Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений

Министерство образования и науки РФ

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Елабужский институт К(П)ФУ

Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ

Итоговая аттестационная (проектная) работа

ТЕМА

Нестандартные способы решения

трансцендентных уравнений

Работа выполнена:

слушателем курсов повышения

квалификации учителей

Сабировой Г.Р., учителем математики высшей квал.категории МБОУ СОШ №1 г.Менделеевска, РТ

Руководитель проекта:

Гильмуллин М.Ф.,

доц. кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ, к.п.н., доцент

Работа допущена к защите:

Анисимова Т.И.

зав. каф. мат. анализа, алгебры и

геометрии ЕИ КФУ к.п.н., доцент

____________________

(подпись)

Елабуга, 21 марта – 8 апреля 2016 г.

Содержание

Введение 4

1. Методологические основы изучения темы «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» 5

1.1. Цели и задачи изучения темы 5

1.2. Требования к знаниям и умениям 5

1.3. Формы контроля 5

1.4. Культурно-исторический фон изучения темы 6

2. Теоретические положения решения трансцендентных уравнений 10

3. Основные способы решения трансцендентных уравнений 11

3.1. Метод оценки 11

3.2. Функционально-графический способ 12

3.3. Использование свойств функции 14

3.3.1. Четности 15

3.3.2. Монотонности и экстремумов 15

3.3.3. Экстремальных свойств 16

3.3.4. Области существования 17

3.3.5. Неотрицательности функций 18

4. Проектирование урока по требованиям новых образовательных стандартов 19

4.1. Проектирование урока по требованиям новых образовательных стандартов 19

4.2. Структура и ход урока «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» 21

4.3. Технологическая карта урока «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» 23

4.4. Электронная презентация урока «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» 26

Заключение 28 Список использованной литературы 30 Приложение 1. Образец теста на тему «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» 31 Приложение 2. Таблица «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» 32

Введение

Трансцендентные уравнения и неравенства играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Но их решение вызывает затруднение, так как задания такого типа «вскользь» представлены в базовых курсах математики.

Трансцендентные уравнения и неравенства включены в материалы итоговой аттестации учащихся за курс средней школы, в КИМы из ЕГЭ, в конкурсные экзамены, поэтому приёмы их решения должны обеспечить подготовку учащихся к поступлению в ВУЗ и продолжению образования.

Рассматриваемая тема способствует приобретению учащимися опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности.

При работе над нашей темой мы рассмотрели большой теоретический материал, обобщили и систематизировали накопленные знания.

Цель:

– разработка методики изучения темы «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» с учетом требований новых ФГОС основного общего образования;

Задачи:

– выделение универсальных и специальных предметных учебных действий, формируемых в процессе изучения темы;

– разработка плана-конспекта и технологической карты урока по теме с выделением формируемых УУД.

1. Методологические основы изучения темы

«Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений».

1.1. Цели и задачи изучения темы.

Изучение темы «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» направлено на достижение следующих целей:

– усвоить, углубить и расширить знания способов решения трансцендентных уравнений;

– формирование интеллектуальных умений и навыков самостоятельной и творческой математической деятельности, определенных новыми государственными стандартами.

Достижение поставленных целей возможно через решение трансцендентных уравнений, что позволяет решать следующие задачи:

– обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений при решении трансцендентных уравнений;

– обеспечение прочной математической подготовки к ЕГЭ;

– накопление базы задач, решаемых с помощью трансцендентных уравнений.

1.2. Требования к знаниям и умениям

В результате изучения темы учащиеся должны уметь выполнять следующие учебные действия:

– исследовать и решать трансцендентные уравнения методом оценки;

– исследовать и решать трансцендентные уравнения, применяя функционально-графический способ;

– исследовать и решать трансцендентные уравнения с помощью свойств функций (четности, ограниченности, монотонности, экстремальных свойств);

– применять аппарат теории решения трансцендентных уравнений для решения задач.

1.3. Формы контроля

При изучении данной темы могут быть предусмотрены следующие формы контроля:

– промежуточные и итоговые тесты;

– выполнение и защита индивидуальных и групповых проектов по проблеме решения задач, моделируемых трансцендентными уравнениями;

– самостоятельное решение задач КИМов ЕГЭ.

