Некоторые следствия из аксиом.

Урок 2

Некоторые следствия из аксиом:

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Дано:

а, М ¢ а

α

(а, М) с α

Доказать:

О

α - единственная

Р

Доказательство :

М

а

1 . Р, О с а; { Р,О,М } ¢ а

По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость .

По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α

2 . Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

а ∩ b

Н

а

Доказать:

1. ( а∩ b ) с α

2. α - единственная

М

α

b

Доказательство:

1.Через а и Н а, Н b проходит плоскость α .

(М , Н) α , (М,Н) b , значит по А2 все точки b принадлежат плоскости.

2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b , проходит и через Н, значит α – единственная.

Решить задачу № 6

Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

1 случай.

Доказательство:

В

α

1. (А,В,С) α , значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость.

2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α .

С

3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α

А

2 случай.

С

Доказательство:

В

Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.

А

α

Устная работа.

Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1

Найдите:

• Несколько точек, которые лежат в плоскости α ;
• Несколько точек, которые не лежат в плоскости α ;
• Несколько прямых, которые лежат в плоскости α ;
• Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α ;
• Несколько прямых которые пересекают прямую ВС;
• Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС.

Задача 1.

Д 1

С 1

А 1

В 1

Д

С

В

А

α

Устная работа.

b

Задача 2.

А

М

а

В

c

α

Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

Устная работа.

Лежат ли прямые АА 1 , АВ, АД в одной плоскости?

Д 1

С 1

А 1

В 1

Д

С

В

А

Прямые АА 1 , АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости

α

Домашнее задание:

1. Прочитать пункты 2; 3 на стр. 4 – 7

2. Выучить теоремы 1, 2 ( с доказательством); повторить аксиомы А1 – А3

3. Решить задачу №8 ( с объяснением ответов), №11, №15