МУ по выполнению ПР дисциплины ЕН.01 специальности 10.02.04

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ

ГОБПОУ «Липецкий машиностроительный колледж»

Методические указания

по проведению

практической работы по учебной дисциплине

ЕН. 01. Математика

для специальности (группы специальностей):

10.02.04 Обеспечение информационной безопасности телекоммуникационных систем

Липецк -2021

Методические указания по проведению практической работы по
учебной дисциплине ЕН.01. Математика разработаны в соответствии с требованиями к результатам обучения ФГОС СПО для специальности

10.02.04 Обеспечение информационной безопасности телекоммуникационных систем

Организация-разработчик: Государственное областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Липецкий машиностроительный колледж»

Разработчик: Дымова Г.И. преподаватель ГОБПОУ «Липецкий машиностроительный колледж»

ОДОБРЕНО:	УТВЕРЖДАЮ:
на заседании МО ЦК ЕНД ______________ Г,И. Дымова Протокол № _________ «_____» _____________ 2021г.	Зам. директора по УР _________________ Ю.А. Гуськова «_____» __________________ 2021г.

Введение

Методические указания по выполнению практической работы разработаны согласно рабочей программы учебной дисциплины ЕН.01. Математика и требованиям к результатам обучения Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (далее – ФГОС СПО) по специальности

10.02.04 Обеспечение информационной безопасности телекоммуникационных систем

Практическая работа направлена на овладение обучающимися следующих результатов обучения:

уметь:

-выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

-выполнять операции над множествами;

-применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

-использовать основные положения теории вероятностей и математической статистики;

-применять стандартные методы и модели к решению типовых вероятностных и статистических задач;

-пользоваться пакетами прикладных программ для решения вероятностных и статистических задач.

-планировать свое профессиональное развитее информационные технологии для поиска и решения профессионально значимых задач.

знать:

-основы линейной алгебры и аналитической геометрии;

-основные положения теории множеств;

-основные понятия и методы дифференциального и интегрального исчисления;

-основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

-основные статистические пакеты прикладных программ;

-логические операции, законы и функции алгебры, логики

-методы самоконтроля в решении профессиональных задач

-способы и методы сбора, анализа и систематизации данных посредством информационных технологий

ПК и ОК, которые актуализируются при изучении учебной дисциплины:

Код	Наименование видов деятельности и профессиональных компетенций
ОК 01	Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности, применительно к различным контекстам.
ОК 02	Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности.
ОК 03	Планировать и реализовывать собственное профессиональное и личностное развитие.
ОК 09	Использовать информационные технологии в профессиональной деятельности.
ПК1.1.	Производить монтаж, настройку и поверку функционирования и конфигурирования оборудования информационно – телекоммуникационных систем и сетей.
ПК 1.2.	Осуществлять диагностику технического состояния, поиск неисправностей и ремонт оборудования информационно – телекоммуникационных систем и сетей.
ПК 1.3.	Проводить техническое обслуживание оборудования информационно – телекоммуникационных систем и сетей
ПК 2.1.	Производить установку, настройку, испытания и конфигурирование программных и программно-аппаратных, в том числе криптографических средств защиты информации от несанкционированного доступа и специальных воздействий в оборудование информационно – телекоммуникационных систем и сетей
ПК 2.2.	Поддерживать бесперебойную работу программных и программно-аппаратных, в том числе и криптографических средств защиты информации в информационно – телекоммуникационных системах и сетях
ПК 2.3.	Осуществлять защиту информации от несанкционированных действий и специальных воздействий в информационно – телекоммуникационных системах и сетях с использованием программных и программно-аппаратных, в том числе криптографических средств в соответствии с предъявленными требованиями
ПК 3.1.	Производить установку, монтаж, настройку и испытания технических средств защиты информации от утечки по техническим каналам в информационно – телекоммуникационных системах и сетях
ПК 3.2.	Проводить техническое обслуживание, диагностику, устранение неисправностей и ремонт технических средств защиты информации, используемых в информационно – телекоммуникационных системах и сетях
ПК 3.3.	Осуществлять защиту информации от утечки по техническим каналам в информационно – телекоммуникационных системах и сетях с использованием технических средств защиты в соответствии с предъявляемыми требованиями.
ПК 3.4.	Проводить отдельные работы по физической защите линий связи информационно – телекоммуникационных систем и сетей

Практические работы следует проводить по мере прохождения студентами теоретического материала.

Практические работы рекомендуется производить в следующей последовательности:

- вводная беседа, во время которой кратко напоминаются теоретические вопросы по теме работы, разъясняется сущность, цель, методика выполнения работы;

- самостоятельное выполнение необходимых заданий;

- обработка результатов выполнения заданий, оформление отчета;

- защита практической работы в форме собеседования по методике проведения и результатам проделанной работы.

Обязательная аудиторная нагрузка на практическую работу – 2 часа.

Методические указания к выполнению практической работы для студентов

1. К выполнению практической работы необходимо приготовиться до начала занятия, используя рекомендованную литературу и конспект лекций.

2. Студенты обязаны иметь при себе линейку, карандаш, тетрадь для практических работ.

3. Отчеты по практическим работам должны включать в себя следующие пункты:

- название практической работы и ее цель;

- краткий порядок выполнения работы;

- далее пишется «Ход работы» и выполняются этапы практической работы, согласно указанному в работе порядку.

1. При подготовке к сдаче практической работы, необходимо ответить на предложенные контрольные вопросы.

2. Если отчет по работе не сдан во время (до выполнения следующей работы) по неуважительной причине, оценка за работу снижается.

Система оценивания практической работы

При оценивании выполнения практической работы студентом учитывается следующие показатели:

- качество выполнения задания работы (выполнение работы в соответствии с заданием, правильность результатов работы);

- качество оформления отчета по работе (оформление отчета в соответствии с требованиями методических рекомендаций, правильность и четкость формулировки выводов по результатам работы);

- качество и глубина устных ответов на контрольные вопросы при защите работы.

Каждый показатель оценивается по 5-ти бальной шкале и выставляется средний балл по всем показателям.

Критерии оценки:

Ответ оценивается отметкой «5», если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможны некоторые неточности, описки, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

Требования к технике безопасности при выполнении

практических работ

- Вход в аудиторию осуществляется только по разрешению преподавателя.

- На первом занятии преподаватель проводит первичный инструктаж по технике безопасности и напоминает студентам о бережном отношении к оборудованию и о материальной ответственности каждого из них за сохранность оборудования и обстановки.

- При обнаружении повреждений оборудования персональную ответственность несут студенты, выполнявшие работу на этом оборудовании. Виновники обязаны возместить материальный ущерб.

- Если во время проведения работы на оборудовании замечены какие-либо неисправности оборудования, необходимо немедленно сообщить об этом преподавателю.

- После окончания работы рабочее место следует привести в порядок.

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г., Иволгина С.В. «Математика»: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования под редакцией В.А. Гусева. – 11-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2017.

Дополнительные источники:

М.И. Башмаков. Математика. Учеб. для студентов учреждений среднего профессионального образования. – М.: Академия, 2018.

В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. Математика в задачах с решениями. Учеб. пособие. -М.: Лань, 2017

Периодические издания:

1. Математика. Ежемесячный методический журнал для учителей математики. – М.: «Издательский дом «Первое сентября».

Интернет-ресурсы:

1. Методическая копилка учителя математики [Электронный ресурс]: база данных содержит методические и информационные средства для учащихся и педагогов среднего звена общего полного и начального профессионального образования – Электрон. дан. – Режим доступа: http://metod-kopilka.ru – Загл. с экрана;

2. Национальный фонд подготовки кадров – Электрон. дан. – Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/catalog/– Загл. с экрана;

3. Открытый класс. Сетевые образовательные сообщества [Электронный ресурс]: / Национальный фонд подготовки кадров – Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.openclass.ru/ – Загл. с экрана;

4. Сеть творческих учителей [Электронный ресурс]: информация и материалы по использованию информационных и коммуникационных технологий (ИКТ) в образовании – Электрон. дан. – Режим доступа: http://it-n.ru/– Загл. с экрана;

5. Единое окно доступа к образовательным ресурсам [Электронный ресурс]: каталог образовательных Интернет - ресурсов/ ФГУ ГНИИ ИТТ «Информика». – Электрон. дан. – Режим доступа: http://window.edu.ru/– Загл. с экрана;

6. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс].— Режим доступа: http://window.edu.ru/window, свободный.— Загл. с экрана.