1.4. Культурно-исторический фон изучения темы.

Мировоззренческой основой теории решения уравнений должно быть понимание того факта, что уравнения являются математической моделью реальных процессов и явлений действительности.

Тема «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» ориентирует школьников на достаточно высокий уровень общематематической подготовки и способствует приобретению прочных математических знаний для успешного овладения профессиями, связанными с математическими вычислениями и умениями логического умозаключения. Решение таких уравнений основано на общей теории решения уравнений.

Как известно, в «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н.э.

Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга» об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорезми (787 – ок.850).

В работах европейских математиков XIII-XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель (1487-1567).

В самом известном российском учебнике «арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) имелось немало задач на квадратные уравнения.

В древневавилонских текстах (3000-2000 лет до н.э.) встречаются задачи, решаемые с помощью систем уравнений.

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540-1603), служивший шифровальщиком при дворе французского короля, впервые ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величии, но и для данные, т.е. коэффициентов уравнений.

Франсуа Виет для обозначения нерасшифрованных букв в донесениях противника использовал редкие буквы латинского алфавита x, y и z, что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравнениях x, y и z. Особенно ценил Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Виета.

Лишь в XVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид.

В начале XVI века профессор математики болонского университета Сципион дель Ферро (1465-1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени.

Это открытие, по обычаям того времени, профессор держал в строгом секрете. О нем знали только два его ученика, в том числе некий Феоре. Утаивание математических открытий тогда было обычным явлением, т.к. в Италии практиковались математические диспуты-поединки. На многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения на месте или в определенный срок. Чаще всего, это были задачи по алгебре, которую называли тогда великим искусством. Побуждал тот, кто решал больше задач. Победитель награждался не только славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом решения некоторых задач.

После смерти профессора дель Ферро его ученик Феоре, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тарталья (1499-1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, т.к. предполагал, что Феоре уже обладал этой формулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и умение, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за восемь дней до срока».

Диспут состоялся 20 февраля 1935 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Феоре не смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу в секрете.

Другой итальянский математик Джероламу Кардано (1501-1576) узал от Тартальи правило решения кубического уравнения и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописями покойного профессора дель Феро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу корней кубического уравнения общего вида.

После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая дель Феро и Тартальей, и по сей день называется формулой Кардано.

Такова полная драматизма история открытия формулы корней кубического уравнения.

В той же книге Кардано привел алгебраическое решение уравнения четвертой степени. Это открытие сделал один из его учеников Лудовико Феррари (1522-1565). После этого начались настойчивые поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трех столетий, и лишь в начале XIX в. норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802-1829) и французский ученый Эварист Галуа (1811-1832) доказали, что уравнения степеней выше четвертой, в общем случае в радикалах не решаются.

Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств, существенно опирается на свойства функций, которые изучаются в математике относительно недавно.

Особое место среди алгебраических уравнений занимают так называемые диофантовы уравнения, т.е. уравнения, в которых неизвестные предполагаются целыми числами. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовым уравнениям, находим в сборниках задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г.Аахен.

Задачи, приводящие к линейным диофантовым уравнениям, имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180-1240), в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого.

Диофантовы уравнения играют важную роль в математике. Л.Эйлер писал: «Диофантовых уравнений анализ немало служит изощрению разума начинающих и большое проворство в искусстве приносит».

Известное диофантово уравнение Пифагора (VI в. до н.э.) x² + y² = z² решают в натуральных числах:

x = (m² - n²) l, y = 2 m n l, z = (m² + n²) l, где m, n, l – любые натуральные числа (m n).

В 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601-1665) сформулировал гипотезу, которую называют великой (или большой) теоремой Ферма: «Уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ для натурального n ≥ 3 не имеет решений в натуральных числах». Ферма не доказал свою теорему в общем случае, но известна его запись на полях «Арифметики» Диофанта: «… невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвертую степень – в виде суммы таких же степеней, или вообще любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Позднее в бумагах Ферма было найдено доказательство его теоремы для n = 4. С тех пор более 300 лет математики пытались доказать великую теорему Ферма. В 1770 г. Л.Эйлер доказал теорему Ферма для n = 3, в 1825 Андриен Лежандр (1752-1833) и Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859) – для n = 5. Доказательство великой теоремы Ферма в общем случае не удавалась долгие годы. И только в 1993 г. Эндрю Вайлс доказал эту теорему.

