Натуральный ряд чисел. Всё ли мы знаем?

Натуральный ряд чисел. Всё ли мы знаем?

1. Представление о натуральном ряде чисел: 1, 2, 3, …, возникло в сознании людей в результате операции счёта. Начало формирования этого ряда является первым шагом в создании математики.

В настоящее время мы без труда представляем этот ряд бесконечным: действительно, какое бы натуральное число мы не взяли и как бы велико оно ни было, прибавив к нему единицу, мы получим новое число, занимающее в натуральном ряде следующее по порядку место.

Но идея о бесконечно продолжающемся ряде целых чисел не сразу далась человечеству. С течением времени, научаясь считать сначала при помощи зарубок, зерен и т. п., а затем при помощи первой счетной машины, пальцев своих рук,- люди постепенно удлиняли натуральный ряд чисел, и прошло довольно продолжительное время, пока они почувствовали и осознали, что этот ряд бесконечен.

2. Создав натуральный ряд чисел, люди должны были изобрести и способ записи числа в этом ряде при помощи немногих знаков. Различные способы такой записи, изобретённые разными народами на протяжении многих веков, в настоящее время вытеснены десятичной позиционной системой, которая позволяет при помощи только десяти цифр записать любое число натурального ряда.

Записывая какое-либо число, мы обычно забываем о том, что изобретение той системы записи, которой мы пользуемся, является одним из важнейших исторических событий, а если иногда и вспоминаем об этом, то с недоумением, почему ученые ещё в древности не открыли этого способа для записи чисел?

3. Вернёмся к натуральному ряду чисел и рассмотрим некоторые его свойства.

Некоторые из чисел натурального ряда делятся только сами на себя и на единицу, другие же имеют и другие делители. Первые числа мы называем числами простыми, вторые – составными.

Один из способов составления таблиц простых чисел был предложен греческим учёным Эратосфеном более 2000 лет назад. Этот способ называют «решетом Эратосфена».

Есть натуральный ряд. Прежде всего вычеркнем единицу, так как она не принадлежит ни к простым, ни к составным числам. Далее, вычеркнем все числа, кратные двум, кроме 2, зачеркивая каждое второе число, через одно, начиная от двух. Сделав это, вычеркиваем все составные числа, кратные трем, корме 3. Для этого зачеркиваем каждое число через два, начиная от 3. И т. д. Оставшиеся числа и будут простыми.

4. Одним из первых вопросов, которые могут возникнуть по поводу простых чисел, является вопрос о том, конечно ли их число среди бесконечного множества чисел натурального ряда или число простых чисел бесконечно.

Докажем теорему: среди чисел натурального ряда существует бесконечное множество простых чисел.

Каковы бы ни были различные простые числа: р₁, р₂, р₃,…, р_n, можно получить новое простое число р₁·р₂· р₃ … р_n + 1, (например 2·3·5+1=31; 2·3·5·7+1=211).

Если делить это число при на какое-либо из этих простых чисел р₁, р₂, р₃,…, р_n , всегда получаем в остатке 1.

Найдя таким образом новое простое число р_n+1 и составив сумму р₁·р₂·р₃… р_n·р_n+1 + 1, мы придём к следующему новому простому числу р_n+2 . Таким образом, число простых чисел в натуральном ряде чисел – бесконечно.

Теорема доказана.

Теорема о бесконечном множестве простых чисел была доказана еще Евклидом, т.е. более 2000 лет назад. Начиная с этого времени, можно наблюдать попытки многих математиков составить такую формулу с целочисленным аргументом n, которая давала бы при различных целых положительных значениях n только простые числа. Эти попытки оказались тщетными, - такую формулу получить не удалось.

5. Некоторым людям кажется, что натуральный ряд чисел скучен и однообразен и что о нем все уже известно, все сказано. Эти люди глубоко ошибаются, есть  сотни и тысячи свойств.  И свойства эти одно удивительнее другого.

Пример 1. Свойство чисел 135 и 144.

135 = (1+3+5) ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5,  144  = (1+4+4) ∙1 ∙ 4 ∙ 4.

Свойство: Числа равны произведению своих цифр на сумму этих цифр.

Пример 2.Свойства «обыкновенного» числа 37.  

 37 ∙ 3 = 111,  37∙ 6 = 222, 37∙ 9 = 333, 37∙12 = 444, 37∙15 = 555,  37 ∙ 18 = 666,   37 ∙ 21 = 777, 37 ∙ 24 = 888, 37 ∙ 27 = 999.

6. Простые числа - простой математический объект, но загадок они доставили математикам немало, и многие еще не разгаданы.

Если присмотреться к ряду простых чисел, то можно отметить, что все они, кроме 2, нечетные. Любопытны пары: 3 и 5, 5 и 7, 11и 13, 17 и 19, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73. Эти числа отличаются на 2. Их называют близнецами. Сейчас с помощью мощных компьютеров вычислены миллиарды простых чисел, среди которых регулярно встречаются близнецы, но до сих пор неизвестно, конечно или бесконечно количество пар близнецов.

Особое место в истории математики занимает Пьер Ферма (1601 – 1665). Он известен как автор «великой теоремы Ферма», которая чрезвычайно просто формулируется и которую до сих пор еще не удалось доказать.

Сумма квадратов двух целых чисел снова может быть квадратом целого числа. Например, 5² + 12² = 13². Теорема Ферма утверждает, что для более высоких степеней подобное невозможно, т. е. уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых числах ни при каких n 2.

Притягательная сила этой теоремы Ферма очевидна: нет другого математического утверждения, обладающего такой простотой формулировки, кажущейся доступностью доказательства.

Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?

Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

Сотни квалифицированных математиков и тысячи дилетантов в течение трехсот лет пытались доказать эту теорему. В 1993 году на страницах многих газет, не склонных писать о математике, промелькнула сенсационная новость: теорема доказана! Но вскоре, как бывало уже на раз, в доказательстве обнаружилась ошибка.

7. В печати появляются разные сообщения о доказательстве теоремы Ферма: доказана, не доказана, доказан частный случай, опровергнуто предыдущее сообщение. Думаю, перед нами большое поле для деятельности. Даже натуральный ряд содержит много непознанного.

2