Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Предмет: математика

Дата: 06.12.2021

Группа: 1-5 ^м-авто^

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема:Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

По теореме Вейерштрасса непрерывная функция на замкнутом отрезке [a, b] достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может достичь на одном из концов отрезка или в середине отрезка. Поэтому задачу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] решают так

1) Находят производную и, приравняв ее к нулю, находят критические точки первого рода.

2) Вычисляют значение функции во всех критических точках, принадлежащих промежутку [a, b], и значения функции на концах отрезка.

3) Среди этих значений выбирают наибольшее и наименьшее значения.

Замечание. Если внутри промежутка функция имеет только одну критическую точку и достигает в ней максимума, то он будет наибольшим значением, а если достигает в ней минимума, то он будет наименьшим значением.

Пример1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
 на промежутке [- 2; 1].

Решение. Находим производную   Приравняв производную к нулю, находим критические точки первого рода      

Поскольку точка   не входит в данный промежуток, ее не берем в счет. Вычисляем значение функции:

Итак, наибольшее значение функции y = 10 в точке x =–1, а наименьшее значение y = -10 в точке x = 1.

Определение максимума Говорят, что функция f (х) имеет в точке   максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к  .

Иначе: функция f (х) имеет максимум при  , если

для любых Ах — как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по абсолютной величине.

Определение минимума

Говорят, что функция f (х) имеет в точке   минимум, если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к  .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Иначе: функция f (х) имеет минимум при х =  , если

для любых как положительных, так и отрицательных  , достаточно малых по абсолютной величине.

• Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум, а значение функции в этой точке называется экстремальным.

Для исследования функции на экстремум по первой производной

Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Этих значений функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо: 1) определить критическое точки функции; 2) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь\; 3) наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции на отрезке  .

Пример2

Найти экстремум функции , а также определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке  .

Решение:

Проведем решение сначала по первому правилу, а потом по второму. Областью существования функции является весь бесконечный интервал  .

1. Находим, что   2. Решаем уравнение   т. е. уравнение 

Разлагаем левую часть уравнения на множители:

 откуда   Производная конечна при любом х (говорят в этом случае, что производная конечна всюду). Поэтому критическими точками будут только найденные из (32,2). 3. Располагаем критические точки в порядке возрастания абсцисс: —1; 0; 3.

Пример3:    а также наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [—5,2].

Решение:

Уравнение   имеет корни: 

Эги корни могут быть легко найдены на основании следствия теоремы Безу, известной из алгебры. Можно также уравнение представить в виде   а тогда его левая часть равна 

Ответ. При х = —4 минимум;   

максимум;   при х = 3 —минимум;  ; на отрезке [—5,2]:   т. e. функция достигает наибольшего значения в критической точке х = 2, которая является правым концом отрезка, а наименьшего значения — в критической точке х = —4 внутри рассматриваемого отрезка (в этой точке функция достигает также и минимума).

Задача 32,4

(для самостоятельного решения). Найти сначала по первому правилу, а потом по второму экстремум функции

Исследовать на экстремум функцию   а также найти ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [—3,1|.

Пример4:Исследовать на экстремум по второму правилу функцию   Начертить эскиз графика функции.

Пример5:  

uma.kasymova@mail.ru

Указать дату, Ф.И.О и группу

Предмет: математика

Дата: 08.12.2021

Группа: 1-5 ^м-авто^

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тема: уравнение касательной к графику функции

1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую y=f(x).
Выберем на ней точку A с координатами (x0,y0), проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке x0:k=f′(x0)Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: (yB−yA)=k(xB−xA).
Для A(x0,y0), B(x,y) получаем:(y−y0)=k(x−x0)y=k(x−x0)+y0y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 имеет вид:y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)при условии, что производная f′(x0)=a≠∞ - существует и конечна.

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде y=kx+b, нужно раскрыть скобки и привести подобные:y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=f′(x0)⏟=kx+f(x0)−f′(x0)⋅x0⏟=b

Уравнение касательной с угловым коэффициентом:y=kx+bk=f′(x0),  b=f(x0)−f′(x0)⋅x0

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой y=f(x), абсцисса точки касания x0.
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания f(x0)

Шаг 2. Найти общее уравнение производной f′(x)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания f′(x0)
Шаг 4. Записать уравнение касательной y=f′(x0)(x−x0)+f(x0), привести его к виду y=kx+b
На выходе: уравнение касательной в виде y=kx+b

Например:

Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: y=−2x+6⇒k=−2.
Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже k=−2. Получаем уравнение:f′(x0)=−24x0+4=−2⇒4x0=−6⇒x0=−32Точка касания x0=−32f(x0)=2⋅(−32)2+4⋅(−32)==92−6=−32Уравнение касательной:y=−2⋅(x+32)−32=−2x−92Или, в каноническом виде:2x+y+92=0

1. Составить уравнение касательной к графику функции   в точке x₀=1.

2. Напишите уравнения касательных к графику функции   , параллельных прямой y=3x-6.

3. В каких точках касательные к графику функции   ? Параллельны оси абсцисс?

uma.kasymova@mail.ru Указать дату, Ф.И.О и группу