Обратная матрица

Тема занятия. Обратная матрица

План:

1. Определение обратной матрицы

2. Формула вычисления обратной матрицы

3. Алгоритм и пример вычисления обратной матрицы

4. Самостоятельная работа

Определение обратной матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ^A - квадратная матрица порядка n . Квадратная матрица A⁻¹ того же порядка называется обратной к матрице ^A , если выполнено условие:

A⁻¹⋅A=A⋅A⁻¹=Eгде Е - единичная матрица порядка n.

_.Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица A⁻¹ существует тогда и только тогда, когда матрица A – невырожденная. Если обратная матрица A⁻¹ существует, то она единственная.

Формула вычисления обратной матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу 3порядка

– формула обратной матрицы,

где – определитель матрицы А,

– алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А

Заметьте, что позиции в матрице А и позиции в обратной матрице изменены. Это значит, что все полученные алгебраические дополнения записываются по транспонированной матрице, то есть строки меняются на столбца, а столбцы на строки.

Алгоритм и пример вычисления обратной матрицы

1. Найти определитель исходной матрицы. Если = 0, то матрица А – вырожденная и обратная ей матрица не существует. Если , то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы А. То есть найти для каждого элемента матрицы А. Для матрицы 3 порядка их 9 штук

3. Вычислить обратную матрицу по формуле, то есть подставляем все полученные значения в формулу и производим умножение

Внимательно следите за подстановкой.

1. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Пример.

Найти обратную матрицу для матрицы 

Решение.

1. Находим определитель матрицы

=

Т.к. , то матрица В – невырожденная и обратная матрица существует

1. Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента

1. Подставляем все полученные значения в формулу

Получим

Произведем умножение

1. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя формулу

верно

Самостоятельная работа

1. Переписать лекцию в тетрадь вместе со всеми решенными примерами

2. Разобрать основные понятия, алгоритм нахождения обратной матрицы и решение примера.