Научное общество учащихся «Эврика»
Муниципальное автономное образовательное учреждение
«Школа №131»
Приокского района г.Нижнего Новгорода
Проектно- исследовательская работа
Неевклидова геометрия
Выполнила:
Денисова Анна Владимировна,
ученица 9 «В» класс
Руководитель: Белоножкина М.А.
Уитель математики
Г. Нижний Новгород
2023 год
Содержание:
1.Введение.........................................................................................................3
2.Неевклидова Геометрия ................................................................................
3.Геометрия Лобачевского ..............................................................................
4. Модели геометрии Лобачевского ...............................................................
5.Модель Пуанкаре ..........................................................................................
6.Модель Клейна ..............................................................................................
7.Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере ...........................
8.Практическое применение геометрии Лобачевского ................................
9.Вывод .............................................................................................................
Цель:
Ознакомление с основным содержанием геометрии Лобачевского
Задачи:
1. провести параллель между геометрией Евклида и геометрией Лобачевского
2. рассмотреть три модели геометрии Лобачевского
3. выполнить сравнительный анализ двух геометрий
Введение
Что же такое геометрия? В переводе с греческого языка слово "гео" значит земля, а "метрео" — мерить. Получается, что геометрия в переводе — "землемерие". Такое название легко объяснить тем, что появление геометрии было связано с различными измерениями, например, разметка участка, проведение дорог, строительство зданий. По мере проведения работ постепенно накапливались различные формулы и правила. То есть геометрия появилась благодаря практической деятельности людей и развивалась как наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.
Геометрия появилась очень давно, ещё в III до нашей эры, благодаря ученому Евклиду и его руководству по математике под названием "Начала".
В данном НОУ я хочу показать, что кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой.
Неевклидова Геометрия
Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).
Неевкли́дова геоме́трия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.
Открытие Неевклидовой геометрии российским ученым Николаем Лобачевским в 1829 году стало революционным событием в мировой математике, полностью изменившим привычное представление человечества о геометрии и пространстве.
Ранее считалось, что Евклидова геометрия — это единственно возможная наука, которая описывает свойства пространства. Лобачевский доказал, что геометрию можно рассмотреть через призму сферического объема, а не плоскости, на которой работал Евклид.
Открытие гениального русского ученого Лобачевского сыграло важнейшую роль в развитии мировой науки. Именно на неевклидовой геометрии пространства-времени базируется Теория относительности Альберта Эйнштейна. Кроме того, открытие Лобачевского нашло свое применение в геодезии, космологии, теории управления, криптографии и других областях.
Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с этой же стороны.
В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.
Окончательный ответ о недоказуемости пятого постулата был дан Николаем Ивановичем Лобачевским.
Геометрия Лобачевского
Николай Иванович Лобачевский— русский математик, один из первооткрывателей неевклидовой («гиперболической») геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения.
Геометрия Лобачевского – одна из неевклидовых геометрий, отличающаяся от евклидовой за счет V постулата(аксиомы параллельности), которая заменяется на аксиому параллельности Лобачевского:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
При создании своей геометрии отечественный ученый использовал принцип “от противного”. Он взял за основу теорию, что прямых, которые не пересекают заданную, может быть не одна, а несколько.
Николай Лобачевский смог опровергнуть пятый постулат науки Евклида. Для доказательства теории ученого можно использовать модель Пуанкаре для круга, где через точку, которая не лежит на прямой, можно провести множество непересекающихся отрезков.
Открытие Лобачевского имело огромное влияние на дальнейшее развитие мировой науки. Так, отечественный физик Александр Фридман на основании новой геометрии, вывел закономерность, что Вселенная имеет свойство к расширению с течением времени. Чуть позже, в середине XX века, другой наш соотечественник, физик Н. Черников с успехом внедрял открытия Лобачевского в собственные учения о столкновениях элементарных частиц в ускорителе. Используется неевклидова геометрия и в астрономии.
Находят свое применение открытия Лобачевского и в мире искусства. Так, в своих работах их применял художник-графист из Нидерландов Мауриц Корнелис Эшер, который прославился своими новаторскими работами. В них он использует различные математические понятия, среди которых значится и геометрия Лобачевского. Среди самых удачных попыток отразить открытия ученого на холсте стали такие работы, как “Картинная галерея” и гравюра “Относительность”, которые стали воплощением неевклидова пространства.
Модели геометрии Лобачевского.
Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского:
1) Модель Пуанкаре
2) Модель Клейна
3) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами)
Единой основой, прообразом всех трёх моделей плоскости Лобачевского будет служить прозрачная полусфера с нарисованными на ней полуокружностями, перпендикулярными её границе — экватору. Таким образом, если экватор полусферы лежит в горизонтальной плоскости, то окружности следует проводить в вертикальных плоскостях.
