Объем певерхности цилиндра

Объем цилиндра

Вспомним:

Что называется цилиндром, осью цилиндра, высотой цилиндра, радиусом цилиндра?

Что является разверткой боковой поверхности цилиндра?

Что является основанием цилиндра?

Вопросы для повторения:

Что называется цилиндром, осью цилиндра, высотой цилиндра, радиусом цилиндра?

Что является разверткой боковой поверхности цилиндра?

Что является основанием цилиндра?

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами O(r), (r), называется цилиндром.

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называется образующими цилиндра,

Прямая – ось цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны.

Длина образующей называется высотой цилиндра, радиус основания – радиусом цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами O(r), (r), называется цилиндром.

Прямая – ось цилиндра.

Длина образующей называется высотой цилиндра.

радиус основания – радиусом цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Круги – основания цилиндра

Введем определения призмы, вписанной в цилиндр, и призмы, описанной около цилиндра.

Определение: Призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

Определение: Призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около основания цилиндра

Определение: Призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра

Определение: Призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около основания цилиндра

Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту

V=πr²h

Теорема: Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту

V=πr²h

Дано: цилиндр P, r — радиус и h – высота.

Доказать:

Доказательство:

Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высотой h правильную n-угольную призму . Пусть – цилиндр радиуса , для которого является описанной призмой. Обозначим через V иобъемы цилиндров Р и .

Так как объем призмы= * h,

– площадь основания призмы ,

а цилиндр Р содержит призму , которая в свою очередь, содержит цилиндр , значит

* hV. (эс энное умноженное на аш больше вэ энного но меньше вэ) (1)

Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус цилиндра стремится к радиусу r цилиндра P. Поэтому объем цилиндра стремится к объему цилиндра Р: (предел вэ энного при стремлении эн к бесконечности равен вэ)

Из неравенства * hV. следует, что и Но

(предел эс энного на аш при стремлении эн к бесконечности равен вэ, но предел эс энного равен пи на эр в квадрате)

Таким образом,

V=πr²h

Теорема доказана.

Дано: цилиндр, r– радиус, h– высота.

Доказать:

Доказательство:

Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высотой h правильную n-угольную призму .

Пусть – цилиндр, –радиус, описанная призма для.

V иобъемы цилиндров Р и .

Т.к. объем призмы= * h, – площадь основания призмы ,

а цилиндр Р содержится , а в содержится , то

* hV. (1)

при n→. →r.

Поэтому V_n→V, т.е.

Из неравенства (1) следует, что и но

Таким образом,

V=πr²h

Теорема доказана.

Решение задач

Задача 1

Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите:

а) V, если r=2h=3см;

б) h, r=h, V=8π

Решение задач

Задача 1

Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите:

а) V, если r=2h=3 см;

б) h, r=h, V=8π

Решение:

Согласно изученной теореме, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра ищем по формуле: V=πr²h

Подставим в формулу данные в задаче значения и получим

V=

Ответ:

б) Согласно изученной теореме, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра ищем по формуле: V=πr²h

Так как r=h, то формула будет иметь вид:

,

следовательно, извлекая из обеих частей формулы корень кубический и подставив в формулу данные в задаче значения объёма получим

h=

Ответ: высота равна

а)Дано: цилиндр

r=2h=3см

Найти: V

Решение: V=πr²h

V=

Ответ:

Дано: цилиндр

r=h, V=8π

Найти: h

Решение: V=πr²h

r=h

h=

Ответ: h=

Задача 2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Задача 2

Дано: цилиндры, –объем 1-го сосуда, –объем 2-го сосуда, V₁=V₂, h₁=45см, d₂=3d₁

Найти: h₂.

Решение:

Пусть – это объем первого сосуда.

Пусть – это объем второго сосуда.

При переливании из одного сосуда в другой объем остается прежним, значит

Объем цилиндра вычисляем по формуле

V=πr²h.

Следовательно, объем первого цилиндра = πr₁ ²∙45

Объем второго цилиндра равен = πr₂ ²h₂,

Таки образом, получим равенство:

πr₁ ²∙45 = πr₂ ²h₂

Так как диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого, то радиус второго сосуда тоже в три раза больше радиуса первого, значит r₂=3r₁

Тогда получим равенство

r₁ ²∙45 = (3r₁) ²h₂

r₁ ²∙45 = 9r₁ ²h₂

Откуда h₂=5

Ответ: h₂= 5см.

Решение:

V=πr²h

=πr₁ ²∙45

= πr₂ ²h₂

πr₁ ²∙45 = πr₂ ²h₂

d₂=3d₁r₂=3r₁

r₁ ²∙45 = (3r₁) ²h₂

r₁ ²∙45 = 9r₁ ²h₂

h₂=5

Ответ:5

Дано: конус, илиндр, R–радиус ц. и к., h–высота ц. и к., =42

Найти: V_ц

Решение:

Пусть R - радиус круга, являющегося основанием как для цилиндра, так и для конуса объёмом V_к, h - их общая высота.
=42
Объём конуса ищется по формуле: 

Объём цилиндра вычисляется по формуле: 

Следовательно, находим отношение объема цилиндра к объему конуса =3

 Получили , выражаем отсюда объем цилиндра, то есть умножаем обе части формулы на объем конуса находим

, следовательно объем цилиндра равен 3 объемам конуса и равен 126.

Ответ:V_ц =126

Решение:

Объём конуса: 

Объём цилиндра: 

=3

V_ц=3∙42=126

Ответ: 126