МР практического занятия по теме "Геометрические и механические приложения производной"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ

«БАРАБИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.5. Основы дифференциального исчисления

Практическое занятие №3.

Геометрические и механические приложения производной

Специальность

31.02.01 Лечебное дело

Курс – первый

2016

Одобрена на заседании цикловой методической комиссии _________________ Протокол №___от_______________________ Председатель___________________________ Разработчик: О.А. Потемкина

Оглавление

Выписка из рабочей программы дисциплины «Математика» для специальности 31.02.01 Лечебное дело 3

Методический лист 4

Примерная хронокарта занятия 5

Мотивация 6

Приложение 1 6

Актуализация опорных знаний 6

Приложение 2 8

Информационно-справочный материал 8

Приложение 4 13

Упражнения для закрепления 13

Приложение 5 15

Контролирующий материал по теме «Применение производной» 15

Эталоны ответов 16

Критерии оценки 16

Выписка из рабочей программы дисциплины «Математика»
для специальности 31.02.01 Лечебное дело

Наименование разделов и тем	Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы, самостоятельная работа обучающихся, курсовая работа (проект)	Объем часов	Уровень освоения
1	2	3	4
Тема 1.5. Основы дифференциального исчисления	Содержание учебного материала	2
	Основы дифференциального исчисления. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Таблица производных. Правила вычисления производных функций. Приложение производной.		1,2
	Лабораторные работы	‑
	Практические занятия 2) Вычисление производных; 3) Геометрические и механические приложения производной; 4) Текстовые задачи на нахождение наибольших и наименьших значений и экстремумов	2 2 2
	Контрольные работы	‑
	Самостоятельная работа обучающихся Выполнение упражнений, решение прикладных задач, работа с обучающими тестами. Работа с учебником [1, стр. 49-74]; [1, стр. 78, задание №15, контрольные вопросы]	4

Методический лист

Вид занятия – практическое занятие

Продолжительность – 90 мин.

Требования к результатам освоения темы в соответствии с ФГОС по специальности среднего профессионального образования 31.02.01 Лечебное дело:

В результате изучения темы обучающийся должен уметь:

• решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

В результате изучения темы обучающийся должен знать:

• основные математические методы решения прикладных задач;

• основы интегрального и дифференциального исчисления.

Цели занятия:

1. Учебные цели:

• рассмотреть понятие производной как мгновенной скорости движения;

• изучить некоторые аспекты применения производной в различных областях физики, химии, биологии;

• повторить и закрепить навык вычисления производных элементарных функций.

2. Развивающие цели:

способствовать

• формированию умения организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выпол­нения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество (ОК 2),

• развитию математического кругозора, мышления, внимания и памяти.

3. Воспитательные цели:

• способствовать пониманию студентом сущности и социальной значимости своей будущей профессии, проявления к ней устойчивого интереса (ОК 1).

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Место проведения занятия: аудитория колледжа.

Интегративные связи: физика, геометрия и все предметы, где используется математический аппарат.

Литература:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 410, [1] с. – (Медицина)

2. Математика: учеб. пособие / В.С. Михеев [и др.]; под ред. Н.М. Демина. – Ростов н/Д : Феникс, 2009. – 896 с. – (Среднее профессиональное образование).

Оснащение занятия:

1. Доска

2. Раздаточный материал

3. Проектор

4. Мультимедиа

Домашнее задание:

1. Конспект

2. Решение прикладных задач.

3. Работа с учебником [1, стр. 78, задание №15, контрольные вопросы]

