Нестандартный урок "Решение задач с помощью оригами"

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ОРИГАМИ

1. Задачи на доказательство

Решение задач с помощью оригаметрии–способ, когда понятия школьного курса геометрии просто и наглядно объясняются демонстрацией оригами. Исследуем квадратный лист и выведем некоторые свойства, опираясь на геометрию и оригамику:

Вывод: все доказательства задач излагаются на языке сгибов, но могут быть переписаны в привычной для учеников форме. А правильность их решения легко подтверждается теоремами, изучаемыми по школьной программе.

2.Задачи на построение

1. Равносторонний треугольник в квадрате

В квадрате ABCD строим серединный перпендикуляр к AD, перегнем квадрат по линии, проходящей через точку А, чтобы точка В совместилась с точкой G перпендикуляра. Линия сгиба пересечет сторону ВС в точке Е, а при перегибании квадрата по диагонали АС точка Е совпадёт с точкой F.

1. И з равностороннего треугольника шестиугольник

Образуем точку О пересечением двух биссектрис. Загнем углы треугольника, чтобы их вершины совместились с точкой О.

1. И з квадрата восьмиугольник

Проведем диагонали квадрата, серединный перпендикуляр к стороне AD и биссектрисы углов между диагоналями и этим перпендикуляром. Загнем углы квадрата, чтобы линии сгиба проходили через точки пересечения биссектрис со сторонами квадрата, а вершины углов А, В, С, D оказались на диагоналях

1. Построение правильных многоугольников

А. Построение восьмиугольника

Б. Построение шестиугольника.

В. Построение пятиугольника

1. К вадрат в квадрате. Сгибаем квадрат пополам, ещё раз, получили квадрат. В правом квадрате две диагонали. Левый нижний угол с центром правого квадрата. Отводим влево его до предыдущего сгиба. Перегибаем правую часть до полученного сгиба. Переворачиваем и сгибаем, чтобы боковые стороны совпали.

2. Деление квадрата на три части.

- Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны.

-Точка пересечения боковой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилежащей к нему, делит сторону 1:2.

.

7.Деление квадрата на девять частей.

- Разделить на три части правый нижний угол совместить с первой отметкой справа.

-Точка, полученная на правой боковой стороне, будет делить ее на 4/9(сверху) и 5/9(снизу).

- Делаем сгиб, параллельный верхнему и нижнему краю. Разница, на которую нижняя часть будет шире, чем верхняя - и есть 1/9.

8.Деление квадрата на пять частей.

1.Делаем отметку на середине боковой стороны.

2.Делаем сгиб, проходящий через нижний левый угол квадрата и полученную отметку. Правый нижний угол расположен по горизонтали на 2/5 от правого края.

9.Деление квадрата на семь частей

- Предварительно разделим его на пять.

-Делаем сгиб, при котором нижний правый угол совмещается со второй отметкой справа.

-Точка на правой стороне, которая образовалась благодаря этому сгибу - это 3/7 от верхнего края или 4/7 от нижнего.

-Делим нижнюю часть на 4 части, получаем 1/7.

Вывод: возможности операции перегибания квадратного листа бумаги имеют большое значение в усвоении геометрии. Свойства квадрата, изучаемые на листе, наглядны и легко проверяемы. Также без циркуля и линейки можно разделить угол пополам, построить равнобедренный и равносторонний треугольники, получить орнамент из правильных треугольников и шестиугольников. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, можно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, циркуля и линейки.

3.Задачи на вычисление

Предлагаем собственное решение задач из учебника «Геометрия 7 – 9» Л.С. Атанасяна.

Задача №50. Угол АОВ является частью угла АОС. АОС = 108°, АОВ = 3 ВОС. Найдите АОВ.

Из листа бумаги согнем любой  ВОС. Свернем лист бумаги, чтобы образовалось еще 3 таких угла. Это  АОВ. Развернем лист бумаги, всего получилось 4 равных угла. Тогда 108°: 4 = 27° – одна часть. АОВ = 3 ·27° = 81° (рис.6).

Задача №83. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

Перегнём лист бумаги, построим два смежных  АОС и ВОС. Затем совместим сторону ОА с лучом ОС, т.е. построим биссектрису ОМ. Совместим сторону ОВ с лучом ОС, получим биссектрису ОК ВОС. Искомый МОК получился двойной, то МОК = 180 : 2 = 90°.

Задача № 188.Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и DB параллельны.

Через точку пересечения АВ и СD согнуть лист так, чтобы точка А (D) наложилась на продолжении АС (DВ). При этом точка D(А) пошла по DВ (АС). То есть мы построили прямую, к которой прямые АС и DВ перпендикулярны. А по утверждению, приведенному выше, эти прямые не пересекаются и, следовательно, параллельны.

Задача № 204. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО=ОD (доказывается наложением СО на OD).

Задача № 221. Даны треугольник АВС и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN - с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Через крайние точки проводим прямую, при этом она должна пройти и через среднюю точку.

Задача №222 .Даны: прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью сгибов через точку А. Постройте прямую, параллельную прямой а.

Из точки А к прямой а проводим перпендикуляр b. Далее к b проводим перпендикуляр с, проходящий через точку А. Получили две параллельные прямые а и с, перпендикулярные к третьей прямой b.

Олимпиадная задача. Автор: Хачатурян А.В. Московская устная олимпиада 6-7 классов № 7.3. Из квадратного листа бумаги сложили треугольник (см. рисунки). Найдите отмеченный угол.

Решение: разогнём бумагу и отметим равные углы, которые были совмещены при сгибании (пунктирные линии на рисунке – стороны исходного квадрата ABCD, которые ранее совмещались).  MAN составляет половину прямого  BAD, то есть равен 45°. Три равных угла с вершиной M вместе образуют развёрнутый угол, поэтому  ∠AMN = 60°.  Значит,  ∠ANM = 180 – 45° – 60° = 75°.

Вывод: с удивлением открыли новый подход к решению некоторых традиционных школьных задач с помощью техники оригами.