Ոչ ստանդարտ խնդիրներ

Ոչ ստանդարտ խնդիրներ

Մաթեմատիկան գիտություն է տրամաբանական մտածողության զարգացման, ինքնուրույն քայլեր մշակելու և կատարելու, խնդիրներ լուծելու, եզրահանգումեր անելու կարողությունների ձևավորման մասին: Տարրական դասարանների մաթեմատիկայի դասընթացում տեղ գտած ոչ ստանդարտ խնդիրները զարգացնում են սովորողների մտածողությունն ու վերլուծություններ կատարելու կարողությունները, որն էլ հիմք է հանդիսանում արագ և ճիշտ կողմնորոշվելու համար:

Խնդիրների լուծումը մաթեմատիկայի ուսուցման հատուկ ուղղություն է: Աշակերտները հաճախ խնդիրն ընկալում են տրված թվերի միջոցով և ոչ թե տրամաբանական հաջորդական դատողություններ կատարելով: Այդ է պատճառը, որ կրտսեր դպրոցականների զգալի մասը խնդիրներ լուծելիս թույլ է տալիս սխալներ:

Մաթեմատիկայում կան ոչ միայն այդ գիտությանը բնորոշ եզրույթներ, այլև այնպիսինները, որոնք միջառարկայական նշանակություն ունեն: Դրանցից են, օրինակ, «յուրաքանչյուր», «ցանկացած», «որոշ», «առնվազն մեկը», «միայն մեկը», «ընդամենը» և այլն: Այս բառերը խոսքը դարձնում են տարողունակ, ճշգրիտ, սեղմ: Մաթեմատիկայի դասընթացում բավականին մեծ հնարավորություններ կան վերը նշված բառերը խոսքի մեջ օգտագործելու կարողությունները զարգացնելու համար: Բնականաբար կիրառելուց առաջ պետք է բացատրել յուրաքանչյուր բառի իմաստը:

Խնդրի լուծման ամենակարևոր փուլը առաջին փուլն է` խնդրի ընկալումը (տեքստի վերլուծություն): Առաջին քայլով պետք է հասկանալ խնդիրը: Խնդիրի հասկացությանը հասնելու համար օգտակար է ժամանակի վաղեմության ժամանակակից մեթոդներում կուտակված մեթոդները օգտագործել:

Երկրորդ փուլը լուծում գտնելն է: Այս փուլը պահանջում է պատճառաբանություն, բայց եթե դրանք իրականացվում են բանավոր, ինչպես շատ դեպքերում, շատ երեխաներ, հատկապես «տեսողականները» (նրանցից շատերը տարրական դպրոցում) չեն տիրապետում խնդրի լուծման պլանի որոնման ունակությանը: Նման փաստարկների գրաֆիկական ամրագրման տեխնիկա է պետք: Նման տեխնիկան է` գրաֆիկը, սխեմն ու տրամաբանության աղյուսակը:

Խնդրի լուծման երրորդ փուլը պլանի իրականացումն է`ամենակարևորը:

Չորրորդ փուլը ստուգումն է:

Ցանկացած խնդիր կարող է լուծվել տարբեր մեթոդներով և մի քանի ձևերով: Այս փուլերի մտածված հաջորդականությունն էլ կոչվում է ալգորիթմ: Ալգորիթմը կիրառվում է  հաշվարկներում,  տվյալների մշակման և մտահանգումների ավտոմատացման ժամանակ։ Ավելի ճշգրիտ, ալգորիթմը ֆունկցիայի հաշվարկման որոշակի լավ սահմանված արդյունավետ մեթոդն է:

Խնդիրների լուծման ալգորիթմ հետևյալն է` (պարզ և կոմպոզիցիաներ)

1. Կարդացեք խնդիրը:

2. Դարձեք մասնակից առաջադրանքում տեղի ունեցող իրադարձություններին (պատկերացրեք, թե ինչ է կատարվում այդ գործում):

3. Որոշեք, թե ինչ չափս է նշված խնդրում: Դրա համար կօգնեն թվերի կողքին գտնվող չափումները` կգ, գ, մգ - կշիռ, մմ, սմ, մ - երկարություն, լայնություն, պարագիծ և այլն:

4. Կատարել դիագրամ (նկարչություն) առաջադրանքի համար, այսինքն, ներկայացրեք սխեմաների օգնությամբ քանակությունները:

5. Պարզեք, թե ինչն է անհայտ:

6. Հիշեք արժեքը գտնելու կանոնը, որը դուք չգիտեք:

Կանոններ.

