Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной
Дано:
,
. Нарисуем график функции (см. рис.1).
Рис. 1. График функции
.
Известно, что эта функция возрастает на промежутке
, значит, она возрастает и на отрезке
. А значит, если найти значение функции в точках
и
, то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.
Когда аргумент возрастает от
до 8, функция возрастает от
до
.
Ответ:
;
.
4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной
(а)
Дано:
,
. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной – мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.
-
Найдем производную
. Найдем критические точки
, отсюда
,
- критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку:
. Сравним значение функции в точках
,
,
. Для этого найдем
;
;
.
Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).
Рис. 3. Пределы изменения значений функции
Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.
Ответ:
;
.
Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае – на отрезке.
Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.
3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.
4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.
6. Решение задачи
Рассмотрим еще один пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
,
.
Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).
Рис. 4. График функции
.
На промежутке
область значения этой функции
. Точка
- точка максимума. При
- функция возрастает, при
– функция убывает. Из чертежа видно, что
,
- не существует.
7. Итог урока
Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.
Пример № 1. Найти наименьшее значение функции
на отрезке
. (Учитель совместно с учащимися записывает решение на доске последовательно проговаривая каждый пункт алгоритма).
Решение:
Ответ:
Пример