Непрерывность функции

Непрерывность функции

Цель: ввести понятие непрерывности функции, закрепить навык вычисления пределов.

План:

1. Орг. Момент

2. Актуализация знаний

3. Введение н/м

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в т. х0 если:

1)существует значение функции в точке f(x0)

2)существует конечный предел в точке х0 

3)предел равен значению функции в точке х0 

Определение: Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Определение: Если в какой-либо точке х0 функция у = f(x) не является непрерывной, то точка х0 называется точкой разрываэтой функции, а функция у = f(x) называется разрывной в этой точке.

4. Решение задач

Задание 2. Исследуйте функции на непрерывность. Найдите точки разрыва и определите их тип.

а)у=

решение

Функция неопределенна в точке х=2, следовательно функция в этой точке не является непрерывной и терпит разрыв. Построим график функции:

Найдём односторонние пределы в точке х=2:

, т. к. односторонние пределы конечны и равны, то точка х=2 точка разрыва 1 рода (точка устранимого разрыва)

б)у=

решение

Построим график функции:

Функция определена в точке х=1. Найдём односторонние пределы в точке х=1:

 т. к. односторонние пределы конечны, но не равны, то точка х=1 точка разрыва 1 рода (скачок)

в) у=

решение

Функция неопределенна в точке х=-1, следовательно функция в этой точке не является непрерывной и терпит разрыв. Построим график функции:

Найдём односторонние пределы в точке х=-1:

   т. к. нет ни одного конечного предела, то точка х=-1 точка разрыва 2 рода.

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 3. Исходя из определения непрерывной функции, докажите непрерывность данных функций в указанных точках

а) у=2х2+1 в точке х=1

б) у= в точке х=-1

Задание 4. Исследуйте функции на непрерывность. Найдите точки разрыва и определите их тип.

а)у=

б)у=

в) у=

Контрольные вопросы:

Понятие непрерывности функции в точке. Непрерывность функции на промежутке.

Подведение итогов.