7. Российская национальная библиотека [Электронный ресурс].— Режим доступа: http:// nlr.ru/lawcenter, свободный.— Загл. с экрана.

8. Электронные библиотеки России /pdf учебники студентам [Электронный ресурс].— Режим доступа: http://www.gaudeamus.omskcity.com/my_PDF_library.html, свободный.— Загл. с экрана.

9. www.exponenta.ru- Образовательный математический сайт

10. www.math24.ru – Математический анализ.

11. http://www.allmath.ru- Математический портал

12. http://www.rksi.ru/rksi/libraru - Электронный учебник по дисциплине «Элементы высшей математики»

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

ТЕМА: Действия с матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков. Нахождение обратной матрицы, ранга матрицы

Цель работы: закрепить навыки выполнения действий над матрицами

Ход работы

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2. Сформулируйте понятие матрицы т ее основные свойства

3. Выполните задания своего варианта

4. Оформите работу и сделайте вывод

Теоретическая часть

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица имеет размер 2x3. Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j-й столбец – обозначение A^j.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a₁₁ , a₂₂ ,…, a_nn квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Пример 1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент c_ij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B: (i=1,2,…,m; j=1,2,…,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример 2. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn, называется матрица A^T размера nxm, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если , то .

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

.

Вычисление определителей. Определитель матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3x3 (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

Пример 4. Найти:

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой , а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой .

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.

Контрольные вопросы:

Что такое матрица?

Что такое квадратная матрица?

Что такое единичная матрица

Как умножить матрицу на число

Сумма (разность) матриц

Произведение матриц. При каком условии можно умножать матрицы?

Что такое транспонированная матрица?

Как вычислить определитель матрицы третьего порядка?

Что такое минор и алгебраическое дополнение?

Как найти обратную матрицу?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Даны матрицы А и В

1. Выписать матрицу А^Т, минор матрицы М₂₁, отвечающий элементу а₂₁.

2. Вычислите определитель матрицы |А|

3. Вычислить 3А, 2А-3В, А*В, В*А

4. Вычислите В^-1.

5. Вычислить 4А+5В^-1+ А*В.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

ТЕМА: Решение СЛУ по формулам Крамера и Гаусса

Цель работы: систематизировать знания, умения и навыки решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы, методом Крамера и методом Гаусса.

Теоретический материал.

Матричный метод решения системы уравнений (метод обратной матрицы)

Пусть дана система линейных уравнений:

Запишем заданную систему в матричном виде: , где

Рением данного кравнения является:

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу   надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-стол

бец свободных коэффициентов.

П ример Решить с помощью обратной матрицы систему 

Решение. Запишем данную систему в матричной форме: , где  - матрица системы,  - столбец неизвестных,  - столбец правых частей. Тогда

Найдем обратную матрицу   к матрице   :

1. Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы   :

Определитель матрицы 

А тогда

Отсюда искомая матрица

Ответ. 

Метод Крамера Примеры решения систем уравнений методом Крамера

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

Таким образом,          

Ответ. 

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса. Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок(обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

• умножение или деление на одно и то же число;

• сложение и вычитание уравнений;

• перестановку уравнений системы;

• исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Пример решения системы уравнений методом Гаусса

  Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент   равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Д алее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:

В се элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на   ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

О
т третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

У множив третью строку на   , Получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гаусса-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент   , для этого от второй строки отнимем третью:

Вернемся к системе уравнений и решаем ее.

ЗАДАНИЕ: Решите систему линейных уравнений тремя способами:

1) методом Крамера,

2) методом Гаусса,

3) методом обратной матрицы (матричным методом).

1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

ТЕМА: Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой и окружности.

Цель работы: систематизировать знания и навыки выполнения действий над векторами, составления уравнений прямой, линии и окружности.

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомиться с заданиями своего варианта.

2. Записать формулы координат вектора, модуля вектора, скалярного и векторного произведения векторов, уравнения прямой в параметрическом и каноническом виде; уравнение прямой, проходящей через две точки; формулу угла между прямыми.

3. Выполнить задания своего варианта.

4. Оформить работу и сделать вывод

Теоретическая часть

1. Основные понятия для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости. На рисунке изображены ненулевые векторы и нулевой вектор :

Коллинеарные векторы в пространстве: как и на плоскости – сонаправленные и противоположно направленные векторы. В параллелепипеде:

Два вектора равны, если они сонаправлены и равны их длины, т.е.

в параллелепипеде:

1. Действия над векторами в пространстве

Д ля векторов в пространстве справедливы все действия, что и на плоскости: сложение, вычитание, умножение на число.

Пусть даны четыре точки пространства, не лежащие на одной прямой или в одной плоскости.

1. Сколько векторов можно построить на этих точках?

Из каждой точки выйдет 3 вектора, таким образом, 4* 3 = 12 – векторов. На рисунке изображены только некоторые из них;

1. Среди обозначенных векторов найдем такие, которые являются суммой других. В данном случае: ;

2. Среди обозначенных векторов найдем такие, которые являются разностью других. В данном случае:

2. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Компланарные векторы

В екторы называют компланарными, если при откладывании их от одной точки, они будут лежать в одной плоскости.

На рисунке векторы компланарны, т.к., если вектор AA₁ отложить от точки B, то получится вектор BB₁, который с остальными лежит в одной плоскости BDD₁.

А векторы не компланарны, т.к. не лежат в одной плоскости.

Признак компланарности трех векторов

Если вектор можно разложить по векторам , т.е. представить в виде , где x и y – некоторые числа, то векторы компланарны.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Т.е. , вектор p разложен по векторам a, b, c; x, y, z – коэффициенты разложения.

Например, в параллелепипеде:

, т.к. .

В данном случае коэффициенты разложения равны единице.

Приведенный пример называется правилом параллелепипеда.

Решение задач

1. В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC. Разложите вектор AM по векторам AB и AC.

Решение. Найдем сумму векторов AB и AC по правилу параллелограмма. Тогда , точка M- точка пересечения диагоналей, значит или .

1. В треугольнике ABC точка M – точка пересечения медиан треугольника. Разложите вектор AM по векторам AB и AC.

Решение. По свойству медиан треугольника , где точка K – середина BC.

Тогда

3 . Докажите, что если M – точка пересечения медиан треугольника ABC, а О – произвольная точка пространства, то .

Решение. Сделаем рисунок. Тогда, с учетом предыдущей задачи:

; сложим левые и праве части равенств: - доказано.

3. Прямоугольная система координат в пространстве

Координаты вектора на плоскости

В прямоугольной системе координат xOy, где x – абсцисса точки на плоскости, y – ордината точки, координаты точек: A (4; 2), B (2; 3), C (-2; 2). Тогда, координаты векторов, выходящих из начала координат:

Система координат в пространстве

Это система координат, которая задается тремя направленными взаимно перпендикулярными прямыми OX, OY, OZ. Эти прямые образуют взаимно перпендикулярные плоскости XOY, XOZ, YOZ.

Положение любой точки пространства однозначно определяется тройкой чисел – координат (x, y, z), где x – абсцисса, y – ордината, z – аппликата точки.

Н апример, поместим в систему координат куб с ребром, равным 2, следующим образом. Тогда координаты вершин:

A (2; 0; 0), B (2; 2; 0), C (0; 2; 0), D (0; 0; 0),

A₁ (2; 0; 2), B₁ (2; 2; 2), C₁ (0; 2; 2), D₁(0; 0; 2)

Координаты вектора

Введем понятие координатных или единичных векторов. Это векторы, отложенные на осях координат от начала координат и имеющие длину, равную единице: на оси . Часто векторы i, j, k называют орты.