2. Теоретические положения решения

трансцендентных уравнений.

В математике встречаются так называемые трансцендентные уравнения, то есть такие уравнения, в которых содержатся функции разного вида. Формул, позволяющих находить корни уравнения в таких случаях, не существует. Поэтому мы решили обобщить и систематизировать имеющийся материал по решению таких уравнений. В своей работе мы рассмотрели следующие нестандартные способы решений трансцендентных уравнений:

1. Метод оценки.

2. Функционально-графический способ.

3. Использование свойств функции:

- четности,

- монотонности,

- экстремальных свойств,

- ограниченности,

- области существования,

- неотрицательности функций.

Затем сформулировали общую идею решения для каждого способа. Для того, чтобы легче было определить, каким из указанных способов решить нестандартное уравнение, мы выделили случаи применения данных способов при решении трансцендентных уравнений:

- если в одной части уравнения стоят ограниченные функции, а в другой – конкретные числа;

- если в задачах переменных больше, чем заданных уравнений;

- если в уравнениях содержатся разного вида функции;

- если в задаче просматриваются неравенства, основанные на свойствах среднего арифметического, среднего степенного, неравенства Коши или им подобные.

1. Основные способы решения трансцендентных уравнений.

   1. Метод оценки.

Идея решения:

Оценить одно аналитическое выражение другим (чаще всего конкретным числом) «снизу», а другое – этим же числом «сверху», то есть левую и правую части уравнения сравнить с конкретным числом.

1. Решить уравнение:

log₂ (x² + 4) - log₂ x = 4 x - x² - 2

Решение:

Заменим левую часть уравнения логарифмом, используя свойство разности логарифмов:

log₂ ( _ ) = 4 x - x² - 2

Видим, что по неравенству Коши: (x + _ ) ≥ 4, а значит

log₂ (x + _) ≥ 2. Таким образом, левая часть уравнения ≥ 2.

Рассмотрим правую часть уравнения. В правой части содержится квадратный трехчлен, поэтому выделим из него квадрат двучлена:

4 x – x² – 2 = – x² + 4 x – 2 = – (x² – 4 x + 4 – 2) = – (x - 2)² + 2 = 2 – ( x - 2)²

Получили, что правая часть уравнения ≤ 2, т.к. (x - 2)² ≥ 0 при любых х. Значит, равенство левой и правой частей уравнения достигается, если они одновременно равны 2.

_

Из первого уравнения системы находим корень х = 2. Убеждаемся, что этот корень удовлетворяет и второму уравнению системы. Следовательно, решением исходного уравнения будет х = 2.

Ответ: х = 2

1. Решить уравнение:

Решение:

В левой части уравнения стоит тригонометрическая функция, а в правой – сумма показательных. Формул, позволяющих находить корни в таких случаях, не существует. Оценим каждую из частей уравнения. Очевидно, что левая часть уравнения ≤ 2, так как _. Имеем:

_

Если f(x)_0, то _.

Причем равенство достигается только при f (x) = 1. В данном случае _. Получили, что левая часть уравнения меньше или равняется двух, а правая часть – больше или равняется двух. Таким образом, уравнение имеет решение, только если обе части равны 2:

_

Следовательно, _.

Проверкой убеждаемся _ при x = 0.

Ответ: x = 0

1. Функционально-графический способ.

Идея решения:

f (x) = g (x) – построить график функции y = f (x) и y = g (x) и найти все точки их пересечения, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.

1. Решить уравнение:

Ответ: x = 1, x = 2.

1. Сколько корней имеет уравнение:

Ответ: 1 корень.

1. Сколько корней имеет уравнение:

Ответ: 3 корня

1. Сколько корней имеет уравнение:

Ответ: 3 корня

1. Использование свойств функции.

Имеется довольно много уравнений, которые можно (и нужно) решать с использованием свойств функций, входящих в это уравнение. Часто оказывается, что такой метод дает возможность решить уравнение проще, чем с помощью обычных методов, а иногда решить их и в тех случаях, когда эти методы не дают такой возможности. В данной работе приведено несколько методов решения уравнений с использованием свойств функций.

