Нахождение экстремальных значений функции

Нахождение экстремальных значений функции

Теорема. Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке х = х_0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими.

Необходимое условие экстремума:

Если – точка экстремума дифференцированной функции , то

Точки экстремума дифференцированной функции нужно искать только среди корней уравнения , но не всегда корень уравнения является точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума:

1. Если в точке х₀ производная меняет знак с «–» на «+», то эта точка является точкой минимума (Рис.1)

2. Если в точке х₀ производная меняет знак с «+» на «–», то эта стационарная точка является точкой максимума (Рис. 2)

Рис.2

Рис.1

Достаточное условие экстремума:

если при переходе через стационарную точку производная не меняет знак, т.е. левее и правее от стационарной точки производная либо положительна либо отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума. Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума функции.

обозначение:

x_min – точка минимума

x_max – точка максимума

Значение функции в точке минимума функции называют минимумом функции; значение функции в точке максимума функции называют максимумом функции. Значения функции в точках ее экстремума называют экстремумами функции.

обозначение:

y_min – точка минимума

y_max – точка максимума

Алгоритм исследования функции на экстремум:

1. Найти D(y) для (область определения данной функции);

2. Найти (найти производную функции);

3. Решить уравнение ;

4. Определить знак производной, на полученных интервалах, и характер изменения функции (промежутки возрастания и убывания);

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Пример: найти точки экстремума функции f(x) = 3х⁴ – 16х³ + 24х² – 11

1. D(f) = R

2. Найдём производную =12х³ – 48х² + 48х – критических точек нет.

3. Приравняем её к нулю

12х³ – 48х² + 48х = 0

12х(х² – 4х + 4) = 0

12х = 0 или х² – 4х + 4 = 0

х = 0 D = 0

х = 2

0 и 2 – стационарные точки

1. Чертим схему

−  + − 

1. 2

1. x_min = 0, x_max = 2

Ответ: x_min = 0, x_max = 2

Решить самостоятельно:

Найти точки экстремума функции:

1. f(x) = 3х² – х³

2. f (x) = x⁴ −2х² −3

3. f (x) = 2x ³ − 3x ² − 12х − 11