Եթե ​​ամբողջը բաղկացած է տարբեր մասերից, ապա մենք կատարում ենք ավելացում և հանում:

- Տարբեր մասերից բաղկացած ամբողջ թիվ գտնել, անհրաժեշտ է միավորել հայտնի մասերը. 

- Մասնակցելու համար մենք պետք է հանենք հայտնի մասերը` ամբողջից 

- Ավելի մեծ արժեք գտնել, մենք պետք է ավելացնենք տարբերությունը ավելի փոքր արժեքով. 

- Ավելի փոքր արժեք գտնել, մենք պետք է ավելի մեծ արժեքից հանենք տարբերությունը. 

- Տարբերությունը գտնելու համար հարկավոր է փոքրից ավելի փոքր լինել: 

Եթե ​​ամբողջը բաղկացած է հավասար մասերից, ապա մենք իրականացնում ենք բազմապատկման և հափշտակման գործողությունները:

- Հավասար մասերից բաղկացած ամբողջ թիվ գտնել, մասը պետք է բազմապատկվի մասերի քանակով. 

- Մասնակցելու համար պետք է բաժանել ամբողջը մի քանի մասի,

- Որոշ հատվածների համար անհրաժեշտ է բաժանել ամբողջը` 

- Ավելի մեծ արժեք գտնել, բազմապատկել բազմազանությամբ (այսինքն` անգամ): 

- Փոքր արժեք գտնել, անհրաժեշտ է մեծ արժեքով բաժանել բազմազանության մեջ. 

- Բազմազանությունը գտնելու համար հարկավոր է ավելի փոքրը բաժանել ավելի փոքրի: 

1. Կանոնակարգը հիշեցնելով, գրեք ցանկալի գործողությունը:

2. Կատարել հաշվարկներ, ձեռք բերված արժեքով, արձանագրել միջոցը, բացատրել, որը ձեզ հայտնաբերվել է:

3. Գրեք պատասխանը:

Զարգացնող ուսուցման համատեքստում իր տեղը ունի ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծումը:

Ոչ ստանդարտ խնդիրները հաճախ մեթոդիկայում խառնում են բարդ խնդիրների հետ: Բարձր բարդության խնդիրները պարունակում են մի պայման, որը օգնում է սովորողին բացահայտել մաթեմատիկական հնարները: Ուսուցիչը կարող է վերահսկել նախատեսված ծրագրով բարձր բարդության խնդիրների լուծումը և մի քանի նմանատիպ վարժություններով ամրապնդել այն: Տարրական դասարաններում ոչ ստանդարտ խնդիրները երեխաների համար բարդ են համարվում , քանի որ նրանք չգիտեն դրանց լուծման ընթացքը, իսկ բարձր դասարաններում այն դժվարություն էլ չի պարունակում, մատչելի է , որովհետև հասկանում են լուծման ընթացքը: Եթե աշակերտները խնդիրը լուծելու տարբերակը չգիտեն և չեն հիմնվում տրամաբանական հիմքերով թեմայի վրա, ապա այդ դեպքում խնդիրը տվյալ ուսուցման ընթացքում կարող է կոչվել ոչ ստանդարտ: Տարրական դասարաններում ժամանակակից ուսուցումը ծանոթացնում է աշակերտներին ոչ ստանդարտ խնդիրներին, ինչպես մաթեմատիկայի դասաժամին, այնպես էլ այլ դասաժամերին` տեխնոլոգիայի, մայրենիի, ֆիզկուլտուրայի, ստեղծելով միջառարկայական կապ: Դա պայմանավորված է աճող սերնդի պահանջներով, քանի որ տեղի է ունեցել աքսլերացիա, բարձրացել է երեխաների մտավոր և ֆիզիկական զարգացվածությունը: Ըստ Յ.Մ. Կոլյագինի` ոչ ստանդարտ հասկանում ենք այն խնդիրները, որի մատուցման ժամանակ սովորողը նախորոք չգիտի լուծման ձևը, որի վրա էլ հիմնվում է ուսուցանվող նյութի լուծումը:

Ոչ ստանդարտ խնդիրները սովորեցնում են օգտագործել ոչ միայն պատրաստի ալգորիթմները, այլ նաև ինքնուրույն գտնել խնդիրների լուծման նոր տարբերակներ, այսինքն նպաստում է գտնել կարողություններ` ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման համար, նպաստում է աշակերտի ըմբռնման զրգացմանը, տրամաբանության վրա, խոչընդոտում է նմանատիպ խնդիրների լուծմանը և ոչնչացնում են աշակերտների գիտելիքների և հմտությունների մեջ եղած սխալ ենթադրությունները: Այս հասկացությունները ենթադրում են ոչ այդքան ալգորիթմական ըմբռնման ընդունումը, ինչքան գտնեն գիտելիքների նոր կապեր և կարողանան օգտագործել այլ խնդիրների լուծման ժամանակ: Այսպիսով ստեղծվում է բարենպաստ պայմաններ աշակերտների կայուն և ամուր գիտելիքների համար: Ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման ընթացքում ուսուցիչը պետք տա պատրաստի ալգորիթմներ, հիմքը պետք է հասանելի լինի տվյալ հասակի աշակերտի համար:

Ոչ ստանդարտ խնդիրները աշակերտի զարգացման գործընթացում խաղում են մեծ դեր: Նրանք նպաստում են, որ երեխաները նյութը ավելի ամուր և գիտակցված ըմբռնեն: Տվյալ խնդիրների վերլուծման կարողությունը, տվյալների համադրումը, թաքնված տվյալների բացահայտումը և խնդրի լուծման տեղեկության համադրումը դառնում են կարևոր պայմաններ ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման համար: Ոչ ստանդարտ խնդիրները օգնում են ակտիվացնել աշակերտի մտավոր գործունեությունը: Ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման ընթացքում ամրանում է աշակերտների մտավոր պատկերացումը: Ինչպես մեր երկրում, այնպես էլ արտերկրում, շատ գիտնականներ զբաղվում են ուսուցման ոչ ստանդարտ խնդիրների օգտագործման խնդրով: Այդ գիտնականներից է Դ.Պոյան: Իր «Ինչպես լուծել խնդիրը» գրքում տալիս է ցանկացած հոգեբանամանկավարժական վերլուծում, այդ թվում նաև ոչ ստանդարտ [10]:Նրա գրքի վերջում տրված են աղյուսակներ, որոնց օգնությամբ ուսուցիչը կարող է օգնել այն աշակերտներին, ովքեր դժվարանում են:

Ա.Մ.Ֆրիդմանի և Ե.Ն.Տուրեցկու աշխատանքները ի տարբերություն Պոյայի գրքի, կենտրոնացված են աշակերտների վրա:

Ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման հատուկ հասկացություն չկա: Ոչ ստանդարտ խնդիրները այնպիսի խնդիրներ են, որոնց համար դպրոցական ծրագրում նախատեսված չէ հատուկ կանոններ և ալգորիթմական լուծումներ: Ոչ ստանդարտ խնդիրները այն խնդիրներն են, որոնց լուծման հիմքը բավականին հետաքրքիր է և աշակերտից թաքնված:

Ոչ ստանդարտ խնդիրները լինում են տարբեր տեսակի: Որոշները արտաքին տեսքից սովորական են, իսկ մյուսները` դիմակավորված, այսինքն չեն լուծվում սահմանված կանոններով, իսկ երրերդի լուծման համար շատ կարևոր է տրամաբանական մտածողությունը:

Ոչ ստանդարտ խնդիրներ ասելով` ի նկատի ունենք հետաքրքրաշարժ, տրամաբանական, որոնողական և այլ խնդիրներ, որոնց լուծման համար մաթեմատիկայի տարրական դասընթացում ընդհանուր կանոններ չեն մշակվել, դրանց լուծման եղանակները երեխաներին հայտնի չեն:

Մաթեմատիկայի ուսուցման ընթացքում ոչ ստանդարտ խնդիրները կատարում են բազմազան նշանակություններ: Նա ունի կրթական նշանակություն, ծանոթացնում է աշակերտին նոր իրավիճակների հետ` խնդրում նկարագրված: Այդ ընթացքում աշակերտը ձեռք է բերում մաթեմատիկական գիտելիքներ, բարձրացնում է իր մաթեմատիկական կրթական աստիճանը: Ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման ընթացքում սովորում են օգտագործել այդ գիտելիքները գործնականում:

Ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման հաջողությունը նպաստում է աշակերտների հոգեբանական ասպեկտի գործունեությանը: Նա ներառում է իր մեջ խնդրի դիտարկում, գիտակցվող և չգիտակցվող հարաբերությունների տարբերակում խնդրի լուծման ընթացքում:

Կրտսեր դպրոցականների ոչ ստանդարտ խնդիրների ուսուցումը կարելի է բաժանել երկու փուլի: 1-ին փուլում անցկացվում է հատուկ աշխատանք եզրակացության և ընդհանուր մոտեցումների մասին գաղափար կազմելու ուղղությամբ: Դրանում կարևոր է, որ աշակերտները յուրացնեն մաթեմատիկական խնդիրը (կարդան խնդիրը, համակարգեն՝ ինչն է հայտնի, ինչը պետք է իմանալ և այլն), ծանոթանան աշխատանքի հնարներին, խնդրի լուծման մոտեցումների տեսակներին, լուծման որոնմանը, լուծման ստուգմանը և այլն: 2-րդ փուլում սովորողները հստակ վարժությունների ինքնուրույն լուծելու ընթացքում օգտագործում են նախապես ձևավորված ընդհանուր հնարները, իրենց փորձառության հիման վրա որոնում են նոր և ինքնատիպ մոտեցումներ:

Կախված ոչ ստանդարտ խնդիրների բնութագրից, մենք կիրառում ենք մեկ կամ երկու եղանակ, կամ երկու եղանակներն էլ միասին: Մաթեմատիկայում չկա որևիցէ ընդհանուր կիրառման կանոն, այդ երկու եղանակներից, ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման համար: Սակայն գոյություն ունեն մի շարք առաջարկներ, որով պետք է առաջնորդվել ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման ժամանակ: Այդ առաջարկությունները հիմնականում կոչվում են հայտնագործված կանոններ կամ հայտնագործություններ: Ի տարբերություն մաթեմատիկական կանոնների, հայտնագործությունները կրում են առաջարկվող, բնութագրվող խորհուրդներ, որոնցով ուղղորդվելով կարող է բերել կամ չբերել խնդրի լուծմանը:

Դպրոցում` մաթեմատիկայի ուսուցման ընթացքում, ոչ ստանդարտ խնդիրների դերը շատ կարևոր է` նրանք զարգացնում են տրամաբանական մտածողությունը, սովորեցնում են երեխաներին ակտիվորեն կիրառել ողջ մաթեմատիկական գիտելիքները, հավաքագրել մաթեմատիկական մտքերը և գիտելիքները, ուսուցիչներին հնարավորություն են տալիս խորացնել և լայնածավալ գիտելիքներ տալ աշակերտներին:

Խնդիրներ՝ փորձեք լուծել բանավոր և հնարավորինս արագ..

• Վառվում է 10 մոմ: Դրանցից երեքը հանգցրին: Քանի՞սը մնաց:

• Վանդակում կա երեք ճագար: Ինչպե՞ս ճագարները բաժանել երեք ընկերների միջև այնպես, որ նրանցից յուրաքանչյուրն ստանա մեկ ճագար, և մեկ ճագար էլ մնա վանդակում:

• Իմ ձախ կողմի գրպանում այնքան դրամ կա, որքան՝ աջ գրպանում: Ես ձախ գրպանից 100 դրամանոց մետաղադրամը տեղափոխեցի աջ գրպանս: Դրանից հետո աջ գրպանում քանի՞ դրամ ավելի եղավ, քան ձախ գրպանում:

• Ի՞նչ նշան պետք է դնել 7-ի և 8-ի միջև, որպեսզի արդյունքում ստացված թիվը մեծ լինի 7-ից և փոքր լինի 8-ից:

• Արմենը 5 տարեկան է, իսկ հայրիկը նրանից մեծ է 23 տարով: 5 տարի հետո Արմենից քանի՞ տարով մեծ կլինի նրա հայրիկը:

• Տղան ունի այնքան քույրեր, որքան եղբայրներ, իսկ նրա քրոջ քույրերը երկու անգամ քիչ են եղբայրներից: Քանի՞ եղբայր և քանի՞ քույր են այդ ընտանիքում:

Որոշ խնդիրների դեպքում առավել նպատակահարմար է տվյալները պատկերել նկարի կամ գծագրի ձևով: Սակայն տվյալ դեպքում պետք է առանձնացվեն գրաֆիկական պատկերման որոշակի առանձնահատկություններ: Առաջին հերթին` պատասխանը, իսկ որոշ դեպքերում անհայտների որոշ մասը կարող են դուրս բերվել գրաֆիկից` առանց մաթեմատիկական գործողություններ կատարելու: Երկրորդ, որոշ դեպքերում հնարավոր է կատարել լրացուցիչ կառուցումներ, այսինքն` լուծման գործընթացում կարող են կատարվել նոր գծագրեր` հաշվի առնելով ստացված տվյալները: Գծագիրը կարող է օգտագործվել ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման ժամանակ:

ՈՒսուցիչը աշակերտների առջև դնում է հետևյալ պայմանը` սովորել լուծել մաթեմատիկական խնդիրներ` գրաֆիկական պատկերների օգնությամբ:

Խնդիր. Սանդուղքը բաղկացած է 9 աստիճաններից: Ո՞ր աստիճանին կանգնել, որպեսզի լինի կենտրոնականը:

Այս խնդրի լուծումը երկրորդ դասարանում հասկանալի դարձնելու համար կարելի է գծել գծագիր.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Որից հետո հանձնարարել 9 բաժանել 2-ի, երեխաներ 2-ի բաժանման աղյուսակից գիտեն, որ 2-ի չի բաժանվում, ապա դա ստուգելուց հետո հանձնարարում ենք 9-1, այս դեպքում կստանանք 8 և 8-ը կբաժանենք 2-ի: Ստացանք 4: Երեխաներրը գծված սանդղակի աջ և ձախ մասերից կհաշվեն չորսական և կգտնեն, որ մեջտեղի 5-ը հենց մեջտեղն է:

Խնդիր. Անին և Աշոտը հանդիպեցին էլեկտրագնացքի վագոնում: Անին միշտ նստում

է հաշված գնացքի սկզբից 5-րդ վագոնում,իսկԱշոտը`5-րդ վագոնում`վերջից հաշված

Քանի՞ վագոն ունի գնացքը:

Այս խնդիրը նպատակահարմար է հարցերի և գծագրի միջոցով: Տալով հուշիչ հարցերը, երեխաները պատասխանում են և միաժամանակ կառուցում գծագիրը.

1. Ո՞ ր վագոնուն է նստում Անին:

2. Անին և Աշոտը հանդիպեցին նույն վագոնում:

3. Եթե Անին և Աշոտը հանդիպել են 5 վագոնում, ապա վագոնների քանակը գտնելու համար կարող ենք 5+5-1

5+5-1 թույլ աշակերտը կարող է և չհասկանալ, թե` ինչու՞:

Այս վարժությունը լուծելով թույլ դասարանում, հասկացանք, որ նրանք չհասկացան 5+5-1 արտահայտության իմաստը: Այն ընկալելի դարձնելու համար կբացատրենք` եթե 5-ից հետո հաշվենք 5, ապա սխալ պատասխան կստանանք: Ինչու՞: Եթե 5-ից հաշվենք 5 և ստանանք 10-ը, ապա ետ հաշվարկի ժամանակ Աշոտը կնստի համար 6 վագոնում և չի հանդիպի Անիին, այդ իսկ պատճառով 5+5 ից կհանենք 1, որ Անին և Աշոտը հանդիպեն` համապատասխան մեր պայմանի:

Անի

Աշոտ

9

4

6

8

7

5

3

2

1

Օլիմպիադայի համար նախատեսված խնդիրների լուծումը լավ նախապատրաստություն է ապագա գիտական գործունեության համար: Մենք ընտրել ենք ոչ ստանդարտ խնդիրներ, որոնք ինքնին հետաքրքիր են: Դրանց լուծման ընթացքում օգտագործվում են տարբեր գաղափարներ, մեթոդներ: Բանն այն է, որ սովորական դպրոցը ծանրաբեռնված է հաճախ ոչ հետաքրքիր նյութով, որ զուտ ցուցադրում են մաթեմատիկական տեխնիկայի որոշ տարրեր: Հազվագյուտ երեխաներ կարող են տեսնել մաթեմատիկայի գեղեցկությունը այդպիսի ուսուցման դեպքում: Այն կարող է նույնիսկ առաջացնել տհաճություն մաթեմատիկայի հանդեպ: