Об одном методе вычисления объемов многогранников

Об одном методе вычисления объемов многогранников

От простого – к сложному

Волков В.Е.

Задача 1. Дана правильная треугольная призма , все ребра которой равны 1. Точка К – середина ребра , точка L – середина ребра АВ, точка М лежит на ребре так, что (см. рис. 1).

Рис. 1

Найти отношение объемов призмы и пирамиды .

Решение.

Высота пирамиды, проведенная из вершины М, равна высоте треугольника основания призмы: Тогда объем пирамиды равен

а искомое отношение Ответ: 4.

Задача 2. В основании наклонной призмы лежит правильный треугольник АВС со стороной 1, а боковая грань перпендикулярна АВС. Точка К – середина ребра , точка L – середина ребра АВ, точка М лежит на ребре так, что (см. рис. 2). Высота призмы равна 1. Найти отношение объемов призмы и пирамиды .

Решение. Как и в задаче 1, Площадь боковой грани равна 1:

(см. рис. 3).

Высота пирамиды, проведенная из вершины М, равна высоте треугольника основания призмы: Тогда объем пирамиды равен

а искомое отношение Ответ: 4.

Рис. 2 Рис. 3

Задача 3. В основании произвольной наклонной призмы лежит правильный треугольник АВС со стороной 1, высота призмы равна 1. Точка К – середина ребра , точка L – середина ребра АВ, точка М лежит на ребре так, что (см. рис. 2). Найти отношение объемов призмы и пирамиды .

Решение. Достроим призму до параллелепипеда (см. рис. 4):

Рис. 4

Объем исходной призмы . Тогда объем параллелепипеда , где S – площадь грани , а Н – соответствующая высота параллелепипеда (расстояние между параллельными плоскостями Аналогично, как и в задаче 2, получим: ;

Тогда имеем:

, а искомое отношение равно . Ответ: 4.

Задача 4. Дана произвольная треугольная призма . Точка К – середина ребра , точка L – середина ребра АВ, точка М лежит на ребре так, что (см. рис. 2). Найти отношение объемов призмы и пирамиды .

Решение. Пусть объем заданной треугольной призмы равен V. Как и в задаче 3, достраиваем фигуру до параллелепипеда объемом 2V (см. рис. 4). Аналогично находим, что объем треугольной пирамиды равен , поэтому искомое отношение равно 4. Ответ: 4.

Задача 5. (для самостоятельного решения). В основании треугольной призмы лежит треугольник АВС со сторонами Вершина проектируется в центр вписанной в треугольник АВС окружности, боковое ребро призмы равно . Точка К – середина ребра , точка L – середина ребра АВ, точка М лежит на ребре так, что . Найти объем пирамиды Ответ: 105.