Мультимедийная презентация к уроку математики в образовательных учреждениях СПО "История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики"

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.

Комбинаторика является важным   разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ

Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии   k и m способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить   k + m способами.

Пример №1

Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

Решение

N=12+13+23=38

Пример № 2

В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение . Конечно,  n  способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом  m  шариков, во втором  k . Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать?

Решение . 

Из первого ящика шарик можно вытянуть  m  различными способами, из второго  k различными способами, всего   N =  m  +  k  способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии    k и m способами Тогда обе они могут быть выполнены  k ∙ m способами .

Пример № 3

  В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?

Решение

N=8∙7∙6=336

Пример № 4

Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Решение.   Поскольку число двузначное, то число десятков ( m ) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц ( k ) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что  m  = 9, а  k = 10. Всего получим двузначных чисел 

N =  m  · k  = 9·10 =90.

Пример № 5

В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение.   По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет

N =182 + 30 = 212.

Типы соединений

Множества элементов называются  соединениями .

Различают три типа соединений:

• перестановки из  n  элементов;
• размещения из  n  элементов по  m ;
• сочетания из  n  элементов по  m  ( m  n ).

ПЕРЕСТАНОВКИ

Определение : Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.

Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м месте.

Перестановки   – это такие соединения по   n   элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.

Число перестановок из n элементов обозначают Р n .

Р n  =  n  · ( n  - 1) · ( n  – 2) · … · 2 · 1 =  n !

ФАКТОРИАЛ

Определение :

Пусть   n   - натуральное число. Через   n ! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до   n :

n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·  n .

В случае, если   n   = 0, по определению полагается: 0! = 1.

Пример № 6

Найдем значения следующих выражений: 1! 2! 3!

7!

Пример № 7

Чему равно

а) Р 5  ;

б)  Р 3.

Пример № 8

Упростите

а) 7! · 8

б) 12! · 13 ·14

в)  κ ! · ( κ  + 1)

Пример № 9

Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение.  

n  =8

Р 8 =8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320