1. Использование четности функций.

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

5 ∙ _ - (1 + 25а) ∙ _ + 5а = 0 имеет ровно два корня.

Решение. Функция f (x) = 5 ∙ _ - (1 + 25а) ∙ _ + 5а определена на множестве R для каждого значения а. Она четная, так как f (-x) = f (х) для любого х є R.

Поэтому, если число _ – корень уравнения, то число -_ тоже корень этого уравнения.

Обозначим t = _. Тогда исходное уравнение перепишется в виде:

_ - (1 + 25 а) t + 5 а = 0.

Это уравнение имеет два корня: _ = 0,2 и _ = 5а.

Уравнение _ = _ корней не имеет. Уравнение _ = 5а имеет два различных корня _ и _ тогда и только тогда, когда 5а 1, т.е. когда а 0,2

Следовательно, исходное уравнение имеет ровно два корня только когда а 0,2

Ответ: а 0,2.

1. Использование монотонности и экстремумов функций.

Идея решения:

f (x) = g (x), если одна из функций возрастает, а другая убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет единственный корень, который иногда легко угадывается. Затем проверкой нужно убедиться в справедливости найденного корня.

1. Решить уравнение:

3 ^x + 4 ^x = 7

Решение:

Легко угадывается корень уравнения. x = 1 - единственный корень, так как в левой части уравнения записана возрастающая функция (как сумма двух возрастающих функций, 3 1, 4 1), а справа – число 7. По теореме о корне это уравнение может иметь не более одного корня. Проверкой убеждаемся, что х = 1 – корень уравнения.

1. Решить уравнение:

Log₂ x + 3 Log₂ (x + 3) = 6

Решение:

х = 1, т. к. левая часть уравнения является возрастающей функцией (как сумма двух возрастающих функций), а значит уравнение имеет только один корень (который легко угадывается), либо не имеет корней совсем. Проверкой убеждаемся, что х = 1 – корень уравнения.

1. Решить уравнение:

_ – 1 – х = 0.

Функция f (x) = _ – 1 – х имеет производную _(x) = _ – 1 на интервале R. Причем, _(x) = 0 только для _ = 0, _(x) 0 для каждого х _(x) 0 для каждого х 0. Следовательно, функция убывает на промежутке (-_ ; 0], возрастает на промежутке [0 ; + _) и точка _ = 0 - единственная точка минимума этой функции на R. Поэтому f (x) f (_) = 0 для каждого х ≠ _ и f (_) = 0 только для х = _. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень _ = 0.

Ответ: 0.

1. Использование экстремальных свойств функций.

Идея решения:

Определить, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой ее части.

Решить уравнение:

_

Решение:

_

Наименьшее значение, равное 1, эта функция принимает при х = 1.

_

Аналогично, наименьшее значение, равное 1, эта функция принимает при х = 1. А правая часть уравнения равна 2. Значит, корень уравнения х = 1.

Ответ: x = 1

1. Использование области существования.

Идея решения:

Если при рассмотрении уравнения выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения.

1. Решить уравнение:

_.

Решение:

Обе части этого уравнения определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств:

Все решения этой системы состоят из двух чисел: _ = 2, и _ = - 2. Поэтому если исходное уравнение имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число _ удовлетворяет исходному уравнению, а число _ ему не удовлетворяет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень _ = 2.

Ответ: 2.

1. Решить уравнение:

_.

Решение:

Обе части этого уравнения определены лишь для таких х, которые удовлетворяют системе неравенств:

т.е. на множестве М = [_ ; + _). Поэтому если исходное уравнение имеет решения, то они принадлежат множеству М.

Для каждого х є М имеем _, т.е. любое х є М не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

1. Использование неотрицательности функций.

Пусть функция F (х) есть сумма нескольких функций

F (х) = _ (x) + … + _ (x),

каждая из которых неотрицательна для любого х из области ее существования. Тогда справедливо следующее утверждение: уравнение F (х) = 0 равносильно системе уравнений:

1. Решить уравнение:

Решение:

Каждая из функций _ неотрицательна для любого х из области ее существования.

Поэтому исходное уравнение равносильно системе уравнений:

имеющей единственное решение _ = 0.