Тогда, любой вектор в системе координат можно разложить по ортам, причем единственным образом: , где x, y, z – коэффициенты разложения. Они же являются координатами вектора: .

На рисунке:

1. Разложение вектора по ортам: ;

2. Координаты вектора:

Координаты нулевого вектора равны нулю, координаты равных векторов соответственно равны

Правила:

1. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов: ;

2. Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат: ;

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число:

Решение задач

1. Определите координаты векторов: ;

2. Напишите разложение следующих векторов по ортам:

3. Даны векторы: . Найдите координаты следующих векторов:

;

;

;

Можно производить операции с любым количеством векторов.

Связь между координатами векторов и координатами точек

Как и на плоскости для векторов, начало которых совпадает с началом координат, координаты вектора совпадают с координатами конца вектора. Например, если заданы точки O (0; 0; 0) и A (3; 5; -2), то вектор OA будет иметь координаты .

Если заданы векторы , то вектор

Простейшие задачи в координатах

1. Координаты середины отрезка

Пусть в системе координат заданы точки с координатами A (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂). Точка M – середина отрезка AB. Тогда . При этом

Тогда координаты точки M (x;y;z) будут выражены через координаты точек A и B следующим образом:

1. Длина вектора в координатах

Если в системе координат задан вектор , то длина этого вектора вычисляется по формуле:

1. Расстояние между двумя точками

Если в системе координат заданы координаты двух точек , то расстояние между ними равно длине вектора, построенного на этих точках, т.е. . Но вектор CN задается разностью координат векторов ON и OC, т.е. , тогда длина этого вектора (или расстояние между точками)

1. Координаты точки пересечения медиан треугольника

Пусть построен треугольник с вершинами A (x₁; y₁; z₁), B (x₂; y₂; z₂), C (x₃; y₃; z₃).

Точка M с координатами (x; y; z) – точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда:

1. Решение задач

№ 1. Точка M – середина отрезка AB. Найдите координаты точки:

1. M, если . Тогда: ;

2. B, если . Тогда: ;

3. A, если . Тогда: ;

№ 2. Даны точки . Найдите:

1. Периметр треугольника ABC. . Найдем длины сторон: ;

2. Медианы треугольника ABC: AM, BN, CK, где M – середина AB, N – BC, K – AC.

;

BC и AC найдите самостоятельно.

№ 3. Даны точки A (1; 0; k), B (-1; 2; 3), C (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник ABC является равнобедренным?

Ищем стороны треугольника:

Т огда, возможны три ситуации:

1. AB=BC;

2. AC=AB;

3. AC=BC

1. AB=BC: ;

2. AC=AB: ;

3. AC=BC:

Ответ:

4. Скалярное произведение векторов

Угол между векторами

Если два ненулевых вектора сонаправлены, то угол между ними равен 0⁰. Два вектора перпендикулярны, если угол между ними равен 90⁰. Угол между векторами обозначается так: .

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

, где φ – угол между векторами.

• Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны;

• Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины;

• Угол между векторами вычисляется по его косинусу по формуле:

Свойства скалярного произведения:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

1. Р ешение задач

№ 1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами: а) .

Решение. Поместим куб в систему координат; ребро куба обозначим a.

В данном случае задача очень простая. Поскольку BCC₁B₁ – квадрат, в котором B₁C диагональ, то угол между прямыми BB₁ и B₁C равен 45⁰, но угол между векторами – тупой, т.е. .

№ 2. Даны векторы . Вычислите: а) ; г) .

Решение. А) ;

г) .

№ 3. Даны точки . Докажите, что ABCD – квадрат.

Решение. Необходимо доказать, что: 1) AB =BC = CD; 2) угол между векторами AB и AD равен 90⁰.

;

, Ч. Т. Д.

№ 4. Вычислите угол между векторами: в)

Решение.

№ 4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 найдите угол между диагональю куба BD₁ и диагональю грани A₁D.

Решение – методом координат. 1. Поместим куб в систему координат.

2. Определяем координаты векторов: ;

3. φ – угол между векторами. Тогда:

.

Пояснение: косинус угла взят по модулю т.к. угол между векторами может быть тупым, т.е. косинус – отрицателен. Тогда угол равен 180⁰ – φ. Но углом между прямыми считается меньший, т.е. острый угол.

Уравнение прямой в пространстве

Для определения уравнения прямой отметим особенности этой геометрической фигуры. Первичным (аксиоматическим) свойством прямой является: через две точки можно провести только одну прямую.
Исходя из первичного свойства, можно заметить, что прямую, также однозначно, определяет точка и направление прохождения прямой через точку. Изучая геометрические векторы, мы выделяли одно из важных свойств вектора – направление. Воспользуемся этим свойством.

Каноническое и параметрическое уравнение прямой.

Пусть задана точка   , лежащая на прямой   , и задано ее направление при помощи вектора   . Необходимо построить уравнение этой прямой. Воспользуемся рисунком. Обозначим произвольную точку пространства   .
Тогда прямая – это геометрическое место таких точек   , что векторы   и   коллинеарны. Это значит:   , или:
 =   .

Последнее равносильно уравнениям:
 – канонические уравнения прямой в пространстве. (12)

Записи (12) уравнений прямой можно поставить в соответствие систему уравнений с общей переменной   :
 – параметрическая форма уравнений прямой. (13)
Замечания: 1). Равенство   при значении   =0 не имеет смысла, хотя геометрически ситуация вполне определена: точка   совпадает с точкой   .

2). Равенства (12) при   =0 показывают, что   ,
но для векторов   и   не является содержательным.

3). Равенства (13) в механической интерпретации можно рассматривать как прямолинейное движение точки с постоянной скоростью   из начального положения   .
При   =0 имеем начальное положение точки:   =   ,
что в механике вполне ожидаемо!

Теперь вполне логично рассмотреть задачу: получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:   ,   . Задача сводится к рассмотренной выше, если принять:   =   и
 :
 или   (14)

Прямая как линия пересечения двух плоскостей.

Интересно определение прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Плоскости   ,
имеющие общую точку   ,
пересекаются по прямой линии, проходящей через эту точку. Учитывая свойства прямой, можно продолжить: плоскости   в этом случае имеют бесчисленное множество общих точек. Пусть имеем плоскости:
 :   и   :   .

Пересечение плоскостей соответствует аналитической модели в виде системы уравнений, включающей уравнения плоскостей:
 (15)

Из геометрических соображений легко заметить, что система уравнений (15) не будет иметь решений, если плоскости параллельны. Если плоскости совпадают, то каждая точка   ,
принадлежащая плоскости   ,
принадлежит и плоскости   .
Это значит, система уравнений должна иметь бесчисленное число решений. Пересекающиеся плоскости тоже имеют бесчисленное множество общих точек, но только тех, которые принадлежат их линии пересечения. И опять система уравнений должна иметь бесчисленное число решений. Из элементарной (школьной!) алгебры известно: если уравнение одно, а неизвестных три, то для двух неизвестных нужно принять произвольные (допустимые!) значения, а значение третьей неизвестной вычислить из уравнения; если уравнений два, при трёх неизвестных, то произвольные значения присваивают одной из неизвестных, а значения остальных (двух) вычисляют, используя систему уравнений. В этом и кроется бесчисленное число решений системы (15). Если плоскости пересекаются, то решение системы уравнений (15) можно записать в виде:
 , →   , → z = t, (16)

где   – параметр, а система уравнений (15) определяет прямую в пространстве в параметрической форме.

Пример: Составить каноническое уравнение прямой:   .
Р ешение:

1). Для решения задачи необходимо вспомнить, что для записи канонического уравнения прямой необходимо иметь одну точку   ,
через которую проходит прямая, и направляющий вектор этой прямой.

2). Так как векторы нормалей плоскостей, уравнения которых представлены в системе, не параллельны:   =(1,–2,3) и   =(3,2,–5), то плоскости пересекаются, а значит, система имеет решения. Если принять:   =0, то из системы легко находим решение: (2,–1,0)=   .
Если принять:   =4, то из системы легко находим решение: (4,6,4)=   .