Примерная хронокарта занятия

№	Наименование этапа	Время	Цель этапа	Деятельность			Оснащение
				преподавателя	студентов
1	2	3	4	5	6	7
	Организационный этап	1	Организация начала занятия. Проверка посещаемости и внешнего вида студентов. Сообщение темы и плана занятия.	Отмечает отсутствующих студентов в журнале. Сообщает тему и план занятия.	Староста называет отсутствующих студентов.	Журнал
	Актуализация опорных знаний	10	Ориентация на глубину усвоения знаний, систематизация материала. Формирование умения организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выпол­нения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество (ОК 2)	Проверка качества выполнения Д/З (фронтальный опрос)	Отвечают на вопросы.	Приложение 1
	Мотивационный этап:	1	Развитие интереса к новой теме	Объясняет студентам важность изучения данной темы	Слушают, задают вопросы	МР
	Цели занятия	1	Установка приоритетов при изучении темы	Озвучивает цели занятия	Слушают, записывают в дневник новую тему	Методический лист МР
	Закрепление материала	63	Формирование знаний о производной как мгновенной скорости движения, применения производной в различных областях физики, химии, биологии; Повторение и закрепление навыка вычисления производных элементарных функций.	Излагает новый материал.	Слушают, читают материал на слайдах, записывают.	Приложение 2, 3 + мультимедиа
	Предварительный контроль	12	Закрепление и осмысление полученных знаний.	Инструктирует и контролирует выполнение заданий	Выполняют задания	Приложение 4
	Задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов	1	Формирование понимания студентом сущности и социальной значимости своей будущей профессии, проявления к ней устойчивого интереса (ОК 1).	Дает задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов	Записывают задание	Методический лист
	Подведение итогов занятия	1	Подведение итога занятия	Подводит итоги занятия, выставляет отметки комментируя ошибки, сделанные в ходе контроля знаний.	Слушают, обсуждают, анализируют.	Журнал

Мотивация

Занятие хотелось бы провести под девизом Крылова Алексея Николаевича советского математика и кораблестроителя: «Теория без практики мертва или бесполезна, практика без теории невозможна или пагубна».

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Умение решать задачи с применением производной требует хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследование различных ситуаций.

Поэтому сегодня на занятии мы закрепим и систематизируем полученные знания, на примере некоторых задач рассмотрим применение производной в физике, биологии и математике.

Приложение 1 Актуализация опорных знаний

1. Что называется производной функции в точке? (Производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю).

2. Что вы знаете о производной (свойства, теоремы)?

3. Угол ее наклона выражает геометрический смысл производной. О чем идет речь? (О касательной).

4. Назовите раздел физики, помогающий понять физический смысл производной (Механика).

5. Кто был основоположником применения производной в механике (И. Ньютон)

6. В чем заключается геометрический смысл производной? (Значение производной f '(x) при данном значении аргумента равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) с положительным направлением оси Ох в точке М(х; f (x)).

7. Для каждой функции из левого столбца найти ее производную из правого столбца.

	y = f(x)		y = f ' (x)
1)	5	Г.
2)	x2+x+2	Н.	2
3)		Т.	8
4)		Л.	0
5)	4x4	Ь.
6)	43 + 2х	О.	12x – 1
7)	х4 – х2	А.	2х + 1
8)	2cos 3x	Н.	5 cos5x
9)	tg x	Ж.	4х3 – 2х
10)	13x2 – 3x	Н.	– 6sin 3x
11)	8x	А.	16x3
12)	(2x + 3) (3x – 5)	Ю.	26x – 3
13)	sin 5x – π	Р.	cos x

Ответ: Лагранж, Ньютон

Термин «производная» – это буквальный перевод на русский derivee. Этот термин ввел Лагранж в 1797 году. А само понятие, задолго до Лагранжа, независимо друг от друга, ввели и активно использовали, заложив фундамент нового исчисления, Лейбниц и Ньютон. Раздел математики, который изучает производные функции и их применения, называется (дифференциальным исчислением).

1. Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением производной в физике, математике и биологии?

Приложение 2 Информационно-справочный материал

Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, медицине, экономики, физики, а также и в быту. Сегодня мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной.

Мы уже знаем, что производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В математике производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в биологии – скорость размножения микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции. Среди многих задач наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций.

Если внимательно изучить вопрос применения производной в других областях, то можно составить вот такую таблицу:

• Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).

• Сила тока – производная от заряда по времени I = q' (t), где q – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника, за время t.

• Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).

• Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре
  C = Q' (t).

• Давление – производная силы по площади P = F'(S)

• Скорости течения химической реакции – производная количества вещества, вступающего в реакцию от времени V= m’(t).

Применение производной в механике

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

Пример 1.

Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением

S = t² –11t + 30

Решение:

V = S′(t)

V (t) = (t² –11t + 30 )′= 2t – 11

V (3) =23 -11= - 5 (м/с)

Кинетическая энергия

Пример 2.

Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону S = 2t²+ 3t – 1.

Найти кинетическую энергию тела через 3 секунды после начала движения.

Решение:

Найдем скорость движения тела в любой момент времени:

V = S′(t)

V (t) = (2t²+ 3t – 1)′= 4t + 3

Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:

V (3) =43 + 3 = 15 (м/с)

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:

=(8 15²)/2=900 (Дж)

Применение производной в математике

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

Методами дифференциального исчисления можно проводить исследование функции на монотонность, на экстремумы, что помогает при построении графиков функций.

Прежде всего, остановимся на геометрическом смысле производной. Как известно, производная функции в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции, проведенной в точке х, то есть

,

– угол наклона касательной к графику в точке .

Заметим, что угол – это угол между прямой и положительным направлением оси Ох.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ имеет вид:

y = f(x₀) + f’(x₀)(x – x₀)

В этом уравнении:

x₀ – абсцисса точки касания,

f(x₀) – значение функции y = f(x) в точке касания,

f’(x₀) – значение производной функции y = f(x) в точке касания.

Приведем пример решения задачb/

Пример 3.

Написать уравнение касательной к кривой y=x² – 3x + 4 в точке с абсциссой x₀ = 0.

Решение. 

Находим значение функции в заданной точке:

y(x₀) = y(0) =4

Далее вычислим значение производной функции в точке x₀ = 0:

y’= (x² – 3x + 4)’ =(x²)’ – (3x)’ + (4)’= 2x – 3 

y’(0) = – 3,

а тогда уравнение касательной запишется в виде:

y = 4 – 3(x – 0) или после упрощения:

y = – 3x +4

Ответ. Уравнение касательной:  y = – 3x +4

Применение производной к исследованию функций

Условия монотонности функции

Если функция непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и для х(a; b) { для х(a, b)}, то функция возрастает {убывает} на [a, b].

Исследование функции на экстремум

Точка х=х₀ называется точкой минимума функции , если существует некоторый интервал , в каждой точке х которого (точка х₀ на рис. 1а, 1б).

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если существует некоторый интервал , в каждой точке х которого

(точки b, l на рис. 2).

Необходимое условие экстремума

Если х₀ – точка экстремума функции, то либо , либо не существует производной в этой точке (такие точки называют стационарными).

Замечание. Это условие является необходимым, но не достаточным условием экстремума. Может быть так, что в точке х₀ (рис. 3а) или не существует (рис. 3б), и в этой точке функция не имеет экстремума.

Достаточные условия экстремума

Пусть функция дифференцируема на интервалах (а; х₀) и (х₀; b) и х₀ – стационарная точка. Тогда:

1. Если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с «–» на «+», то х₀ – точка минимума функции.

2. Если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с «+» на «–», то х₀ – точка максимума функции.

Результаты исследования обычно заносятся в таблицу.

Алгоритм исследования функции на экстремум

1. Найти .

2. Найти точки, в которых: или – не существует.

3. Все точки нанести на числовую прямую и найти знаки производной на каждом из полученных интервалов.

4. Занести результаты в таблицу, например:

х	(–; х1)	х1	(х1; х2)	х2	…
	–	0	+	Не сущ.	+
		min		Нет экстр.	

Пример 4.

Исследовать функцию на экстремум и построить схематично график.

Решение.

1. Найдем .

2. Найдем точки, в которых (функция дифференцируема для всех х).

.

1. В данном случае удобно воспользоваться исследованием знака на числовой прямой.

Таким образом, в точке х=1 нет экстремума, но в этой точке , то есть касательная параллельна оси Ох, .

Чтобы построить график, найдем дополнительные точки.

Точки пересечения с осью Ох:

 

.

или

– уравнение не имеет решений.

Строим график.

Приложение 4 Упражнения для закрепления

Самостоятельное решение задач на доске, коллективный разбор решений задач.

Задание №1

Механический смысл 1-й и 2-й производной

1. Точка движется по закону: s = -Зt² + 7t -1 (t в секундах, s в метрах). Найти его скорость через 1 секунду от начала движения.

