Россия,
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 04.03.2018 07:10
Зайцева Вера Ивановна
учитель математики
63 года
1 398
36 211 
Местоположение
Специализация
Нпк "Линейная функция в жизни человека"
Категория:
Алгебра
28.02.2018 15:51
Просмотр содержимого документа
«Нпк "Линейная функция в жизни человека"»
Глава I. Введение.
На сегодняшний день тема «Применение математических функций в жизни человека и различных науках» является актуальной и интересной. Впервые об этой теме я услышал на уроке математики, познакомившись с понятием линейная функция. Мне стало интересно: с какими реальными ситуациями связано понятие «линейная функция», т.е. между какими величинами можно установить линейные зависимости? Каким образом устанавливается зависимость между величинами? Как установленную зависимость можно записать, или изобразить и каким образом использовать установленные зависимости? Моя исследовательская работа посвящена изучению практического применения линейной функции в науке, жизни. В повседневной жизни мы очень часто используем линейную функцию, составляющую основу математики. Данная работа содержит результаты исследования, поиска и решения прикладных задач, в которых зависимость переменных выражена линейной функцией. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.
Проблемный вопрос: линейная функция факт или теория?
Гипотеза: я предположил, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями.
Цель: увидеть связь линейной функции с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека, показать, что понятие “линейная функция” находит широкое применение в жизни.
Задачи:
подобрать и проанализировать соответствующую литературу и интернет - источники;
найти определение функции в школьной программе;
рассмотреть применение функции в различных науках;
показать применение функции в жизни человека.
Методы исследования: наблюдение, беседа, анализ, обобщение, опрос, сравнение.
Глава II. Теоретические сведения.
1.1. Из истории возникновения функции.
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениями между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объёма тех или иных фигур.
Явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В «Геометрии» Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями. 
Термин "функция" (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.
Представление понятия функции на протяжении с XVII в. и до XVIII в. дополнялось и переформулировывалось ведущими учёными И. Бернулли, Л. Эйлером, С. Лакруа, Даламбером, Ж. Фурье, Н.И. Лобачевским. Общее же определение функций сформулировал Дирихле, после длившихся целый век дискуссий в первой половине XIX в.
С.Л.Соболев
В общем виде понятие обобщённой функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев (ныне академик) первым рассмотрел частный случай обобщённой функции и применил созданную теорию к решению задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщённых функций внесли ученики и последователи Л. Шварца.
1.2. Виды линейной функции.
Рассмотрим основные существующие виды линейной функции и ее свойства.
1. Постоянная функция.
Постоянной называется функция, заданная формулой у=b, где b – некоторое число.
Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.
2. Прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой y=kx, где k≠0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.
Перечислим свойства функции y=kx:
- область определения функции – множество всех действительных чисел.
- y=kx – нечетная функция (f(-x)=k(-x)=-kx=-f(x)).
- при k0 функция возрастает, а при k убывает на всей числовой прямой.
Графиком прямой пропорциональности y=kx является прямая, проходящая через начало координат.
3. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой y=kx+b , где k и b – действительные числа. Если, в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
Перечислим свойства линейной функции y=kx+b при k≠0, b≠0.
- область определения функции – множество всех действительных чисел.
- функция y=kx+b ни четна, ни нечетна.
- при k0 функция возрастает, а при k убывает на всей числовой оси.
Графиком линейной функции y=kx+b является прямая.
Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента b определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла a, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если k 0, то образованный угол острый, если k
Взаимное расположение графиков линейных функций.
| Если
| Если
|
, то графики функций 
и 
пересекаются в одной точке
, 
, то графики функций 
Глава III. Основная часть.
1.1. Линейные зависимости в математике
С применением линейной функциональной зависимости для описания различных реальных процессов я столкнулся уже на уроках математики. Достаточно вспомнить, что расстояние, пройденное пешеходом, поездом, автомашиной при постоянной скорости движения, - линейные функции времени движения. Приведу пример математической задачи.
Задача 1: Автомобиль, выехавший из пункта А в настоящее время находится от него в 10 км. На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t часов, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 60 км/ч?
Ответ будет выражаться линейной функцией вида S=60t+10.
Задача 2: Зависимость длины окружности от длины её радиуса.
