Научно-исследовательская работа по теме: « Уравнения высших степеней»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа № 1»

Научно-исследовательская работа

по теме: « Уравнения высших степеней»

Автор: Жуковская Татьяна Владимировна , 9 «Б» класс

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Богучар 2017

Содержание

Историческая справка……………………………………………………….….3

Введение…………………………………………………………………….…...4

Цели и задачи работы………………………………………...…………..……..5

Великие учёные, изучавшие уравнения высших степеней….…….................6

Виды уравнений высших степеней………………………………………...….9

Методы решения высших степеней……………….………………..…………9

Решение уравнений разными способами..………………….…………….....10

Вывод..………………………………………………………………………….30

Историческая справка

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. Установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. В конце 18 века французский ученый Луи Лагранж пытался доказать невозможность алгоритма общих уравнений, а вначале 19 века француз Галуа развил идею Лагранжа.

С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней.

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями высших степеней. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрала эту тему для своей исследовательской работы.

Цели работы: Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

Задачи:

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

6.Оформить работу в виде буклета

7.Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Объект исследования: уравнения высших степеней

Методы исследования: изучение и анализ литературы, сравнение, обобщение, практический метод

Результат исследования: Я научилась решать возвратные и однородные уравнения,а также изучила теорему Безу и схему Горнера.

Гипотеза:Существует много различных видов и методов решения уравнений высших степеней, о которых не рассказывается в школьной программе 9 класса.

Великие учёные, изучавшие уравнения высших степеней

Омар Хайям (ок. 1048- ок. 1123)

Описал всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания их решения.

Никколо Тарталья (1499-1557)

Он вывел формулы для решения уравнений 3-ей степени, но своё открытие держал в тайне.

ДжероламоКардано(1501-1576)

Обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить её в секрете. Он не сдержал слово и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа».

Нильс Хенрик Абель (1802-1829)

В 1826 году доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

Этьен Безу (1730-1783)

Французский математик, член Парижской академии наук. Преподавал математику в Училище гардемаринов в 1763 и Королевском артиллерийском корпусе в 1768. Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.) Является автором шеститомного «Курса математики» (1764-1769).

Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837)

Английский математик. Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем связана (1819) схема Горнера деления многочлена на двучлен .

Виды уравнений высших степеней

1. Уравнения третьей степени

2. Уравнения четвёртой степени

3. Уравнения пятой степени

4. Биквадратные уравнения

5. Возвратные уравнения

6. Однородные уравнения

Способы решения уравнений высших степеней

1. Разложение многочлена на множители:

   1. Способ группировки

   2. По формулам сокращенного умножения

   3. По теореме Безу

   4. Схема Горнера

2. Метод введения новой переменной

   1. Биквадратные уравнения

   2. Возвратные уравнения

3. Функционально-графический метод

Способ группировки.

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена. Вынести этот общий множитель за скобки.

Примеры решения уравнений способом группировки:

1. x³-5x²-16x+80=0
   x(x²-16)-5(x²-16)=0
   (x-5)(x²-16)=0
   (x-5)(x-4)(x+4)=0

x-5=0 или x-4=0 или x+4=0

x=5 x=4 x=-4

Ответ: -4; 4; 5.

1. x³-3x²-4x+12=0

x²(x-3)-4(x-3)=0

(x²-4)(x-3)=0

(x-2)(x+2)(x-3)=0

x-2=0 или x+2=0 или x-3=0

x=2 x=-2 x=3

Ответ: -2; 2; 3.

1. x⁴-5x³-16x²+100x-80=0

x⁴-5x³-20x²+4x²+100-80=0

x²(x²-20)-5x(x²-20)+4(x²-20)=0

(x²-5x+4)(x²-20)=0

x²-5x+4=0 или x²-20=0

D=25-16=9 x²=20

x1=(5+3)÷2=4x=±√20

x2=(5-3)÷2=-1

Ответ:-√20; -1; 1; √20.

