных конусов, расположенных вдоль осей x и z.

Координаты Риндлера используются преимущественно в рамках теории относительности и описывают ту часть плоского пространства-времени, которая обыкновенно называется пространством Минковского. В специальной теории относительности равномерно ускоряющаяся частица находится в гиперболическом движении, и для каждой такой частицы в координатах Риндлера может быть выбрана такая точка отсчёта, относительно которой она покоится.

Параболические координаты — это двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями является совокупность конфокальных парабол. Трехмерная модификация параболических координат строится путём вращения двумерной системы вокруг оси симметрии этих парабол. У параболических координат также имеется определенный спектр потенциальных практических приложений: в частности, они могут использоваться применительно к эффекту Штарка. Параболические координаты связаны определенным отношением с прямоугольными декартовыми.

Проективные координаты существуют, согласно наименованию, в проективном пространстве Пn (К) и представляют собой взаимно однозначное соответствие между его элементами и классами конечных подмножеств элементов тела К, характеризующихся свойствами эквивалентности и упорядоченности. Для определения проективных координат проективных подпространств достаточно определить соответствующие координаты точек проективного пространства. В общем случае относительно некоторого базиса проективные координаты вводятся чисто проективными средствами.

Тороидальная система координат — трехмерная ортогональная система координат, получаемая в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два её фокуса. Фокусы биполярной системы, соответственно, превращаются в кольцо с радиусом а, лежащее на плоскости xy тороидальной системы координат, в то время как ось z становится осью вращения системы. Фокальное кольцо также называют иногда базовой окружностью.

Трилинейные координаты являются одним из образцов однородных координат и имеют своей основой заданный треугольник, так что положение некоторой точки определяется относительно сторон этого треугольника — главным образом степенью удаленности от них, хотя возможны и другие вариации. Трилинейные координаты могут быть относительно просто преобразованы в барицентрические; кроме того, они также конвертируемы в двумерные прямоугольные координаты, для чего используются соответствующие формулы.

Цилиндрические параболические координаты — трехмерная ортогональная система координат, получаемая в результате пространственного преобразования двумерной параболической системы координат. Координатными поверхностями, соответственно, служат конфокальные параболические цилиндры. Цилиндрические параболические координаты связаны определенным отношением с прямоугольными, могут быть применены в ряде сфер научных исследований.

Эллипсоидальные координаты — эллиптические координаты в пространстве. Координатными поверхностями в данном случае являются эллипсоиды, однополостные гиперболоиды, а также двуполостные гиперболоиды, центры которых расположены в начале координат. Система ортогональна. Каждой тройке чисел, являющихся эллипсоидальными координатами, соответствуют восемь точек, которые относительно плоскостей системы Oxyz симметричны друг другу.

1. Координаты в жизни человека

• чтобы правильно занять свое место в кинотеатре нужно знать две координаты - ряд и место

• система географических координат (широта - параллели и долгота -меридианы)

• те, кто в детстве играл в морской бой, тоже помнят, что каждая клетка на игровом поле определялась двумя координатами - буквой и цифрой

• с помощью координатной сетки летчики, моряки определяют местоположение объектов;

• в биологии - построение схем молекул ДНК, построение диаграмм и графиков, прослеживающих эволюцию развития

• в экономике - разнообразные системы координат применяются для построение графика спроса и предложения, при графическом изображении разных зависимых величин.

• в химии – построение таблицы Менделеева (изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости)- взаимное расположение молекул.

При игре в шахматы

• при астрономических наблюдениях координатная сетка накладывается на небесный свод с Землей в центре.

2. Практическая часть

2.1. Мой край в координатах

Я живу в Республике Мордовия, городе Саранске

Мордовия:

Координаты:54°26′ с. ш. 44°27′ в.

Площадь: 26 128 км²: (68-е место)

Плотность: 29,44 чел./км²

Сейчас я покажу, где находятся некоторые интересные места в моём крае

Мордовский заповедник

Координаты на карте: 54.805948, 43.342787.