2. Найти ускорение тела, движущееся по закону f(t) = 2t³ - 3t² + 6t + 5 (t в секундах, s в метрах) через 2 секунды от начала движения.

3. Материальная точка движется по закону: s = f(t) = + 2t. Найти её ускорение в момент времени, когда скорость равна 1 м/с.

4. Тело массой 2 кг движется по закону: s = f(t) = 2t³ - 3t² +14t - 5. Найти силу, действующую на это тело, и его кинетическую энергию через 3 секунды от начала движения.()

5. Температура тела Т изменяется в зависимости от времени по закону: Т = 0,2t² - 2t, где t – время в секундах, Т – температура в градусах. С какой скоростью нагревается тело в момент времени t₀ =5 с?

6. Материальная точка совершает гармоническое колебание по закону x(t) = 2sin 2t. Найдите скорость точки в момент t = 0,5 с.

7. Размер популяции бактерий определяется формулой P(t) = 10⁶ + 10⁴t -10³t², где t – время в часах. Найдите скорость роста популяции при t = 2ч.

8. Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону: Найдите скорость растворения.

9. Зависимость между количеством вещества Q, полученной в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением:

Q = 100t + 10e^-2t. Определить скорость реакции.

Задание №2

Геометрический смысл производной

1. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции
у = + в точке с абсциссой х₀ = .

2. В какой точке графика функции у = 4- х тангенс угла наклона касательной равен 1?

3. В какой точке касательная, проведённая к графику функции у = 2 - х² - х, параллельна прямой y=5х - 3 ?

4. Написать уравнение касательной, проведённой к графику функции
у = х² -4х + 3 с абсциссой х₀ = 1.

Задание №3

Приложения производной к исследованию функций

1. Определить промежутки убывания функции у = -3х² +12х-5.

2. Найти промежутки возрастания функции y = .

3. Исследовать функцию у = на монотонность.

4. Найти экстремумы функции у = х² - 4х + 4.

5. Исследовать функцию у = -2х²+3х + 4 на экстремум с помощью 2-й производной.

6. Исследовать функцию у = + х² +1 на монотонность и экстремум.

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 4х - х² на отрезке [l; 5].

Дополнительные задания

1. Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t². В какой момент ее скорость окажется равной нулю?

2. Два тела движутся прямолинейно: одно по закону s = t³ – t² – 27t, другое – по закону s = t² + 1. Определить момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

3. Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой s(t) =30t–16t², где s(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

4. Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения, если его масса равна 25 кг, а закон движения имеет вид s = 3t²– 1.

5. Тело, масса которого 30 кг, движется прямолинейно по закону s = 4t² + t. Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы.

6. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону s(t) = t³ – 3t² + 2. Найти силу, действующую на тело в момент времени t = 4с.

7. Материальная точка движется по закону s = 2t³ – 6t² + 4t. Найти ее ускорение в конце 3-й секунды.

Приложение 5 Контролирующий материал по теме
«Применение производной»

1 вариант

1. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведённой к графику функции
   f(x) = 2sinx в точке x₀ = .

2. Напишите уравнение касательной, проведённой к графику функции f(x) = x² + 2x – 1 в точке x₀ = 1.

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость точки в момент времени t = 3.

4. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции .

Вариант 2

1. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведённой к графику функции
   f(x) = 4cosx в точке x₀ = .

2. Напишите уравнение касательной, проведённой к графику функции f(x) = x² - 3x + 1 в точке x₀ = 2.

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость точки в момент времени t = 2.

4. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции .

Эталоны ответов

1 вариант	2 вариант
1	-2
y= 4x - 2	y= x - 3
5	9
Функция возрастает: (-∞; -5) U (1; +∞); Функция убывает: (-5; 1) xmax = -5; xmin = 1.	Функция возрастает: (-∞; -4) U (1; +∞); Функция убывает: (-4; 1) xmax = -4; xmin = 1.

Критерии оценки

«5» – все задания выполнены, верно;

«4» – 3 задания выполнены, верно;

«3» – 2 задания выполнены, верно;

«2» –выполнено верно 1 задание или не выполнено ни одно.