Модель Пуанкаре
Модель Пуанкаре в круге можно получить, если полусферу поставить на стол полюсом, а точечный источник света поместить в противоположный, северный полюс сферы. Считая, что источник точечный, т. е. лучи от него расходятся по прямым в разные стороны, получается стереографическая проекция сферы (в нашем случае — полусферы) на плоскость. Стереографическая проекция сохраняет углы между линиями, а любые окружности на сфере переводит в окружности на плоскости. (Точнее, окружности, не проходящие через центр проекции, переходят в окружности на плоскости, а проходящие через него — в прямые.)
Экватор полусферы переходит в абсолют плоскости Лобачевского (его точки не принадлежат ей), который является границей модели Пуанкаре в круге. Окружности на полусфере, перпендикулярные экватору, переходят в окружности на круге, перпендикулярные абсолюту. Это и есть «прямые» на плоскости Лобачевского.
Модель Клейна
В 1871 году Клейном была создана первая полноценная модель плоскости Лобачевского. Плоскость - внутренность круга, прямая — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движение» - любое преобразование круга в самого себя, переводящее хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Любое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости - есть утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь не выполняется, так как через точку P, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых»)
Модель Клейна в круге (проективная модель) получится, если при таком же положении полусферы источник света «угнать на бесконечность», т. е. освещать полусферу вертикальными параллельными лучами. Абсолютом будет проекция экватора, а прямыми плоскости Лобачевского — хорды круга.
Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами)
Псевдосфера — поверхность вращения кривой вокруг оси (нужно лишь представлять, что псевдосфера похожа на граммофонную трубу). Прямыми Лобачевского на этой поверхности являются геодезические, то есть линии кратчайшей длины, соединяющие две точки. Геодезическую можно получить, натянув по поверхности нить. Большая часть геодезических на псевдосфере — это спирали, навивающиеся на граммофонную трубу. Но геодезическими также являются сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось вращения. Расстояния в этой модели — обычные евклидовы длины геодезических (поскольку псевдосфера вложена в обычное трехмерное пространство, то эти длины можно найти).
Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского сходна с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (псевдосфере). Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Но эта модель является локальной интерпретацией геометрии, неспособной отобразить всю плоскость Лобачевского.
Практическое применение геометрии Лобачевского
В наши дни геометрия Лобачевского используется в космонавтике для прокладывания дальних маршрутов, вычисления траектории полета, в современной физике и во многих других естественных науках.
Формулы геометрии Лобачевского также используются в физике высоких энергий, а именно, в расчетах ускорителей заряженных частиц. Гиперболические пространства (т.е. пространства, в которых действуют законы гиперболической геометрии) встречаются и в самой природе.
Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) состоят из двух частей: орбитальная группировка из 24-29 спутников, равномерно расположенных вокруг Земли, и управленческий сегмент на Земле, обеспечивающий синхронизацию времени на спутниках и использование ими единой системы координат. На спутниках установлены очень точные атомные часы, а в приемниках (GPS-навигаторах) обычные, кварцевые. В приемниках также есть информация о координатах всех спутников в любой момент времени. Спутники с маленькими интервалами передают сигнал, содержащий данные о времени начала передачи. Получив сигнал от не менее четырех спутников, приемник может скорректировать свои часы и вычислить расстояния до этих спутников по формуле ((время отправки сигнала спутником) – (время приема сигнала от спутника)) х (скорость света) = (расстояние до спутника). Вычисленные расстояния также корректируются по встроенным в приемник формулам. Далее, приемник находит координаты точки пересечения сфер с центрами в спутниках и радиусами, равными вычисленным расстояниям до них. Очевидно, это будут координаты приемника.
Вывод
Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике.
В процессе работы я рассмотрела основные положения геометрии Лобачевского, доказана её непротиворечивость, указаны некоторые сферы её применения в реальной жизни: в физике( в частности астрономии и космонавтике) и многих других естественных науках.
Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютировать представления о пространстве, что «употребительная» (как назвал Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.
Список используемых источников:
Невозможные пространства: как игры используют неевклидову геометрию https://media-xyz.com/ru/articles/738-nevozmozhnye-prostranstva-kak-igry-ispolzuiut
Евклидова и неевклидова геометрия: математический экскурс для школьников https://cyberleninka.ru/article/n/evklidova-i-neevklidova-geometriya-matematicheskiy-ekskurs-dlya-shkolnikov
8
172
182 913 