Единственный республиканский заповедник был создан в 1936 году на территории площадью более 32000 гектаров. В то время в северные районы Мордовской ССР завозились нетипичные для Европейской части страны животные, такие как маралы и пятнистые олени.

Молодой заповедник стал базой для интродукции новых видов. ООПТ получила имя видного советского политика Петра Смидовича, сделавший многое для охраны природы в СССР.

Национальный парк «Смольный»

Координаты GPS: 54.810000, 45.400000.

Обширный национальный парк был основан в 1995 году на участке земли площадью 365 квадратных километров. «Смольный» охватывает территории Большеигнатовского и Ичалковского районов. Через парк протекает знаменитая река Алатырь и десятки менее крупных и знаменитых речек.

В заповедной зоне есть множество родников и красивых озер-стариц, часть земель заболочена. В местных лесостепях насчитывается около 800 видов растений, 50 видов млекопитающих и более 200 видов птиц. Многие представители флоры и фауны занесены в Красную книгу.

Ботанический сад

На окраине Саранска вот уже более 60 лет растет обширный сад. Сад был создан в 1960 году профессором В. Ржавитиным на базе Мордовского государственного университета. Богатство и разнообразие ботанической коллекции поражает. На участке в 35 гектаров собрано свыше 1700 таксонов растений, в том числе 44 исчезающих вида, таких как абрикос маньчжурский и тис ягодный.

2.2. Мордовия в координатах

Для построения я взяла туристическую карту Мордовии, на которой указаны достопримечательности.

Д алее я начертила прямоугольную систему координат и отметила некоторые достопримечательности

Масштаб деления 10 км. Точкой отсчета взяла столицу нашей республики – Саранск.

Координаты национального парка Смольный (2;7)

Музей Сычкова в Ковылкино (-7; -2)

Также с помощью координат можно определять расстояние между географическими объектами

Например, от Саранска (0;0) до Темникова (-12; 5)

По теореме Пифагора: 144+25=169

Расстояние 13, а по масштабу 13*10=130.

Проверяем по википедии. Действительно, расстояние верное.

Вывод – вычисления сделаны верно.

Музей «Русские валенки» в селе Урусово Ардатовского района

Саранск (0;0) до Ардатов (6; 11)

По теореме Пифагора: 36+121=157

Расстояние 12, а по масштабу 12*10=120.

Музей открыт в ноябре 2006 г. в помещении школы с. Урусово. Валяние валенок − это традиционный промысел для жителей села и все экспонаты музея – их дар музею.

Для посетителей музея местные валяльщики прямо в музее показывают технологию валяния. 

Я каждый год отдыхаю в лагере Орленок, Сивинь. Смотрим координаты (-4; 7)

По теореме Пифагора: 16+49=65

Расстояние 8, а по масштабу 8*10=80.

2.3 Рисунки с помощью прямоугольной системы координат

На прямоугольной системе координат можно также и сделать рисунки

Разработка фигур, изображенных на координатной плоскости.

Заключение

Таким образом в ходе работы нами были достигнуты цели и задачи исследования, подтверждена рабочая гипотеза о том, что математика и география тесно связаны между собой.

Также мы узнали больше о координатах. После данного опыта, я научилась рисовать с помощью прямоугольной системы, вычислять расстояние по координатам.

Список используемой литературы

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: - М.: Просвещение, 1981. – 239 с,, ил.

2. Ляткер Я. А. Декарт. М.: Мысль, 1975. – (Мыслители прошлого)

3. Матвиевская Г. П. Рене Декарт, 1596–1650. М.: Наука, 1976.

4. А. Савин. Координат. Квант. 1977. №9

5. Математика – приложение к газете «Первое сентября», №7, №20, №17, 2003г., №11, 2000г.

6. Зигель Ф.Ю. Звёздая азбука: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1981. – 191 с., ил

7. Горячкина О. Координатная плоскость// Математика.-1995-№47.-с.8.

8. Сайт Википедия https://ru.wikipedia.org

9. Материалы с сайта http://istina.rin.ru/