Следовательно, исходное уравнение, равносильное системе уравнений, имеет единственное решение _ = 0.

Ответ: 0.

1. Решить уравнение:

_ + 5 ∙ _ + 4_ ∙ _ - 2 ∙ _ + 1 = 0.

Решение:

Перепишем это уравнение в виде (_ + 2 ∙ _)² + (_ - 1)² = 0.

Каждая из функций (_ + 2 ∙ _)² и (_ - 1)² неотрицательна для любого х є R, поэтому исходное уравнение равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет единственное решение  х  = 0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система, а значит, и равносильное ей исходное уравнение не имеют решений.

Ответ: нет решений.

1. Проектирование урока по требованиям новых

образовательных стандартов

1. План-конспект урока

«Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений»

Сабирова Гузяль Равильевна, учитель высшей квал.категории МБОУ СОШ №1 города Менделеевска РТ.

Предмет: Алгебра.

Класс: 11.

Тема раздела: Использование свойств функции при решении уравнений.

Номер урока в теме: 1-2 (90 мин).

Базовый учебник: Алгебра и начала математического анализа, 11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин – М.: Просвещение, 2010.

Цель урока: ознакомление с основными понятиями теории решения трансцендентных уравнений и формирование умений решения задач на данную тему.

Задачи урока:

– образовательные (формирование познавательных УУД, в том числе специально-предметных действий): научить выделять и формулировать познавательную цель, моделировать, определять трансцендентное уравнение и понимать, что означает решить такое уравнение; уметь решать трансцендентные уравнения; уметь выделять способы решения трансцендентных уравнений;

– воспитательные (формирование личностных и коммуникативных УУД): действие смыслообразования (установление связей между целями и мотивами), формирование умений слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, воспитывать ответственность и аккуратность;

– развивающие (формирование регулятивных УУД): постановка учебных задач, формировать умения обрабатывать информацию и систематизировать ее по указанным основаниям; выбирать способы решения трансцендентных уравнений в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Тип урока: комбинированный урок.

Формы работы учащихся: фронтальная работа, парная и индивидуальная работа, групповая технология, ИКТ.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор (интерактивная доска), доска, экран, технологическая карта урока для каждого учащегося, электронная презентация, выполненная в программе Power Point.

4.2. Структура и ход урока

«Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений».

№	Этап урока	Используемые ЭОР	Деятельность учителя	Деятельность ученика	Время (мин).	Познавательные / специально-предметные	Личностные	Регулятивные	Коммуника-тивные
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	Первый урок Организационный момент	Электронная презентация. Слайд №1	Перед объяснением нового материала учащимся раздается Технологическая карта урока и даются пояснения по работе с ней, а также Лист контроля.	Знакомятся с технологической картой урока, уточняют критериев оценки	3			Планирование. Прогнозирование своей деятельности. Сопоставление плана и действий.	Умение слушать и вступать в диалог. Планирование сотрудничества
2	Вводная беседа. Актуализация знаний	Слайд №2	Вступительное слово учителя. Учитель начинает беседу с проблемной задачи по будущей теме урока. Задает учащимся наводящие вопросы.	Участвуют в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы, приводят примеры.	3	Поиск и выделение необходимой информации. Анализ. Выдвижение гипотез. Постановка проблем. Закрепить понятие трансцендентного уравнения.	Смыслообразование.	Постановка цели учебной задачи. Прогнозирование.	Умение слушать и вступать в диалог. Умение выражать свои мысли. Владение речью.
3	Изучение нового материала	Слайд №3	Вместе с учениками определяет учебную цель. Демонстрирует ЭОР. Сообщает новый материал.	Записывают в тетради примеры решения трансцендентных уравнений методом оценки и функционально-графическим методом и с использованием свойств функции.	5	Выделение необходимой информации. Выделение существенных характеристик объекта. Выбор способов решения. Рефлексия способов действия. Подведение под понятие. /Выделять трансц.уравн. методом оценки, функционально-граф.методом., с использованием свойств функции.	Определение личностной ценности изучаемых понятий.	Контроль и коррекция отклонений от собственного понимания. Оценка осознания усвоенного.	Постановка вопросов.
4	Решение трансцендентных уравнений.	Слайд №4	Комментирует, направляет работу учащихся	Один ученик на доске, а остальные в тетради выполняют задания №1-6	20	Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия. Анализ объектов и синтез. Осуществлять самоконтроль / Решать трансц.уравнения нестандартными способами.	Жизненное, личностное, профессио-нальное самоопределение	Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата	Умение слушать и вступать в диалог. Коллективное обсуждение проблем (при Необходи-мости)
5	Физкультминутка				1
6	Исследование и трансцендентного уравнения с параметром	Слайд №5-6	Сообщает новый материал в форме решения трансцендентного уравнения с параметром Комментирует, направляет работу учащихся	В тетради выполняют задание №7,8	8	Моделирование решения в новых условиях. Решение учебной задачи в зависимости от конкретных условий. Адекватная оценка информации. / Решать трансц.уравнение с параметром с использ. Св-ва четности функции.	Определе-ние личност-ной и профессиональной ценности изучаемых понятий.	Постановка новой учебной задачи на неизученных условиях	Участие в коллективном обсуждении проблем, продуктивное взаимодейст-вие и сотрудничест-во.
7	Подведение итогов 1 урока	Слайд №7	Задает дозированное домашнее задание	Проставляют в лист контроля баллы, набранные на 1 уроке. Записывают дом.задание в зависимости от уровня освоения темы.	5			Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности
8	Второй урок Закрепление изученного на 1 уроке		Выступает в роли тьютора	Выполняют задания для сам.работы №1-16. Делают записи в тетрадь. После выполнения задания выполняют взаимную проверку.	45	Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия. Анализ и синтез объектов.
	Всего				90