Опытным путём на уроке математики было установлено, что длина окружности зависит от её радиуса. Эта зависимость выражается формулой C=2πR и является прямой пропорциональной зависимостью с угловым коэффициентом равным 2 π.
Задача 3: Зависимость между градусными мерами смежных углов.
На уроке геометрии мы познакомились со свойством смежных углов. Не трудно заметить, что зависимость их градусных мер является линейной зависимостью k = 180 – b, где k, b – смежные углы.
1.2. Линейные зависимости в физике
Задача1: Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена по формуле: v=331+0,6t, v – скорость в м/с, t – температура в градусах Цельсия.
Задача 2: Длина рельсов является линейной функцией температуры: l=l0(1+at) –линейное расширение твердых тел.
Задача 3: Зависимость давления жидкости на дно сосуда (P) от высоты столба жидкости (h) – линейная зависимость и задаётся формулой: P=gρh, где ρ – плотность жидкости, g≈10
1.3. Линейные зависимости в биологии, экологии и медицине
Задача 1: В биологии тоже встречаются линейные функции. Так, например, из энциклопедии я узнал, что волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Таким образом, имеет место формула: l=l0+0,4t, где l – длина в мм, l0 – первоначальная длина волос в мм, t – количество дней. Я построил график такой зависимости.
Задача 2: Зависимость численности сине-зелёных водорослей от концентрации общего фосфора в воде выражается следующей формулой: а=0,983р+50,6, где а – численность сине-зелёных водорослей, р – концентрация общего фосфора. Эта зависимость – линейная, и её можно использовать для прогнозирования качества воды. Показателем качества воды служит количество сине-зелёных водорослей. Чем их больше, тем хуже качество воды. На численность сине-зелёных водорослей влияет концентрация фосфорного удобрения, попадающего в водоёмы вместе с талой водой.
1.4. Линейные зависимости в литературе
Есть ли линейные функции в устном народном творчестве, например, в поговорках? Вероятно, да! Вот как, на мой взгляд, можно изобразить некоторые из них с помощью графиков линейных функций.
Чем дальше в лес, тем больше дров
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Много снега - много хлеба
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Дальше в спор - больше слов
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Больше почёт, больше хлопот.
(прямая пропорциональность, к – больше нуля)
Как аукнется – так и откликнется.
Тише едешь – дальше будешь
(прямая пропорциональность, к – меньше нуля)
Долго думал, да ничего не выдумал
(линейная функция, к=0)
Светит, но не греет
1.5. Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни.
Открытия, сделанные в первой части работы, подтолкнули меня к мысли, что линейные зависимости окружают нас и в повседневной жизни. Я отправился собирать необходимую информацию и проводить новые исследования. Эта работа оказалась не менее увлекательной и интересной. Она побудила меня к творческому процессу: мне захотелось самому найти линейные зависимости в нашей реальной жизни, вывести их задающие формулы, построить графики этих зависимостей.
«Как стоимость телеграммы зависит от количества слов?»
Я посетил отделение связи нашего села с целью увидеть линейную зависимость в профессии почтальон. Выполняя эту работу, я узнал, что эта профессия требует знание линейной функции. Мною были проведены следующие расчеты.
Простая телеграмма.
0,95 руб. - стоит одно слово;
12,8 руб. – телеграфный сбор;
Х – количество слов;
У – стоимость телеграммы.
Тогда мы составили формулу стоимости простой телеграммы у = 0,95х + 12,8.
Срочная телеграмма.
3,25 руб. – стоит одно слово;
12,8 руб. – телеграфный сбор;
Х – количество слов;
У – стоимость телеграммы;
У = 3,25х +12,8. По этой формуле рассчитывают стоимость срочной телеграммы. Данные функции является линейными.
«Расчет стоимости заказного письма».
35 руб. – стоимость 1 г.
21 руб., 33 руб., 18 руб. – стоимость конверта
Х – вес заказного письма
У – стоимость заказного письма У = 35х + 21 , У = 35х + 33, У = 35х + 18,
По данным формулам рассчитывается стоимость заказного письма. Графики данных функций расположены параллельно друг другу.
«Расчет оплаты за коммунальные услуги».
Расчет оплаты по квитанциям за свет и газ так же является линейной зависимостью.