3). Определим направляющий вектор прямой   :   =   =(2,7,4). Запишем каноническое уравнение прямой   :   .

Ответ: уравнение прямой   :   .

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества

освоенных результатов обучения):

• Понятие вектор в пространстве

• Действия над векторами в пространстве

• Коллинеарные вектора

• Компланарные вектора

• Угол между векторами

Приложение.

Задание №1.

1. Построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат.

2. Найти координаты векторов АВ, АС,ВС

3. Длины векторов АВ, ВС, АС

4. Выполните действия:

2АВ+3АС

4АС-СВ

2АС•(2АВ+СВ)

5. соsα, α=(АС,СВ)

6. АВхВС

7. Площадь треугольника АВС

8. Доказать, что векторы АВ и ВС не коллинеарные

Задание №2.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярно заданному вектору

Задание №3.

Найти расстояние от точки А до плоскости

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4

ТЕМА: Вычисление пределов функции в точке. Вычисление пределов функции на бесконечности. Раскрытие неопределенностей. Правило Лапиталя. Вычисление пределов с помощью правила Лапиталя.

Цель работы: систематизировать знания и навыки вычисления пределов функции в точке и на бесконечности; раскрытия неопределенностей.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические материал по теме работы.

2. Выполните задание вашего варианта, с указанием используемых правил и формул.

3. Оформите работу и сделайте вывод.

Теоретическая часть.

Число   называется пределом функции   в точке  , если для любой последовательности  , которая сходится к  , соответствующая последовательность значений функции  сходится к  .

Полезные равенства

Теорема

Пусть функции   и   заданы в некоторой окрестности точки  , кроме, возможно, самой точки  , и  и   . Тогда имеют место следующие равенства:

а) 

б) 

в) 

г) 

Определение

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Определение

Число   называется правым пределом функции   в точке  , если для     такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число   называется левым пределом функции   в точке  , если для     такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   (рис. 2). Левый предел обозначается 

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Теорема

Если существуют   и  , причем  , то существует и  . Обратное утверждение также верно.

В случае, если  , то предел   не существует.

Пример

Задание. Найти односторонние пределы функции   при 

Решение. Правый предел: 

Левый предел: 

Предел функции на бесконечности. Бесконечно большая функция

Рассмотрим функцию  , заданную на  .

Определение

Число   называется пределом функции   на бесконечности или при  , если для любого   существует число   такое, что для всех   из того, что  , выполняется неравенство  .

Определение

Функция   называется бесконечно большой в точке  , если для любого   существует такое , что для любого  , удовлетворяющего неравенству  , выполняется неравенство:  . В этом случае пишут: 

Определение

Функция   называется бесконечно большой при  , если для любого   существует такое число   такое, что для всех   из области определения функции  , которые удовлетворяют неравенству  , выполняется неравенство  : 

Свойства пределов функции

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.

Ответ. 

4°   Константу можно выносить за знак предела:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

5°   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначала найдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.

Ответ. 

Первый замечательный предел:

Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Применение первого замечательного предела на практике

Пример

Задание. Найти предел 

Решение. Воспользуемся заменой и первым замечательным пределом.

Ответ. 

Пример

Задание. Найти предел 

Решение. Разложим тангенс на синус и косинус и воспользуемся свойствами пределов.

Ответ. 

Второй замечательный предел:

здесь е - число Эйлера.

Пример

Задание. Найти предел 

Решение. Подставим  , получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

Ответ. 

ЗАДАНИЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вычислите пределы функции. Вариант №1 Вычислите пределы функций:	Вариант №2 Вычислите пределы функций:
Вариант №3 Вычислите пределы функций:	Вариант №4 Вычислите пределы функций:
Вариант №5 Вычислите пределы функций:	Вариант №6 Вычислите пределы функций:
Вариант №7 Вычислите пределы функций:	Вариант №8 Вычислите пределы функций:
Вариант №9 Вычислите пределы функций:	Вариант №10 Вычислите пределы функций:
Контрольные вопросы Понятие предела функции. Теоремы о пределах. Первый и второй «замечательные» пределы.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5

ТЕМА: Исследование функции с помощью производной и построение графика

Цель работы: закрепить умение применять производную функции при определении промежутков монотонности и точек экстремума функции, при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке;

формировать умение строить схематически график функции.

уметь:

• решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков;

• применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности;

знать:

• основные понятия и методы математического анализа;

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические материал по теме работы.

2. Выполните задание вашего варианта, с указанием используемых правил и формул.

3. Оформите работу и сделайте вывод

Теоретическая часть.

Достаточный признак монотонности функции в интервале: если функция имеет

положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция

возрастает (убывает) на этом интервале.

Достаточные условия существования экстремума.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке хо, f ‘(x)0 на интервале [a, xо] и

f ‘(x)

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке хо, f ‘(x)

f ‘(x)0 на интервале [xо, b], то хо является точкой минимума функции f(x).

Алгоритм нахождения экстремумов функции

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Определить знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки

разбивают область определения.

5. Найти точки экстремума, учитывая характер изменения знака производной.

6. Найти экстремумы функций.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1. Найти критические точки функции.

2. Найти значения функции в критических точках, принадлежащих интервалу (а; b).

3. Найти значения функции на концах отрезка [а; b].

4. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Задания для практической работы

Вариант№1 Исследовать функцию и построить её график: y= y=	Вариант№2 Исследовать функцию и построить её график: y= y=
Вариант№3 Исследовать функцию и построить её график: y= y=	Вариант№4 Исследовать функцию и построить её график: y= y=
Вариант№5 Исследовать функцию и построить её график: y= y=	Вариант№6 Исследовать функцию и построить её график: y= -9x+1 y=
Вариант№7 Исследовать функцию и построить её график: y= y=	Вариант№8 Исследовать функцию и построить её график: y= -9x+1 y= .
Вариант№9 Исследовать функцию и построить её график: y= y=	Вариант№10 Исследовать функцию и построить её график: y= -2x- y=

Контрольные вопросы

1. Промежутки монотонности

2. Экстремумы функции. Точки экстремума.

3. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6

ТЕМА: Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Универсальная подстановка.

Цель работы: систематизировать знания и закрепить навыки решения неопределенных интегралов методом замены переменной и интегрирование по частям; рассмотреть применение математических методов интегрального исчисления для решения профессиональных задач.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические материал по теме работы.

2. Выполните задание вашего варианта, с указанием используемых правил и формул.

3. Оформите работу и сделайте вывод.

Теоретическая часть.

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Определение. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интегрирования приводится к одному или нескольким табличным интегралом, называется непосредственном интегрированием.

Примеры:

1)

2)

Метод интегрирования подстановкой

Метод подстановки (или замены переменной) заключается в том, что заменяют на , где - непрерывно дифференцируемая функция, полагают и получают .

Примеры:

1)

2)

3)

4)

13.3. Метод интегрирования по частям

Примеры:

1)

2)

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Задание 1. Непосредственное интегрирование.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

Задание 2. Непосредственное интегрирование.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

Задание 3. Способ подстановки.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

Задание 4. Способ подстановки

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) ; 10)

Задание 5. Способ интегрирования по частям.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

Контрольные вопросы:

• определение первообразной

• свойства неопределенного интеграла

• суть метода интегрирования по частям

• суть метода замены переменной

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7

ТЕМА: Вычисление простейших определенных интегралов. Вычисление определенных интегралов с помощью замены переменных, интегрирования по частям. Решение прикладных задач: вычисление площадей, объемов.

Цель работы: систематизировать знания и закрепить навыки вычисления простейших определенных интегралов; вычисление определенных интегралов с помощью замены переменных, интегрирования по частям; решения прикладных задач.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические материал по теме работы.

2. Выполните задание вашего варианта, с указанием используемых правил и формул.

3. Оформите работу и сделайте вывод

Теоретическая часть.

Основные свойства определенного интеграла

; ;

; где a, b, c любые числа.

; .

Формула Ньютона – Лейбница

Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и функция у = F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница .

Вычисление определенных интегралов

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница: .

Вычисление площади плоской фигуры

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1)

Так дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой , т. е. , то, интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим

(1)

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади S равен откуда

(2)

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми x=a и x=b, лежит под осью (рис. 3), площадь находится по формуле

(3)

Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми x=a и x=b, расположена по обе стороны от оси (рис. 4), то

(4)

Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми и и прямыми x=a и x=b, где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле

Метод непосредственного интегрирования

Пример 1.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Используя формулы (1), (2), получим

Пример 2.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Используя формулу (7), получим

.

Пример 3.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Используя формулу (1), получим

.

Пример 4.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Используя формулу (16), получим

.

Пример 5.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Используя формулу (20), получим

.

Метод замены переменной

Пример 6.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Выполняя замену переменных и используя формулу (1), получим

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям выполняется по формуле

.

Пример 7.

Вычислите определенный интеграл .

Решение.

Задания для самостоятельного решения

Задание №1. Вычислите определенные интегралы, подбирая рациональный метод решения.

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

Задание №2.

Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями

№ варианта	Уравнения линий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Контрольные вопросы.

1. Формула Ньютона –Лейбница

2. Свойства определенных интегралов

3. Суть методов непосредственного интегрирования, подстановки и по частям.

4. Геометрический смысл определенного интеграла

5. Свойства определенного интеграла

6. Суть метода замены переменной при вычислении определенного интеграла

7. Применение определенного интеграла при решении задач физики и механики

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8

ТЕМА: Исследование сходимости знакоположительных рядов. Исследование сходимости знакочередующихся рядов.

Цель работы: исследование сходимости знакоположительных рядов и знакочередующихся рядов.

Порядок выполнения работы:

1.Повторите теоретический материал по данной теме.

2. Запишите основные определение и формулы, необходимые для расчета и т.п.

3. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

4. Сделайте выводы по результатам работы

Теоретическая часть

Выражение вида

,

где  ; ; ;…; ;… - члены ряда;  - n-ый или общий член ряда, называется бесконечным рядом (рядом).

Если члены ряда :

• числа, то ряд называется числовым;

• числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

• числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

• положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

• числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

• функции, то ряд называется функциональным;

• степени , то ряд называется степенным;

• тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

I. Числовой ряд

1.1. Основные понятия числового ряда.

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)

где  , , ,…, ,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы

…………..

,

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм  .

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда   стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число  - суммой сходящегося ряда, т.е.

 и  .

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма   ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к  или  ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение   при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность   называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

1.2. Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

 (1.2)

называется геометрическим  .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов  . Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

:

.

Ряд (1.2) принимает вид:

,

, ряд расходится;

Ряд (1.2) принимает вид:

,

 не имеет предела, ряд расходится.

,

 - конечное число, ряд сходится.

,

 - ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при  и расходится при  .

при  .

1.2. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд   может сходиться только при условии, что его общий член   при неограниченном увеличении номера   стремится к нулю:  .

Если  , то ряд   расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие  , то ряд сходится при   и расходится при  .

Признак Даламбера не дает ответа, если  . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Упражнения.

Записать ряд по его заданному общему члену:

;

;

.

Решение.

Полагая  , , ,…, имеем бесконечную последовательность чисел:

, , . Сложив его члены, получим ряд

.

Поступая так же, получим ряд

.

Придавая значения 1,2,3,… и учитывая, что , , ,…, получим ряд

.

Найти n-ый член ряда по его данным первым членам:

;

 .

Решение.

Знаменатели членов ряда, начиная с первого, являются четными числами; следовательно, n-ый член ряда имеет вид  .

Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону   или по закону  . Значит, n-й член ряда имеет вид  .  или  .

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

;

;

.

Решение.

Находим  .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

,

который сходится, так как .

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

Имеем

.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим  .

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

,

который сходится, поскольку , следовательно, сходится и данный ряд.

Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

;

.

Решение.

Подставив в общий член ряда   вместо n число n+1, получим  . Найдем предел отношения  -го члена к n-му члену при  :

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Имеем

Значит, данный ряд расходится.

, т.е. ряд расходится.

II. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда.

Числовой ряд

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

,

где  для всех  (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

;

;

.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.  ;

Общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

.

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на  к исследованию ряда  .

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

.

Если сходится ряд

,

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

2.3. Упражнения.

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

;

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

и

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд  , составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

 

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

, но

.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

;

Решение.

Используя признак Лейбница, получим

; ,

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Это геометрический ряд вида , где , который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

;

Решение.

Используя признак Лейбница, имеем

;

, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

, или

.

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как . Следовательно, данный ряд сходится условно.

III. Функциональный ряд

3.1. Понятие функционального ряда.

Ряд, членами которого являются функции от  , называется функциональным:

.

Придавая   определенное значение  , получим числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка   называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента  , при которых функциональный ряд сходится, называется егообластью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от  : .

Определяется она в области сходимости равенством

, где

- частичная сумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда  .

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем  . Следовательно, этот ряд сходится при  , т.е. при всех  ; сумма ряда равна  ;

, при  .

3.2. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа   называются коэффициентами ряда, а член  - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений  , при которых данный ряд сходится.

Число  называется радиусом сходимости степенного ряда, если при   ряд сходится и притом абсолютно, а при   ряд расходится.

Радиус сходимости   найдем, используя признак Даламбера:

 ( не зависит от ),

,

т.е. если степенной ряд сходится при любых  , удовлетворяющих данному условию и расходится при  .

Отсюда следует, что если существует предел

,

то радиус сходимости ряда равен этому пределу и степенной ряд сходится при  , т.е. в промежутке  , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если  , то степенной ряд сходится в единственной точке  .

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при   и   исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

3.3. Упражнения.

Найти область сходимости ряда:

;

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

, ,

.

Ряд абсолютно сходится, если   или  . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При  имеем ряд  , который сходится по признаку Лейбница.

При   имеем ряд - это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок .

.

Решение. Найдем радиус сходимости ряда:

.

Следовательно, ряд сходится при , т.е. при .

При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При имеем расходящийся ряд

.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является промежуток .

IV. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Для приложений важно уметь данную функцию  разлагать в степенной ряд, т.е. функцию  представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции   называется степенной ряд вида

.

Если  , то получим частный случай ряда Тейлора

,

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции   в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке  , т.е. , , ,…, ;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

,  .

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

.

.

.

.

.

.

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как  , то, заменяя  на   в разложении  , получим:

,  .

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции  .

Решение. Так как  , то воспользовавшись формулой  , в которой заменим   на  , получим:

,

или

,

если

, т.е. .

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию  .

Решение. Воспользуемся формулой  . Так как

, то заменив на получим:

, или

,

где  , т.е.  .

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1.

При помощи признака сравнения рядов установить сходимость

или расходимость рядов:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6)

7) .

8) .

9) .

10) .

Задание 2.Исследовать по признаку Даламбера сходимость рядов:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

Задание 3.Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) .;

2) .;

3) .;

4) .;

5) .

Задание 4.Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Задание 5. Используя разложения в ряд Маклорена функции , , , , разложить степенные ряды функции:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):

• Основные понятия числового ряда.

• Сходимость и расходимость числового ряда.

• Признак Даламбера

• Абсолютная и условная сходимости ряда.

• Признак Лейбница

• Понятие степенного ряда

• Разложение функции в ряд Маклорена.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

ТЕМА: Линейные однородные и неоднородные ДУ первого порядка.

Цель работы: развитие навыков решения простейших дифференциальных уравнений, нахождение общих и частных решений.

Ход работы:

1.Повторите теоретический материал по данной теме

2.Выполните задание, согласно своего варианта.

3.Сделайте выводы по результатам работы

Теоретическая часть

Понятие дифференциального уравнения

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков.

Общий вид ДУ:

, ,

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение

Решением (или интегралом) ДУ называется такая функция , подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество.

Процесс нахождения решения называется интегрированием ДУ.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: 
1) независимую переменную  ;
2) зависимую переменную   (функцию);
3) первую производную функции:  .