Второй урок посвящается решению трансцендентных уравнений.

1. . Технологическая карта урока «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений».

Номер учебного элемента	Учебный материал с указанием заданий	Рекомендации по выполнению заданий, оценка
1	2	3
УЭ–0	Цель урока: ознакомление с основными понятиями теории решения трансцендентных уравнений и формирование умений решения задач на данную тему. – образовательные задачи: научить определять трансцендентное уравнение и понимать, что означает решить такое уравнение; уметь исследовать и решать трансцендентные уравнения; уметь выделять способы решения трансцендентных уравнений; – воспитательные задачи: формирование умений слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, воспитывать ответственность и аккуратность; – развивающие задачи: формирование умений обрабатывать информацию и систематизировать ее по указанным основаниям; выбирать способы решения трансцендентных уравнений в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.	Внимательно прочитайте цель и задачи урока. Получите представление о работе с технологической картой.
УЭ-1	Первый урок Подготовка к работе. Обсудите в парах и подготовьте ответы на следующие вопросы: а) Какое уравнение называется трансцендентным? б) Приведите примеры трансцендентных уравнений.	Работайте в парах. 1 балл за каждый правильный ответ.
УЭ-2	Цель: получить представление о трансцендентном уравнении. Задание 1. Внимательно слушайте объяснение, выделяйте новые термины. План сообщения: 1. Понятие трансцендентного уравнения. 2. Способы решения трансцендентных уравнений. 3. Пример решения трансцендентного уравнения. Сколько корней имеет уравнение: 	Записывайте в тетрадь новые термины. 2 балла за выделение 2-х терминов. Запишите в тетради решение примера. 2 балла за пример.
УЭ-3	Цель: научиться решать трансцендентные уравнения. 1) log2 (x2 + 4) - log2 x = 4 x - x2 – 2 2)  3)  4) 3 x + 4 x = 7 5)  6) . 7) Найти все значения параметра а, при каждом их которых уравнение  - (3 а + 1) |x| +  + 2 а = 0 имеет ровно четыре корня.	Работайте в группе. Результат сверьте с решением на доске. За каждое правильно решенное уравнение 3 балла.
УЭ-4	Цель: научиться решать трансцендентное уравнение с параметром с использованием свойства четности функции. 8) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 5 ∙  - (1 + 25а) ∙  + 5а = 0 имеет ровно два корня.	Запишите в тетради решение примера. За правильное решение уравнения 5 баллов.
УЭ-5	Подведение итогов урока. 1. Прочитайте цели урока. 2. Достигли ли Вы цели урока? В какой степени? 3. Оцените свою работу на уроке. Подсчитайте количество баллов, которое Вы набрали при выполнении заданий. Поставьте себе оценку.	Заполнить лист контроля.

