Обратные тригонометрические функции.

Инструкционная карта № 8

Тақырыбы/ Тема: «Обратные тригонометрические функции».

Мақсаты/ Цель:

1. Познакомить учащихся с понятием арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Уметь применять эти понятия при решении упражнений.

2. Создать условия для развития умения устанавливать единые общие признаки и свойства целого, составлять план деятельности (сравнивать, анализировать).

3. Создать атмосферу коллективного поиска, эмоциональной приподнятости, радости познания трудностей.

Теоретический материал: Теорема(о корне). Пусть функция ƒ возрастает (или убывает) на промежутке I, число α- любое из значений, принимаемых ƒ на этом промежутке. Тогда уравнение ƒ(x)=α имеет единственный корень в промежутке I.

1) Арксинус. Синус возрастает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа α, такого, что , в промежутке существует единственный корень b уравнения sin x=α. Это

число b называют арксинусом числа α и обозначают arcsin α.

y

y=sin x Арксинусом числа α называется такое число из

α отрезка , синус которого равен α.

0 b=arcsin α x

Пример: а) arcsin , т.к. sin

б) arcsin =, т.к. sin

2) Арккосинус. Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа α, такого, что, на отрезке существует единственный корень b уравнения cos x=α. Это число b называют арккосинусом числа α и обозначают arccos α.

y

y=cos x Арккосинусом числа α называется такое число из

b=arccos α отрезка, косинус которого равен α.

0 α x

Пример: а) arccos , т.к. cos

б) arccos, т.к. cos

3) Арктангенс. На интервале функция тангенс возрастает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа α на интервале существует единственный корень b уравнения tg x=α. Это число b называют арктангенсом числа α и обозначают arctg α.

Арктангенсом числа α называется такое число из

y интервала, тангенс которого равен α.

Пример: а) arctg, т.к. tg

α б) arctg, т.к. tg

b=arctg α x

y=tg x

4) Арккотангенс. Функция котангенс на интервале убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа α в интервале существует единственный корень b уравнения ctg x=α. Это число b называют арккотангенсом числа α и обозначают arcctg α.

y

y=ctg x

Арккотангенсом числа α называется такое число из интервала , котангенс которого равен α.

1. b=arcctg α

x

α

Пример: а) arcctg , т.к. ctg

б) arcctg , т.к. ctg

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

1. Почему функция, обратная функции у = sin x, рассматривается только на отрезке ?

2. Какие условия должны выполняться, чтобы была функция, обратная функции у = ctg x?

3. Напишите область определения и область значения каждой из обратных тригонометрических функций.