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций  , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  где   .

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Интегрируем обе части:

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,   – это общий интеграл.

Вместо записи   обычно пишут  .

В данном случае:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций   является общим решением дифференциального уравнения  .

Придавая константе   различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию 

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение.

Интегрируем уравнение:

Итак, общее решение:  . На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию  .

Необходимо подобрать такое значение константы  , чтобы выполнялось заданное начальное условие  .

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

В общее решение   подставляем найденное значение константы  :
 – это и есть нужное нам частное решение.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

Переменные разделены, интегрируем обе части:
= = =

Решение распишу очень подробно:
= =

Ответ: общий интеграл: 

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию  . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы   и  , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:
= = =

общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию 

 

Подставляем найденное значение константы   в общее решение.

Ответ: частное решение: 

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1.

Вариант 1

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 3

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 4

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 5

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 6

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 7

1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 8

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 9

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Вариант 10

1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Задание 2.Найти общее решение уравнения

Номер варианта	Дифференциальное уравнение

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):

• определение дифференциального уравнения первого, второго порядка

• понятие общего решения дифференциального уравнения

• понятие частного решения и суть начальных условий для дифференциального уравнения

• определение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

• какие дифференциальные уравнения первого порядка называются линейными, каков метод их решения

• метод решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №10

ТЕМА: Решение задач на классическое определение вероятностей, вычисление вероятностей с использованием теоремы сложения и умножения вероятностей.

Цель работы: закрепить навыки решения задач на применение формулы

классической вероятности и теорем сложения и умножения.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2. Запишите формулы, необходимые для решения задач данной практической работы.

3. Выполните задание своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

4. Оформите работу и сделайте вывод.

Теоретическая часть

Теоретическая часть

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.

Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.

Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению x_i ставится в соответствие вероятность p_i, с которой случайная величина может принять это значение, причём .

Пример. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины х, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике – 0,6.

Решение. Обозначим А₁ и А₂ – события, заключающиеся в том, что и математика, и физика сданы на 5. Очевидно, возможные значения х есть 0, 1, 2, причём

Полученные результаты сведём в таблицу:

xi	0	1	2
pi	0.08	0.44	0.48

.

Пример 2.

Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

а)

х	2	3	4	5	6	7
р	0,1	0,15	0,1	0,3	0,15	0,2

б)

х	4	5	6	7	8	9	10
р	0,1	0,15	0,2	0,15	0,1	0,1	0,3

Решение.

Для того чтобы проверить задан ли закон распределения нужно найти сумму чисел записанных в таблице во второй строке. Если сумма равна 1, то закон распределения задан. Если сумма не равна 1, то закон распределения не задан.

а) 0,1+0,15+0,1+0,3+0,15+0,2=1.

Значит, первая таблица задает закон распределения дискретной случайной величины.

б) 0,1+0,15+0,2+0,15+0,1+0,1+0,3=1,1.

Значит, вторая таблица не задает закон распределения дискретной случайной величины.

Определение: Математическим ожиданием случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическое ожидание случайной величины X обозначается через MX. Если случайная величина X принимает значения соответственно с вероятностями , то согласно определению:

. (1)

Математическое ожидание часто называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое «среднее число», около которого группируются все значения случайной величины.

Определение: Пусть задан закон распределения случайной величины X:

	0	1	…	k	…	n
			…		…

Тогда такое распределение называется распределением Я. Бернулли или биноминальным распределением, причём верно равенство

. (2)

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биноминальному закону с параметрами n и p, равно произведению np, то есть , (3) где n – это количество серий независимых опытов, а p – это вероятность появления некоторого события A.

Определение: Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Дисперсия случайной величины X обозначается через DX. Следовательно,

. (4)

Пусть случайная величина X принимает значения соответственно с вероятностями . Тогда квадрат отклонения случайной величины X от её математического ожидания есть случайная величина, которая принимает значения

, , …, , …,

соответственно с вероятностями .

Поэтому математическое ожидание так распределённой случайной величины, то есть дисперсию X, можно записать в виде:

. (5)

Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса, рассеивание случайной величины относительно её математического ожидания (среднего значения).

Теорема 2. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины без квадрата её математического ожидания, то есть

. (6)

Теорема 3. Дисперсия случайной величины X, распределённой по биноминальному закону с параметрами n и p, где n – это количество серий независимых опытов, а p – это вероятность появления некоторого события A, q – это вероятность того, что событие A не произойдёт, вычисляется по формуле . (7)

2. Примеры:

Пример 1. Пусть случайная величина X – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти математическое ожидание случайной величины X, если случайная величина X задаётся законом распределения:

	1	2	3	4	5	6

Решение:

По формуле (1), используя заданный закон распределения случайной величины, находим математическое ожидание

.

Ответ: 3,5.

Пример 2. Найти математическое ожидание числа бракованных изделий в партии из 10000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,005.

Решение:

Число бракованных изделий – это случайная величина X, распределённая по биноминальному закону. Число серий независимых опытов n=10000, вероятность брака p=0,005. Поэтому по формуле (3) находим

.

Ответ: 50.

Пример 3. Случайная величина X распределена по закону:

–1	1

Найти дисперсию случайной величины.

Решение:

Найдём сначала математическое ожидание случайной величины:

.

С помощью формулы (5) находим дисперсию

.

Ответ: 1.

Пример 2.

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

Х	2	3	4	5	6	7
Р	0,15	0,2	0,1	0,15		0,05

Найдите .

Решение.

Сумма чисел во второй строке должна быть равна 1, так как задан закон распределения. Значит,

0,15+0,2+0,1+0,15+ +0,05=1

=1-0,65

= 0,35.

Пример 3.

В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу красных карандашей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

Решение.

Всего 7карандашей 4 красных 3 другого цвета

Берут 3 карандаша а) 0 3

б) 1 2

в) 2 1

г) 3 0

Случайная величина может принимать только четыре значения: 0,1,2,3.

Найдем вероятности этих значений:

а)

б)

в)

г)

Проверим, .

Следовательно, данная случайная величина имеет закон распределения:

х	0	1	2	3
Р

Найдём математическое ожидание:

.

Составим новую таблицу и найдём .

	0	1	4	9
Р

.

Найдём дисперсию:

Требования к содержанию отчета по работе

Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):

• понятие случайной величины

• законом распределения случайной величины

• формула математического ожидания и дисперсии случайной величины

Приложение

Задание 1. Задает ли закон распределения дискретной случайной величины данная таблица

1)

X	2	3	4	5	6
P	0,1	0,2	0,25	0,17	0,3

2)

X	21	22	23	24	25
P	0,11	0,19	0,2	0,2	0,3

3)

X	4	5	6	7	8
P	0,13	0,17	0,3	0,37	0,68

4)

X	9	10	11	12	13
P	0,2	0,3	0,11	0,13	0,47

5)

X	2	3	4	5	6
P	0,1	0,2	0,25	0,17	0,3

6)

X	21	22	23	24	25
P	0,11	0,19	0,2	0,2	0,3

7)

X	4	5	6	7	8
P	0,13	0,17	0,3	0,37	0,68

8)

X	9	10	11	12	13
P	0,2	0,3	0,11	0,13	0,47

9)

X	2	3	4	5	6
P	0,1	0,2	0,25	0,17	0,3

10)

X	2	3	4	5	6
P	0,1	0,2	0,25	0,17	0,3

Задание 2. Дискретная случайная величина имеет закон распределения. Найти неизвестную вероятность.

1)

X	5	6	7	8	9
P	0,13	0,3	0,2	P4	0,17

2)

X	4	5	6	7	8
P	0,15	0,16	P3	0,5	0,07

3)

X	1	2	3	4	5
P	0,3	P2	0,2	0,29	0,1

4)

X	1	2	3	4	5
P	0,16	P2	0,15	0,07	0,5

5)

X	5	6	7	8	9
P	0,13	0,3	0,2	P4	0,17

6)

X	4	5	6	7	8
P	0,15	0,16	P3	0,5	0,07

8)

X	1	2	3	4	5
P	0,3	P2	0,2	0,29	0,1

9)

X	5	6	7	8	9
P	0,13	0,3	0,2	P4	0,17

10)

X	1	2	3	4	5
P	0,3	P2	0,2	0,29	0,1

Задание 3.