Второй урок - закрепление изученного материала на первом уроке.

Лист контроля урока№1

Этапы работы	Количество баллов по заданиям								Всего
УЭ	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№5	№6	№7	№8
УЭ-1	2								2
УЭ-2	2	2							4
УЭ-3	3	3	3	3	3	3	3		21
УЭ-4								5	5
Итого									32

Критерии оценки

Если Вы набрали:

27 - 32 балла, то оценка за урок «5»;

16 - 26 баллов, то оценка за урок «4»;

10 - 15 баллов, то оценка за урок «3»;

менее 10 баллов, то оценка за урок «2». Не огорчайтесь, у Вас еще будет возможность исправить положение.

Домашнее задание:

если оценка «5», то творческое задание: составить и решить три трансцендентных уравнения;

если «4» - учебник стр. 323; примеры № 13.13(в), №13.14(б), №13.15(а);

если оценка «3-2» - учебник стр. 316, 318; примеры № 13.1(г), № 13.2(а), №13.6(а).

1. Электронная презентация урока

«Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений».

Слайд №1.

«Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений».

Слайд №2.

Сможете ли вы решить уравнения:

1) log₂ (x² + 4) - log₂ x = 4 x - x² – 2

2) _

3) _

4) 3 ^x + 4 ^x = 7

5) _

6) _.

7) Найти все значения параметра а, при каждом их которых уравнение

_ - (3 а + 1) |x| + _ + 2 а = 0 имеет ровно четыре корня.

Чем эти уравнения отличаются от тех, которые мы уже решали ранее?

Слайд №3.

Сформулируйте определение трансцендентного уравнения.

Перечислите способы решения трансцендентных уравнений.

Ответьте на вопрос: сколько корней имеет уравнение:

_

Слайд №4.

Решить уравнения:

1) log₂ (x² + 4) - log₂ x = 4 x - x² – 2

2) _

3) _

4) 3 ^x + 4 ^x = 7

5) _

6) _.

Слайд №5.

Найти все значения параметра а, при каждом их которых уравнение

_ - (3 а + 1) |x| + _ + 2 а = 0 имеет ровно четыре корня.

Слайд №6.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

5 ∙ _ - (1 + 25а) ∙ _ + 5а = 0 имеет ровно два корня.

Слайд №7.

Домашнее задание.

если оценка «5», то творческое задание: составить и решить три трансцендентных уравнения;

если «4» - учебник стр. 323; примеры № 13.13(в), №13.14(б), №13.15(а);

если оценка «3-2» - учебник стр. 316, 318; примеры № 13.1(г), № 13.2(а), №13.6(а).

Заключение

Сегодня перед обществом и, в первую очередь, перед школой, стоят огромные задачи по подготовке человека нового времени, который будет жить совершенно в других условиях, чем его родители, решать иные проблемы, стоящие перед государством. Поэтому наши выпускники должны быть инициативными, творческими, предприимчивыми личностями, умеющими выбирать оптимальные варианты из тех, которые ставит перед ними действительность. Молодой человек должен уметь формировать свои потребности с учетом своих возможностей в условиях спроса и предложения. В связи с этим каждый учитель должен находиться в постоянном творческом поиске, так как мы находимся на этапе перехода от репродуктивно-педагогической к креативно-педагогической цивилизации.

В условиях перехода к новым образовательным стандартам общего образования, многие учителя задаются вопросами о сущности и отличительных особенностях стандарта нового поколения, о видах универсальных учебных действий, о способах формирования их средствами предмета на своих уроках, наконец, о способах контроля и мониторинга УУД. Учитель хочет точно знать, что следует делать на каждом уроке математики, чтобы формировать регулятивные, познавательные и другие универсальные учебные действия.

Тема «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений», изучаемая в главе «Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств», является одной из важных и трудных тем в курсе алгебры. Проектная работа была посвящена разработке методической системы обучения решению трансцендентных уравнений в условиях внедрения новых образовательных стандартов.