По формулам сокращенного умножения

1. Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Квадрат разности: (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. Разность квадратов: а²- b² = (a - b) (a + b)

4. Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. Куб разности: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

6. Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

7. Разность кубов: a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Примеры решения уравнений с помощью формул сокращённого умножения:

1. (2x)³-8=0
   (2x)³-2³=0
   (2x-2)(4x²+4x+4)=0
   2x-2=0 или 4x²+4x+4=0

x=1 D=16-64=-48-корней нет

Ответ: 1.

1. +18a⁴+108a²+216=0

(a²+6)³=0

a²+6=0

a²=-6

Ответ: корней нет.

1. 8x(1+2x)-(4x+3)(4x-3)=2x.

8x+16x²-(16x²-9)=2x,

8x+16x²-(16x²-9)=2x,

8x+16x²-16x²+9=2x,

8x-2x=-9,

6x=-9,

x=-1,5

Ответ: -1,5

Метод введения новой переменной

Одинаковые составляющие части уравнения, содержащие переменные заменить на новую переменную.

Примеры решения уравнения методом введения новой переменной:

1. (x²+4x)(x²+4x-17)=-60

Пусть = t, тогда

t( t – 17 ) = -60

- 17t = -60
t² - 17t + 60 = 0

= 5

= 12

При t = 5,

= 1

= -5

При t = 12,

= 2

= -6

Ответ: -6, -5, 1, 2.

1. (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)

Пусть (x-4)(x-5)=t, тогда

t(x-3)= t(x-2)

tx-3t = tx-2t

tx-3t-tx+2t = 0

-t = 0

t = 0

Вернёмся к замене:

(x-4)(x-5)= 0

x-4 = 0 x-5 = 0

x=4 x=5

Ответ: 4; 5.

1. (x²-5x+7)(x-2)(x-3)=0

(x²-5x+7)(x²-5x+6)=0

Пусть х²-5=t, тогда

(t+7)(t+6)=0

t₁₌ -7

t₂₌ -6

Вернёмся к замене:

х²-5=-7 х²-5=-6

x²= -12 x²=-11

Ответ: корней нет.

Биквадратные уравнения.

К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени: ax⁴ + bx² + c = 0, называемые биквадратными, причем, а ≠ 0. Достаточно положить в этом уравнении х² = y, следовательно, ay² + by + c = 0. Найдём корни полученного квадратного уравнения y1,2 =

заменим y на x и получим

Примеры решения биквадратных уравнений:

1. 2x⁴-19x²+9=0

Пусть y=x², тогда

2y²-19y+9=0

y₁=9

y₂=0,5

Вернёмся к замене:

При у=9, x²=9

x=±√9

x=±3

При у=0,5, х²=0,5

х=±√0,5

Ответ:-3; -√0,5; √0,5; 3.

1. 10х⁴-12х²+1=-10х⁴

10х⁴+10х⁴-12х²+1=0

20х⁴-12х²+1=0

Пусть х²=t, тогда

20t²-12t+1=0

D=144-80=64

t₁=0,5

t₂=0,1

Вернёмся к замене:

При t=0,5, x²=0,5

x=±√0,5

При t=0,1, х²=0,1

х=±√0,1

Ответ: -√0,1; -√0,5; √0,1; √0,5.

1. (х-4)⁴-5(х-4)²= -4

(х-4)⁴ -5(х-4)² +4=0

Пусть (х-4)²=t

t²-5t+4=0

D=25-16=9

t₁=4

t₂=1

Вернёмся к замене:

При t=4, (х-4)² =4

x₁=6

x₂=2

При t=1, (х-4)²=1

x₁=5

x₂=3

Ответ:2; 3; 5; 6.

Функционально-графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем, находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

Примеры решения уравнений функционально-графическим методом:

1. Решить уравнение√х=

Построим в одной системе координат графики функций y= и y=

Они пересекаются в двух точках A(1;1) и B(4;2).

Значит, уравнение имеет два корня: х₁=1, х₂=4.

Ответ: 1;4.

1. Решение уравнение х³-√х=0.

Построим в одной системе координат графики функций y= х³ и y=√х

Они пересекаются в двух точках A(1;1) и B(0;0).