1) В партии из 12 деталей имеется 4 нестандартных. Берут 3 детали наудачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

2) В партии из 13 деталей имеется 9 нестандартных. Берут 3 детали на удачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

3) В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Берут 2 детали на удачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

4) В коробке 10 карандашей, из них 5 карандашей поломанных. Из этой коробки берут наугад 3 карандаша. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, равной числу поломанных карандашей. Найти математическое ожидание, дисперсию.

5) В партии из 12 деталей имеется 4 нестандартных. Берут 3 детали наудачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

6) В партии из 13 деталей имеется 9 нестандартных. Берут 3 детали на удачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

7) В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Берут 2 детали на удачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

8) В коробке 10 карандашей, из них 5 карандашей поломанных. Из этой коробки берут наугад 3 карандаша. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, равной числу поломанных карандашей. Найти математическое ожидание, дисперсию.

9) В партии из 12 деталей имеется 4 нестандартных. Берут 3 детали наудачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.

10) В партии из 12 деталей имеется 4 нестандартных. Берут 3 детали наудачу. Найти закон распределения дискретной случайной величины равной числу стандартных деталей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию

Задание 4.

Вариант1

1. Случайная величина X распределена по закону:

–1	0	1	2

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. В лотерее разыгрывается 20000 билетов. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выигрышных билетов, если каждый билет может выигрышным с вероятностью 0,3.

Вариант 2

1. Случайная величина X распределена по закону:

0	1	2	3

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. В магазин поступила партия из 50 коробок с обувью черного и коричневого цвета. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа коробок с обувью коричневого цвета, если вероятность того, что обувь будет коричневого цвета равна 0,2.

Вариант 3

1. Случайная величина X распределена по закону:

–1	0	1

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа не взошедших семян из 800 посеянных семян данного растения, если каждое из семян может не взойти с вероятностью 0,01.

Вариант 4

1. Случайная величина X распределена по закону:

–1	1	2	3
0,1	0,2	0,3	0,4

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа студентов, которые не сдадут экзамен, в группе из 30 человек, если каждый студент может не сдать экзамен с вероятностью 0,4.

Вариант 5

1. Случайная величина X распределена по закону:

–2	–1	1	2
0,2	0,1	0,2	0,5

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. В урне находятся всего 100 белых и чёрных шаров. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа белых шаров, если вероятность того, что шар будет белым равна 0,02.

Вариант 6

1. Случайная величина X распределена по закону:

1	2	3
0,07	0,03	0,9

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных ламп в партии из 300 ламп, если каждая лампа может оказаться нестандартной с вероятностью 0,07.

Вариант 7

1. Случайная величина X распределена по закону:

–1	1	2

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа фальшивых билетов, купленных на самолёт, в партии из 150 билетов, если каждый билет может оказаться фальшивым с вероятностью 0,004.

Вариант 8

1. Случайная величина X распределена по закону:

0	1	2
0,4	0,5	0,1

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа изделий со знаком качества в партии из 7000 деталей, если каждая деталь может оказаться со знаком качества с вероятностью 0,8.

Вариант 9

1. Случайная величина X распределена по закону:

–1	0	1

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа поддельных медицинских препаратов в партии из 126 препаратов, если каждый препарат может быть поддельным с вероятностью 0,06.

Вариант 10

1. Случайная величина X распределена по закону:

–1	0	1	2

2. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа изделий со знаком качества в партии из 7000 деталей, если каждая деталь может оказаться со знаком качества с вероятностью 0,8.

Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):

• определение вероятности события

• теорема сложения вероятностей

• теорема умножения вероятностей

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №11

ТЕМА: Обработка и нахождение статистических оценок научных и практических данных.

Цель работы: систематизировать знания и закрепить навыки решения задач математической статистики.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по данной теме.

2. Запишите формулы, необходимые для решения задач данной практической работы.

3. Выполните задание своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

4. Оформите работу и сделайте вывод.

Теоретический материал

Математическая статистика – это раздел математики, который разрабатывает методы регистрации, описания и анализа данных каких-либо наблюдений и экспериментов, целью которых является построение вероятностных моделей массовых случайных явлений.
 

Математическая статистика как наука возникла в XVII в. и развивалась параллельным курсом с теорией вероятностей. Большой вклад в развитие науки внесли в XIX-XX вв. Чебышев П.Л., Гаусс К., Колмогоров А.Н. и др.
 

Общая задача математической статистики заключается в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
 

Основными разделами математической статистики являются:

• выборочный метод (ознакомление с понятием выборки, способами сбора и обработки данных и т.д.);

• статистическая оценка параметров выборки (оценки, доверительные интервалы и т.д.);

• расчет сводных характеристик выборки (расчет вариант, моментов и т.д.);

• теория корреляции (уравнения регрессии и т.д.);

• статистическая проверка гипотез;

• однофакторный дисперсионный анализ.

 

К наиболее распространенным задачам математической статистики, которые изучаются в вузе и часто встречаются на практике, относятся:

• задачи определения оценок параметров выборки;

• задачи на проверку статистических гипотез;

• задачи определения вида закона распределения по статистическим данным.

 

Задачи определения оценок параметров выборки

 

Изучение математической статистики начинается с определения таких понятий как «выборка», «частота», «относительная частота», «эмпирическая функция», «полигон», «кумулята», «гистограмма» и т.д. Далее идет изучение понятий оценок (смещенная и несмещенная): выборочная средняя, дисперсия, исправленная дисперсия и т.д.
 

Рассмотрим простейшую задачу данного типа.
 Задача
 Измерение роста детей младшей группы детского сада представлено выборкой:
92, 96, 95, 96, 94, 97, 98, 94, 95, 96.
Найдем некоторые характеристики этой выборки.
 

Решение
 

Размер выборки (число измерений; N): 10.
Наименьшее значение выборки: 92. Наибольшее значение выборки: 98.
Размах выборки: 98 – 92 = 6.
Запишем ранжированный ряд (варианты в порядке возрастания):
92, 94, 94, 95, 95, 96, 96, 96, 97, 98.
Сгруппируем ряд и запишем в таблицу (каждой варианте поставим в соответствие число ее появлений):
 

xi	92	94	95	96	97	98	N
ni	1	2	2	3	1	1	10

 

Вычислим относительные частоты и накопленные частоты, результат запишем в таблицу:
 

xi	92	94	95	96	97	98	Итого
ni	1	2	2	3	1	1	10
	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1	1
Накопленные частоты	1	3	5	8	1	10

 

Построим полигон частот выборки (отметим на графике варианты по оси ОХ, частоты по оси OY, соединим точки линией).
 

 

Выборочную среднюю и дисперсию вычислим по формулам (соответственно):
 

 

 

 

Можно находить и другие характеристики выборки, но для общего представления вполне достаточно найденных характеристик.
 

Задачи на проверку статистических гипотез

 

Задачи, относящиеся к данному типу, сложнее задач предыдущего типа и их решение зачастую более объемно и трудоемко. Прежде чем приступать к решению задач, сначала изучаются понятия статистической гипотезы, нулевой и конкурирующей гипотезы и т.д.
 

Рассмотрим простейшую задачу данного типа.
 Задача
 Даны две независимые выборки объема 11 и 14, извлеченные из нормальных совокупностей X, Y. Известны также исправленные дисперсии, равные соответственно 0,75 и 0,4. Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при уровне значимости γ=0,05. Конкурирующую гипотезу выбрать по желанию.
 Решение
 Нулевая гипотеза для нашей задачи записывается следующим образом:

В качестве конкурирующей гипотезы рассмотрим следующую:

 Вычислим отношение большей исправленной дисперсии к меньшей и получим наблюдаемое значение критерия:
 

 

Так как конкурирующая гипотеза, которую мы выбрали, имеет вид  , то критическая область является правосторонней.
По таблице для уровня значимости 0,05 и числам степеней свободы равным 10 (11 – 1 = 10) и 13 (14 – 1 = 13) соответственно найдем критическую точку:
 

 

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического значения (1,875  

Рассмотренная задача непроста на первый взгляд, но вполне стандартна и решается по шаблону. Друг от друга такие задачи отличаются, как правило, значениями критериев и критической областью.
 

Более трудоемкими (так как содержат много вычислений, часть из которых сводится в таблицы) являются задачи на проверку гипотезы о типе распределения генеральной совокупности. При решении таких задач используются различные критерии, например, критерий Пирсона.

 

Задачи определения вида закона распределения по статистическим данным

 

Данный тип задач относится к разделу, изучающему элементы теории корреляции. Если рассматривать зависимости Y от Х, то тогда можно было бы вспомнить метод наименьших квадратов для определения вида зависимости. Однако в математической статистике все гораздо сложнее и в теории корреляции рассматриваются двумерные величины, значения которых, как правило, задаются в виде таблиц.
 

	x1	x1	…	xn	ny
y1	n11	n21	…	nn1
y1	n12	n22	…	nn2
…	…	…	…	…	…
ym	n1m	n2m	…	nnm
nx			…		N

 

Приведем формулировку одной из задач данного раздела.
 Задача
 Определить выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х. Данные приведены в корреляционной таблице.
 

Y	X					ny
	10	20	30	40
5	1	3			4
6		2	1		3
7			3	2	5
8				1	1
nx	1	5	4	3	N=13

 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1.

Найти относительные частоты. Построить полигон средних значений интервалов и гистограмму по интервалам:

Таблица «Магазины города»

Количество работников	Количество магазинов	Средняя зарплата (тыс. руб)
1 - 10	83	17,5
11- 20	49	19,4
21 - 30	52	16,7
31 - 40	29	14,2
41 - 50	12	15,6
51 - 60	11	14,9

Задание 2

Вычислить среднее число жителей, проживающих в одной квартире многоквартирного дома и соответствующие отклонения. Построить гистограмму.

Количество, проживающих в квартире	Количество квартир
1	6
2	9
3	10
4	20
5	15

Задание 3

Дана таблица «Количество работников предприятия по стажу работы»

Стаж работы (лет)	Количество работников
0 - 5	12
5,1 – 10	16
10,1 - 15	23
15,1 - 20	28
20,1 - 25	17
25,1 - 30	14

Найти относительные частоты, составить статистическое распределение случайной величины. Найти среднее значение и величины отклонений через варианту. Построить полигон и гистограмму

Задание 4

Дана расчетная таблица для определения линейного коэффициента корреляции

№ п/п	Часовая оплата труда (руб)	% текучести кадров (чел)
1	3	34
2	4	35
3	5	33
4	6	28
5	7	20
6	8	24
7	9	15
8	10	11

Вычислить среднее значение переменных величин, коэффициент корреляции. Найти уравнение линии регрессии   и построить график линейной регрессии

Задание

№ 1. Даны результаты измерения роста (в см) учащихся 9 классов школы при медицинском обследовании:

Таблица 1

xi	154	155	156	157	158	159	160	161	162	163	164
ni	2	4	3	4	2	12	28	18	16	2	1

Вычислить относительные частоты, накопленные частоты, построить полигон частот, относительных частот.

№ 2. Разбить данные таблицы 1 по интервалам, подобрав шаг интервала.

Вычислить частоты и построить гистограмму вариационного ряда. Найти выборочное среднее значение величин, дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, среднее квадратичное отклонение, «исправленное» СКО и коэффициент вариации. Записать ответ в стандартном виде.

№ 3. Вычислить относительную частоту, объем выборки, накопленные частоты и внести значения в таблицу:

xi	0	1	2	3	4
ni	7	4	3	5	2
ωi

№ 4. Построить полигоны частот и относительных частот выборки:

xi	1	3	6	9	12	15
ni	8	10	12	14	16	18
ωi

№ 5. Построить гистограмму выборки, предварительно разделив значения по интервалам:

xi	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
ni	2	5	9	10	14	16	18	15	13	11	7	7	6

№ 6. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Вычислить количественные характеристики.

xi	1	3	6	26
ni	8	40	10	2

№ 7. Дано распределение коров по % жирности молока:

Жирность молока (%)	Количество коров
[3.45; 3.55]	1
(3.55; 3.65]	1
(3.65; 3.75]	3
(3.75; 3.85]	4
(3.85; 3.95]	7
(3.95; 4.05]	5
(4.05; 4.15]	1
(4.15; 4.25]	1

Составить вариационный ряд, взяв за x_i среднее значение внутри интервала. Выполнить расчеты, используя практический способ вычислений. Сделать вывод о среднем значении жирности молока.

№ 8. Построить статистическое распределение и начертить полигон частот для 50 пар мужской обуви, проданных магазином за день по их размерам:

xi	37	38	39	40	41	42	43	44
ni	1	4	6	8	13	9	6	3
ωi
ωi (%)

№ 9. Собраны данные по прогулам занятий студентами 1 курса по дням. Всего студентов – 25 человек.

Статистический ряд не обработанных данных: 2; 5; 0; 1; 6; 3; 0; 1; 5; 4; 0; 3; 3; 2; 1; 4; 0; 0; 2; 3; 0; 3; 0; 1.

Составить вариационный ряд, оформить таблицу. Построить полигон частот и найти все числовые характеристики. Записать ответ, используя выборочное среднее и СКО.

№ 10. В итоге пяти измерений длины стержня были получены результаты: 92, 94, 103, 105, 106 (мм). Найти выборочную среднюю длину, выборочную дисперсию ошибок прибора, среднее квадратичное отклонение. Записать ответ

Перечень рекомендуемых учебных изданий,

Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г., Иволгина С.В. «Математика»: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования под редакцией В.А. Гусева. – 11-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2017.

Дополнительные источники:

М.И. Башмаков. Математика. Учеб. для студентов учреждений среднего профессионального образования. – М.: Академия, 2016.

В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. Математика в задачах с решениями. Учеб. пособие. -М.: Лань, 2017

Периодические издания:

1. Математика. Ежемесячный методический журнал для учителей математики. – М.: «Издательский дом «Первое сентября».

Интернет-ресурсы:

1. Методическая копилка учителя математики [Электронный ресурс]: база данных содержит методические и информационные средства для учащихся и педагогов среднего звена общего полного и начального профессионального образования – Электрон. дан. – Режим доступа: http://metod-kopilka.ru – Загл. с экрана;

2. Национальный фонд подготовки кадров – Электрон. дан. – Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/catalog/– Загл. с экрана;

3. Открытый класс. Сетевые образовательные сообщества [Электронный ресурс]: / Национальный фонд подготовки кадров – Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.openclass.ru/ – Загл. с экрана;

4. Сеть творческих учителей [Электронный ресурс]: информация и материалы по использованию информационных и коммуникационных технологий (ИКТ) в образовании – Электрон. дан. – Режим доступа: http://it-n.ru/– Загл. с экрана;

5. Единое окно доступа к образовательным ресурсам [Электронный ресурс]: каталог образовательных Интернет - ресурсов/ ФГУ ГНИИ ИТТ «Информика». – Электрон. дан. – Режим доступа: http://window.edu.ru/– Загл. с экрана;

6. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс].— Режим доступа: http://window.edu.ru/window, свободный.— Загл. с экрана.

7. Российская национальная библиотека [Электронный ресурс].— Режим доступа: http:// nlr.ru/lawcenter, свободный.— Загл. с экрана.

8. Электронные библиотеки России /pdf учебники студентам [Электронный ресурс].— Режим доступа: http://www.gaudeamus.omskcity.com/my_PDF_library.html, свободный.— Загл. с экрана.

9. www.exponenta.ru- Образовательный математический сайт

10. www.math24.ru – Математический анализ.

11. http://www.allmath.ru- Математический портал

12. http://www.rksi.ru/rksi/libraru - Электронный учебник по дисциплине «Элементы высшей математики»