В процессе разработки проекта были:

– выделены универсальные (по четырем блокам: 1) личностные; 2) регулятивные; 3) познавательные; 4) коммуникативные) и специальные предметные учебные действия, формируемые в процессе изучения темы, показана связь УУД и специальных предметных учебных действий;

– разработаны план-конспект и технологическая карта двух последовательных уроков по теме с выделением формируемых УУД;

По аналогии с этими образцами учителя смогут проектировать формируемые на каждом уроке универсальные учебные действия, отображать в своей деятельности и в конспектах урока связь универсальных учебных действий и специальных предметных учебных действий, строить системы заданий, формирующие универсальные учебные действия.

Планируется использование различных форм активного обучения и форм контроля, ориентирующих учащихся на приобретение высокого уровня общей и специальной математической подготовки, прочных знаний и умений, необходимых для успешной сдачи государственной итоговой аттестации и продолжения обучения в ВУЗе.

Тема «Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений» может быть дополнена решением трансцендентных неравенств.

Кроме того, мы надеемся, что наша работа будет востребована учителями для подготовки к ЕГЭ, а также будет способствовать осознанию школьниками практической значимости математических знаний, формированию стремления к достижению поставленной цели и преодолению интеллектуальных трудностей.

Список использованной литературы

1. Виленкин Н.Я., и др. Алгебра и математический анализ для 10 и 11 классов: Учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубленным изучением курса математики / Н.Я.Виленкин, О.С.Ивагиев-Мусатов, С.И.Шварцбурд.–2-е изд., дораб.– М.: Просвещение, 1990.

2. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа: пособие для учителя/ М.Л.Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд – М.: Просвещение, 1997.

3. Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е.А. Математика 11 класс. Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы. Решение задач с методическими комментариями/ Г.В.Дорофеев, Г.К.Муравин, Е.А.Седова – М.: Дрофа, 2000.

4. Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. – 2-е изд., испр/ С.И. Колесникова – М.: Айрис – пресс, 2004.

5. Корешкова Т.А. и др. ЕГЭ. Математика. Типовые тестовые задания/ Т.А. Корешкова – М.: Экзамен, 2007.

6. Клово А.Г. и др. Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике в 2006 г. / А.Г.Клово – М.: ФГУ Федеральный центр тестирования, 2005.

7. Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре и начала мат.анализа за курс средней школы/ Л.В. Кузнецова - М.: Дрофа, 1999.

8. Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. – изд. 2-е, испр/ И.И. Мельников, И.Н. Сергеев – М.: МП Азбука, 1994.

9. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 11 класса средней школы/ И.Ф. Шарыгин – М.: Просвещение, 1991.

10. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин – М.: Просвещение, 2010.

11. Алгебра и начала математического анализа. Дидактич. материалы. 11 класс: базовый и профил.уровни/ М.К.Потапов, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2010

Приложение 1

Задания для самостоятельной работы

по теме «Нестандартные приёмы решения трансцендентных уравнений».

Решить уравнения и неравенства:

1. _

2. _

3. _

4. _

5. _

6. _

7)_

8)_

9) _

10) _

11) _

12) _

13) _

14) _

15) _

16) _

Приложение 2

Задания к тестированию в форме ЕГЭ

по теме «Нестандартные приёмы решения трансцендентных уравнений».

Часть 1.

1. Решите уравнение:

А1:  7π 2) -8 3) 2 4)1

А2:  1) -1 2) 0 3) 7 4) -13

2. Сколько корней имеет уравнение:

А3:  1) 1 2) 0 3) 2 4) 3

А4:  1) 0 2) 1 3) 2 4) 4

А5: _

1) 1 2) 2 3) 0 4) 3

3. Какому промежутку принадлежит корень уравнения:

А6:  1)(0;1) 2)[ -1;1] 3)[-1;0) 4)(1;2) А7:  1)(0; 2] 2)(- 1;0 ] 3)(0; 1] 4)(-1;1)

A8:  1) (1; 2] 2) (0; 1] 3) (- 10; 1) 4) (-1; 1) А9:  1) [1; 2) 2) (-1;1) 3) (1; 10) 4) (0; 1)

Часть 2.

Решите уравнение: В1: 

Сколько корней имеет уравнение: В2: 

Часть 3.

1. Решите уравнения:

С1: _

C2: _

21