"Обратные тригонометрические функции"

Обратные тригонометрические функции

Содержание:

• Обратные тригонометрические функции, свойства, графики
• Историческая справка
• Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции
• Решение уравнений
• Задания различного уровня сложности

Из истории тригонометрических функций

• Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения

сторон в прямоугольном треугольнике.

• Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Возможно он первый составил

таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.

• Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс.
• Первая половина XV в. Аль-Каши произвел уникальные расчеты, которые

были нужны для составления таблицы синусов с шагом 1’.

• I-II вв. индийские математики вводят понятие синуса.
• 1423-1461- австрийский математик и астроном Георг фон Пойербах

был одним из первых европейских ученых, которрый применил

понятие синуса.

• 1602-1675 французский математик, астроном и физик Жиль Роберваль

построил синусоиду.

• XV в. Региомонтан ввел термин тангенс.
• 1739 г. И. Бернулли ввел современные обозначения синуса и косинуса.
• 1770 г. Георг Симон Клюгель вводит новый термин тригонометрические

функции.

• 1772 г. Ж. Лагранж вводит первую из шести обратных тригонометрических

функций.

• Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных

тригонометрических функций.

Arcsin х

Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого sinx=m, -π/2≤X≤π/2,|m|≤1

Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.

График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов.

Свойства функции y = arcsin x

1)Область определения: отрезок [-1; 1];

2)Область изменения: отрезок [-π/2,π/2];

3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x;

4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая;

5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.

Arccos х

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого:

cos x = m

0 ≤ x ≤ π

| m | ≤1

Свойства функции y = arccos x .

Функция y = arccosx является строго убывающей

cos(arccosx) = x при

-1 ≤ x ≤ 1

arccos(cosy) = y при

0 ≤ y ≤ π

D(arccosx)= [ −1;1 ] ]

E(arccosx)= [ 0;π ] ]

Arctgх

Арктангенсом числа m

называется такой угол x,

для которого tgx=m,

-π/2

График функции y=arctgx

Получается из графика

Функции y=tgx, симметрией

Относительно прямой y=x.

y= arctgх

1)Область определения: R

2)Область значения: отрезок [-π/2,π/2];

3)Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = - arctg x;

4)Функция y = arctg x монотонно возрастающая;

5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.

y

x

y

Arcctgх

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого ctgx=a, 0

Arcctgх

• Функция y=arcctgx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
• Функция y=arcctgx является строго убывающей.
• ctg(arcctgx)=x при xєR
• arcctg(ctgy)=y при 0
• D(arcctgx)=(-∞;∞)
• E(arcctgx)=(0; π)

Преобразование выражений

Преобразование выражений

Уравнения, содержащие

обратные тригонометрические функции

Упражнения для самостоятельного решения

Задания различного уровня сложности

Задания различного уровня сложности

Задания различного уровня сложности

Таблицы значений обратных

тригонометрических функций

В следующей таблице приведены значения

функций  арксинуса  и  арккосинуса  для некоторых значений углов:

В следующей таблице приведены значения функций 

арктангенса  и  арккотангенса

для некоторых значений углов:

Литература:

• Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А. Алимов, Просвещение, 2009.-384 с.
• Тесты по математике для абитуриентов.-М.:Айрис-пресс,2003.-352 с.
• За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.