Мугалимдинмаксаттары

2.Минор жана алгебралык толуктоочу

Аныктама: n-тартиптүү аныктагычтын кандайдыр бир a_ij элементи боюнча минору деп –бул элемент жайгашкан турган i-жолчону жана j-мамычаны өчүрүүдөн жаралган n-1 тартиптүү аныктагыч аталат жана M_ij деп белгиленет

Мисалы, аныктагыч үчүн а₂₂ элементи турган жолчону жана мамычаны өчүрүүдөн: жаралган минор: .

Аныктама: Аныктагычтын кандайдыр бир a_ij элементи боюнча i+j сумма жуп сан болгондо M_ij миноруна барабар, i+j сумма так сан болгондо M_ij минорунан белгиси менен айрымаланган аныктагыч алгебралык толуктоочу деп аталат жана А_ij деп белгиленет:

А_ij =(-1)^i+j M_ij

Мисал. 1)

2) Төмөнкү матрицанын бардык элементтеринин алгебралык толуктоочторун тапкыла:

Чыгаруу:

3.Аныктагычты кандай бир катардын

элементтери боюнча ажыратуу

Лапластын теоремасы: Берилген n-тартиптеги матрицанын аныктагычы det А, ал матицанын каалаган жодчосунун (же мамычасынын) ар бир элементин анын алгебралык толуктоочуна көбөйтүп, ал көбөйтүндүлөрдү кошкондогу суммага барабар, б.а.

(3)

Формуланы кеёейтип жаçсак:

,

б.а.

Аныктама. Аныктагычтын кандай бир катары¹ боюнча элементтерин ошол элементтер боюнча алгебралык толтуруучуга көбөйтүп, суммасын алуу –аныктагычты кандайдыр бир катардын элементтери боюнча ажыратуу деп аталат жана ал сумма аныктагычтын маанисин берет.

Лапластын теоремасын 3-тартиптеги аныктагычты эсептөөдө колдонуп эсептөөдөн,

(1-жолчонун элементтери менен ажыратып) төмөнкү формула алынат:

Мындай жол менен үчүнчү тартиптүү аныктагычтын тартибин экинчи тартипке төмөндөттүк, б.а. аны тартиби бир бирдикке төмөндөгөн үч даана аныктагычты эсептөөгө алып келдик. Дал ушул жол менен жогорку тартиптүү аныктагычтарды эсептөө мүмкүнчүлүгү жаралат. Төртүнчү тартиптеги аныктагычты деле ушул жол менен үчүнчү тартиптеги аныктагычтын (минорлордун) жардамы менен эсептесе болот.

=

Мында ( ) -элементи турган жолчону жана мамычаны чийгенден калган 3- тартиптеги аныктагычтар, б.а.

, ,

,

Мисал. Төмөнкү аныктагычты эсептегиле.

Чыгаруу. Биринчи мамыча боюнча ажыратуудан төмөнкү келип чыгат:

=

Лапластын теоремасынын негизги мааниси n-тартиптеги аныктагычты эсептөөнү (n-1) – тартиптеги аныктагычтарды эсептөөгө алып келет.

Аныктагычтар төмөнкү касиеттерге ээ:

Келтириген касиеттер каалагандай тартиптеги аныктагычтар үчүн орундуу жана алардын далилдөөсү түçдөн-түç анктамадан келип чыгат.

1. Эгерде квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (же мамычасынын) бардык элементтери нөл болсо, анда ал матрицанын аныктагычы нөлгө барабар.

2. Эгерде матрицанын кандайдыр бир жолчосун (мамычасын) санына көбөйтүүдөн, ал матрицанын аныктагычы санына көбөйтүлөт, жана тескерисинче: катардын жалпы көбөйтүүчүсүн аныктагычтын белгиси алдына чыгарууга болот:

3. Квадраттык А матрицаны транспозициялоодон, ал матрицанын аныктагычы өзгөрбөйт б.а. det =det , мында - транспозицияланган матрица. Жекече алганда:

= жана .

Демек, аныктагычтын жолчолору жана мамычалары бирдей укукта –мааниде болгондуктан, мындан ары касиеттерди келтирүүдө аларды жалпысынан катар деп айтып өтөбүç.

4. Квадраттык матрицанын эки жолчосунун (же эки мамычасынын) ордун алмаштыруудан, анын аныктагычы белгисин карама – каршы белгиге өзгөртөт, абсолюттук мааниси сакталат. Жекече алганда:

5. Эгерде квадраттык матрица бирдей эки жолчону (же эки мамычаны) камтыса, анда ал матрицанын аныктагычы нөлгө барабар.

6. Эгерде матрицанын эки жолчосу (же эки мамычасы) пропорционалдуу болсо, анда ал матрицанын аныктагычы нөлгө барабар.

7. Квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (мамычасынын) ар бир элементин башка жолчонун (мамычанын) элементинин алгебралык толуктоочуна көбөйтүп, ал көбөйтүндүлөрдү кошкондогу сумма нөлгө барабар, б. а.

же

8. квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосуна (мамычасына), каалаган санга көбөйтүлгөн башка жолчонун (мамычанын) элементтерин кошуудан, ал матрицанын аныктагычы өзгөрбөйт.

9. Квадраттык матрицанын кандайдыр бир жолчосунун (мамычасынын) элементтеринин алгебралык толуктоочторун каалаган сандары менен алмаштыргандагы матрицанын аныктагычына барабар.

10. Эки квадраттык матрицанын көбөйтүндүсүнүн аныктагычы ал матрицалардын аныктагычтарынын көбөйтүндүсүнө барабар, б.а. мында жана - - тартиптеги матрицалар.

11. Аныктагычтын кандайдыр бир катарынын элементтери эки кошулуучунун суммасынан турса, анда аныктагыч тиешелүү эки аныктагычтын суммасына ажырайт:

12. Аныктагычтын кандайдыр бир катарынын элементтеринин жарыш катардагы тиешелүү алгебралык толуктоочуларга көбөйтмөсүнүн суммасы нөлгө барабар.

Мисалы,

Бышыктоо үчүн көнүгүүлөр

1.Эсептегиле: а) , б) , в) , г) .

2./ч бурчтук эрежеси боюнча эсептегиле:

а) , б) , в) , г) .

3. аныктагычтын биринчи жолчосу боюнча минорлорду жана алгебралык толуктоочуларды тапкыла.

4. /чүнчү жолчонун элементтери боюнча ажыратуу менен аныктагычты эсептегиле:

5. Жолчолордун (мамычалардын) сызыктуу комбинациясы теоремасынан пайдаланып аныктагычты эсептегиле:

6. Эсептегиле:

7.Эсептегиле.

а) , б) , в) , г)

8. Тартибин төмөндөтүү менен аныктагычтарды эсептегиле.

а) , б) , в) , г)

1^ Мында аныктагычтын кандайдыр бир жолчосу же мамычасы түшүнүлөт.