"Объём пирамиды"

Объём пирамиды .

Геометрия,

11 класс.

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск



Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO= H .

Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины.

Т.к.  ABC   A 1 B 1 C 1 , то по свойству площадей подобных фигур :

S

h

h  [0; H ]

H

A 1

Т.к. h – изменяющаяся величина , то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

C 1

O 1

B 1

A

C

O

B

Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты.

h  [0; H ]

h

H

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы.

V 1 = V 2

h

H

S осн.1 = S осн.2

S сеч.1 = S сеч.2

Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1 .

• Разобьем её на две части секущей плоскостью (A 1 BC).

• Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A 1 ABC и четырехугольная пирамида A 1 BCC 1 B 1 (обе пирамиды с вершиной A 1 ).

C 1

A 1

A 1

B 1

C

C

A

B

B

Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A 1 BCC 1 B 1 секущей плоскостью (A 1 C 1 B) на две треугольные пирамиды: A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 (обе пирамиды с вершиной A 1 ).

A 1

A 1

C 1

A 1

C 1

B 1

A

C

C

B

B

B

У треугольных пирамид A 1 ABC и BA 1 B 1 C 1 основания равны (как противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны.

У треугольных пирамид A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A 1 . Значит, их объемы также равны.

A 1

C 1

A 1

C 1

A 1

B 1

A

C

C

B

B

B

Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:

Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

A 1

C 1

A 1

A 1

C 1

B 1

A

C

C

B

B

B

Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h :

h

h

H

h  [0; H ]

0

Рассматривая произвольную n -угольную пирамиду SA 1 A 2 …A n как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды:

S

H

A 3

A 2

A 1

A n

Итак, для любой n -угольной пирамиды:

,где S осн. – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.