Значит, уравнение имеет два корня: х₁=1, х₂=0.

Ответ: 1;0.

1. Решить уравнение = -х² -1

Построим в одной системе координат графики функций y=-х² -1 и y=

Они не пересекаются .

Значит, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Корень многочлена

Если все коэффициентыa₀, a₁, … , a_n( a_n0) многочлена

P_n(x)=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+ a₁x+a₀

Целые числа и рациональное число(-несократимая дробь,;) является корнем многочлена, то коэффициент a₀ делится на p, а коэффициент a_n делится на q.

По теореме Безу

Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а).

Следствие из теоремы Безу: Число a является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x ‑ a) безостатка.

Примеры решения уравнений с помощью теоремы Безу:

1. Решить уравнение 2х³-3х²+5х-14=0

Возможные рациональные корни: ±; ±1; ±2; ±; ±7; ±14.

P(x)=2х³-3х²+5х-14 = 0

P(1)= 2 – 3 + 5 – 140

P(-1)= -2 – 3 – 5 - 140

P(2)=16 – 12 + 10 - 14 = 0

(x-2)( 2х²+х+7)=0

x = 2D=1-56=-55

корней нет

Ответ: 2.

1. Решить уравнение 3х⁴ – 2х³ -8х² – х + 2 = 0

Возможные рациональные корни: ±; ±; ±1 ; ±2.

P(x)= 3х⁴ – 2х³ -8х² – х + 2 = 0

P(1)= 3 – 2 – 8 – 1+ 2 0

P(-1)=3 + 2 – 8 + 1 +2 = 0

(х+1)(3х³-5х²-3х+2)=0

Решим уравнение 3х³ – 5х² – 3х + 2 = 0.

Возможные рациональные корни: ±; ±1; ±; ± 2 .

P(x)=3х³ – 5х² – 3х + 2 = 0

P(1)= 3 – 5 – 3 + 20

P(-1)= - 3 – 5 + 3 – 2 0

P(2)= 24 – 20 – 6 + 2 = 0

(х+1)(х-2)(3х²+х-1)=0

х+1=0 х-2=0 3х²+х-1=0

х= -1 х= 2 D=1+12=13

х₁=

_х2=

Ответ: -1;; ; 2.

1. Решить уравнение x³ - 2x² - 6x + 4=0

Возможные рациональные корни: ±1 ; ± 2 ; ±4.

P(x)= x³ - 2x² - 6x + 4 = 0

P(1)= 2 – 2 – 6 + 40

P(-1)= - 1 – 2 + 6+ 40

P(2)= 8 – 8 – 12 + 40

P(- 2)= - 8 – 8+ 12 + 4 = 0

(х+2)( х²-4х+2) = 0

х+2=0 х²-4х+2 = 0

х= -2 D=16-8= 8

х₁=

х₂=

Ответ: -2; ; .

Схема Горнера

Схема Горнера - это алгоритм вычисления значения многочлена при определенном значении переменной. Использование схемы Горнера значительно упрощает вычисления, а также помогает эффективно подбирать корни.

Примеры решения уравнений с помощью схемы Горнера:

1. Решить уравнение: 4х³ - 19х² + 19х + 6=0

Возможные рациональные корни уравнения:±; ±; ±; ±1; ±; ±2; ±3; ±6.

P(x)=4х³ - 19х² + 19х + 6 = 0

P(1)= 4 – 19 + 19 + 6 ≠0

P(-1)= -4 – 19 – 19 + 6 ≠0

P(2)=32–76+38+6=0

Остаток равен 0, значит:

(х-2)(4х²-11х-3)=0

x = 2 D= 121 + 48 = 169

х₁=3

х₂= -0,25

Ответ:-0,25, 2, 3.

1. Решить уравнение: 5х³ +5х² +х – 11 = 0

Возможные рациональные корни уравнения: .

