Новое задание ЕГЭ по математике профильного уровня, проверяющее умение выполнять действия с функциями

Новое задание ЕГЭ

по математике профильного уровня, проверяющее умение

выполнять действия с функциями

Кудабаева А.А.,

учитель математики МАОУ «СОШ №10» Гайского городского округа

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2022 года по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень

9.  На рисунке изображён график функции вида   

где числа  a ,  b  и  c  — целые. Найдите 

В №9 открытого банка ЕГЭ ( https://mathege.ru/ )

используются графики следующих элементарных функций:

y = kx + b

y = ax 2 + bx + c

y =

y =

y = a x

y =log a x

y = cosx, y = sinx, y = tgx

Как формулируется задание №9?

- по графику функции определить неизвестные параметры в ее формуле;

- найти значение функции в некоторой точке;

- найти значение аргумента по заданному значению функции;

- найти абсциссу или ординату точки пересечения графиков функций.

Чтобы успешно выполнить задание №9, надо

• знать графики и свойства элементарных функций;
• уметь читать графики;
• уметь выполнять преобразования графиков функций: сдвиг, умножение на число, отражение относительно координатных осей.

Преобразования графиков функций

Сдвиг по горизонтали

Сдвиг по вертикали

Преобразования графиков функци й

Растяжение (сжатие) по горизонтали

Растяжение (сжатие) по вертикали

Преобразования графиков функций

Отражение по горизонтали

Отражение по вертикали

Линейная функция

D

k= +

y = k x + b

2

k – угловой коэффициент

4

C

k = tgα

α – угол наклона

B

3

Если х = 0, то y = b

A

A(0; b )

f(x)= x-3

3

1) На рисунке изображен график функции f(x)=kx+b. Найти f(-16).

1 способ

k= -

f(x) = -

x + b

A(2;1)

3

1 = -

∙ 2 + b

A(2;1)

4

b = 2,5

f(x) = -

x + 2,5

f(-16) = -

∙ (-16) + 2,5 = 14,5

Ответ: 14,5.

1) На рисунке изображен график функции f(x)=kx+b. Найти f(-16).

2 способ

A(2;1), B(-2;4)

Подставим координаты точек в функцию

2k+b=1

-2k+b=4

b=2,5

k= - 0,75

Тогда f(x)=-0,75x+2,5

f(-16)=-0,75*(-16)+2,5=14,5

B

A

{

{

Ответ: 14,5.

1) На рисунке изображен график функции f(x)=kx+b. Найти f(-16).

3 способ

Уравнение прямой, проходящей через две точки (a;b), (c;d):

(x – a)/(c – a) = (y – b)/(d – b)

A(2;1), B(-2;4)

Подставим координаты точек

(x – 2)/(-2 – 2) = (y – 1)/ (4 – 1)

3(x – 2) = - 4(y – 1)

4y = - 3x +10

y = - 0,75 x + 2,5

f(-16)=-0,75*(-16)+2,5=14,5

B

A

Ответ: 14,5.

Квадратичная функция

f(x)=ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) = a(x-m) 2 + n

-2

-1

-3

-1

-4

Определение коэффициента а

в квадратичной функции f(x)= а x 2 + bx + c

по графику

f(x)=ax 2

a= =1

a= =2

a= - = -2

Определение коэффициента b

в квадратичной функции f(x)= а x 2 + b x + c

по графику

х в =

х в =

х в =

а = 2

b= - 2 а х в

b = - 2 ∙ 2 ∙ (-1) = 4

с = - 1

а = 1

а = - 2

b= - 2 а х в

b = - 2 ∙ ( - 2) ∙ 2 = 4

с = - 2

b= - 2 а х в

b = - 2 ∙ 1 ∙ (-2) = - 4

с = 3

2) На рисунке изображен график функции

f(x)=ax 2 + bx + c, где a,b,c – целые числа.

Найти значение f(11).

1 способ

f(x)= a(x-x 1 )(x-x 2 )

a=1

x 1 =-3; x 2 =-1

f(x)= (x+3)(x+1)

f(11)=(11+3)(11+1) = 168

-1

-3

Ответ: 168

2) На рисунке изображен график функции

f(x)=ax 2 + bx + c, где a,b,c – целые числа.

Найти значение f(11).

2 способ

f(x)= a(x-m) 2 + n

a=1

m= -2; n= -1

f(x)= (x+2) 2 -1

f(11)=(11+2) 2 -1=168

-2

-1

Ответ: 168

2) На рисунке изображен график функции

f(x)=ax 2 + bx + c, где a,b,c – целые числа.

Найти значение f(11).

3 способ

f(x)= ax 2 + bx + 3

A(-2;-1); B(-1;0)

4a-2b+3=-1

a-b+3=0

4a-2b=-4

a-b=-3

4a-2b=-4

-2a+2b=6

a=1

b=4

f(x)= x 2 + 4x +3

f(11)=11 2 +44+3=168

B

{

A

{

{

Ответ: 168

Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость 3) На рисунке изображён график функции вида   где числа  a ,  b  и  c  — целые. Найдите  a .

Функция не определена при х=5

(прямая х=5 является вертикальной асимптотой графика)

5+c=0, c= - 5.

A(4;-2); B(6;0)

B

= -2

{

A

= 0

a = -1

Ответ: -1

4) На рисунке изображены графики функций   и   которые пересекаются в точке  A . Найдите абсциссу точки  A .

A(4;5)

A

В(0;-3)

b = -3

Найдём абсциссу точки  A : 2,5 = 0,5х – 3

х = 36

В

Ответ: 36.

Показательная функция

y

1

0

1

x

5) На рисунке изображён график функции   Найдите значение  x , при котором f(x) = 16

График функции y = a x проходит через точку (0; 1).

Значит, график функции получен

сдвигом на 3 единицы по горизонтали.

Таким образом, параметр b = 3.

Найдем параметр а

4 = а 1+3

а =

Найдем х, если f(x) = 16

Ответ: 5

Логарифмическая функция

y

1

0

x

4

2

1

8

6 ) На рисунке изображён график функции

Найдите значение  x , при котором  

1 способ

График функции y = log a x проходит через точку (1; 0).

Значит, график функции y = b + log a x получен

сдвигом на - 3 единицы по вертикали.

Таким образом, параметр b= - 3.

Найдем параметр а

-1 = - 3 + log a 4

log a 4 = 2

а = 2

Найдем х, если f(x) = 1

Ответ: 16.

6 ) На рисунке изображён график функции

Найдите значение  x , при котором  

2 способ

По рисунку определяем, что

Тогда 

Значит,

Решим уравнение

Ответ: 16 .

Тригонометрические функции 7) На рисунке изображён график функции f(x) = acosx + b . Найдите  a .

1 способ

По графику

  f (0) = 0,5

По графику

Ответ: 1,5

7) На рисунке изображён график функции f(x) = acosx + b . Найдите  a .

2 способ

Проведем вспомогательную горизонтальную ось и сравним с графиком функции у = cosx

График f(x) = acosx + b получен сдвигом на - 1 по вертикали и растяжением в 1,5 раза по вертикали.

Значит, a = 1,5

Ответ: 1,5

8) На рисунке изображён график функции y =   a tgx + b. Найдите  b .

f (0) = - 1,5

По графику

Ответ: - 1,5