Х – количество потребляемой энергии за месяц
2,04 – стоимость 1кВт
У – стоимость потребляемой энергии за месяц У = 2,04 Х
Х – количество потребляемого газа за месяц
5,086 руб. – цена 1 м3 газа
У – стоимость потребляемого газа за месяц У = 5,086 Х. Данные функции являются прямой пропорциональностью.
«Расчет полученного урожая фермерским хозяйством»
Мой папа работает фермером. Он выращивает разные культуры: пшеницу, овес, подсолнечник. Я заметил, что количество урожая, полученного моим отцом, имеет линейную зависимость. Я составил следующие формулы.
Х – площадь посаженной культуры
15 ц с 1га - урожайность пшеницы, 25 ц с 1га – урожайность подсолнечника, 10 ц с 1га – урожайность овса.
У – полученный урожай У = 15 Х У = 25 Х У = 10 Х
«Как заработная плата мамы зависит от надоя молока»
Моя мама домохозяйка. Наша семья имеет подсобное хозяйство в котором есть крупный рогатый скот – коровы. Мы реализуем молоко от наших коров в государство. Я заметил, что полученная прибыль от молока имеет линейную зависимость.
15 руб. – стоимость 1л. молока;
Х – количество литров;
У – заработная плата мамы; У = 15 Х
Каждый месяц мама надаивает в среднем 1000 л. молока. Я рассчитал, что ее зарплата в месяц составляет 15000руб.
«Зависимость калорийности молока от его жирности»
Чтобы ответить на вопрос «Как зависит калорийность молока от его жирности?» я отправился в магазин. После сбора информации я увидел, что с увеличением процента жира в молоке калорийность молока увеличивается.
| Массовая доля жира в продукте, (x) | Калорийность продукта, (y) |
| 2,5% | 53 ккал |
| 3,2% | 60 ккал |
| 4,5% | 71 ккал |
Тогда я предположил, что эта зависимость линейная и сделал подсчёты.
53 = 2,5 k + b b = 53 – 2,5 k b = 28
60 = 3,2 k + b 60 = 3,2 k + 53 – 2,5 k k = 10
Решив систему уравнений, нашёл k и b, составил формулу зависимости.
У = 10 Х + 28 Эта зависимость линейная.
IV. Заключение.
Проведенные мной исследования нельзя считать исчерпывающими. Остается много вопросов о линейности и нелинейности окружающих величин. Но, я считаю, что цель моей работы достигнута и выдвинутая мною гипотеза о том, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой линейными зависимостями нашла свое подтверждение. В ходе исследовательской работы я открыл для себя много нового и интересного. В будущем я хочу продолжить дело своих родителей. Полученные знания о линейной функции мне помогут грамотно строить свой бизнес, проводить правильные расчеты в предпринимательской деятельности. Как сказал А.Н. Крылов «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».
Министерство образования Пензенской области
Муниципальное общеобразовательное учреждение
основная общеобразовательная школа с. Сумы
Районная научно – практическая конференция «Старт в науку»
Секция математики
«Линейная функция в жизни человека»
Научно – исследовательская работа
Выполнил: Толстухо Николай Николаевич
ученик 7 класса МОУ ООШ с. Сумы
Научный руководитель: учитель
математики МОУ ООШ с. Сумы
Зайцева Вера Ивановна
2016г.
Содержание.
I. Введение.
II. Теоретические сведения.
Из истории возникновения функции.
Виды линейной функции.
III. Основная часть.
Линейные зависимости в математике.
1.2. Линейные зависимости в физике.
1.3. Линейные зависимости в биологии, экологии и медицине.
1.4. Линейные зависимости в литературе.
1.5. Поиск линейных зависимостей в повседневной жизни.
IV. Заключение.
V. Литература.
V. Литература.
Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей «Математика», том 11 – М.: Аванта+, 2000 г.
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике - М.: Просвещение, 1985 г.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике - М.: Наука, 1973 г.
Есипенко Г.Е. Математика в жизни – Новосибирское книжное издательство, 1970 г.
Муравин Г. К., «Исследовательские работы в школьном курсе алгебры», журнал «Математика в школе» №1, 1990 г.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры / книга для учащихся./ - М.: Просвещение, 1990 г.
Савин А. П.. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989 г.
Савин и др. Я познаю мир: математика: детская энциклопедия: математика – М.: АСТ, 1995 г.
© 2018, Зайцева Вера Ивановна 9792 119
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