P(x)=5х³ +5х² +х – 11= 0

P(1)= 5+5 + 1 – 11 = 0

	5	5	1	-11
1	5	10	11	0

(х-1)(5х²+10х+11)=0

х-1=0 5х²+10х+11=0

х=1 D=100 - 220=-120

корней нет

Ответ: 1.

1. Решить уравнение: х³ - 7х - 6=0

Возможные рациональные корни уравнения: ±1; ±2; ±3; ±6.

P(x)= х³ - 7х – 6 = 0

P(1)= 1 – 7 – 6 ≠ 0

P(-1)= - 1 + 7 – 6 = 0

	1	0	-7	-6
-1	1	-1	-6	0

(х+1)(х²-х+6) = 0

х+1=0 х²-х+6 = 0

х= -1 D= 1- 4= -3

корней нет

Ответ: -1.

Возвратные уравнения

Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение

а₀хⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a₁x +a₀=0, в котором а_к = a_{n – k},

где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.

Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.

Алгоритм решения:

1. Разделить левую и правую части уравнения на х².

2. Группировкой привести полученное уравнение к виду;

3. Ввести новую переменную t = , тогда выполненоt² = x²+2+, то есть x²+= t²-2

4. В новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at² +bt+c = 0

5. Решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Примеры решения возвратных уравнений:

1. 2х⁴+9х³-х²+9х+2=0

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то уравнение можно разделить на х², получив 2х²+9х-1++= 0

2(х²+)+9(х+)-1=0

Сделаем замену у=х+; у²-2=х²+

Тогда 2(у²-2)+9у-1=0

у₁=-5

у₂=0,5

Вернёмся к замене:
При у=-5, x²=-5
корней нет
При у=0,5, х²=0,5
х=±√0,5
Ответ:-√0,5; √0,5.

1. 6х⁴-35х³+62х²-35х+6=0

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то уравнение можно разделить на х², получив

Сделаем замену у=х+; у²-2=х²+

6у²-35у+50=0

D=1225-1200=25

у₁=

у₂=

Вернёмся к замене:

При у=, х+=

х₁=3

х₂=

При у=, х+=

х₁=2

х₂=

Ответ: ; ; 2; 3.

1. 3х⁴-2х³+4х²-4х+12=0

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то уравнение можно разделить на х², получив 3х²-2х+4-=0

Сделаем замену у=х+; у²-4=х²+

3(у²-4)-2у+4=0

3у²-2у-8=0

D=4+96=100

у₁=2

у₂= -

Вернёмся к замене:

При у=1

х+=4

Корней нет.

При у= -

х+= -

Корней нет.

Ответ: корней нет.

Однородные уравнения

Однородные уравнения – это такие уравнения, у которых в левой части находятся одночлены одной степени, а правая часть равна нулю.

-это уравнение однородное третьей степени. Чтобы решить однородное уравнение, нужно обе его части разделить на одно из неизвестных в степени каждого многочлена, с учетом, что он не равен нулю.

Примеры решения однородных уравнений:

1. х²-7ху+10у²=0

Найдите.

Разделим уравнение на у².

Пусть= t, тогда

t² - 7t + 10=0

D = 49 – 40 = 9

t₁= 5

t₂= 2

Вернёмся к замене:

= 2 или = 5

Ответ: 2; 5.

1. 3х²-2ху-у²=0

Найдите.

Разделим уравнение на у².

Пусть= t, тогда

3t²-2t-1=0

D=16

t₁=3

t₂= -

Вернёмся к замене:

= 3 или =

Ответ: ; 3.

1. 3х²+

Найдите ху.

3х²у²+5ху-8=0

Пусть ху= t

3t²+5t-8=0

D=25+96=121

t₁=1

t₂=

Вернёмся к замене:

ху= 1

ху=

Ответ: ; 1.

Вывод:

Моя гипотеза, выдвинутая в начале работы, оказалась верна. В ходе исследовательской работы я научилась решать однородные и возвратные уравнения, познакомилась с теоремой Безу и схемой Горнера, а также узнала о многих учёных, которые внесли большой вклад в историю математики. По-моему мнению, интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи, но особый интерес обычно вызывают графические методы решения.