Олимпиадные задачи, составленные совместно с учащимися для конкурса "Математический аукцион"

Министерство образования и молодежной политики Свердловской области

Департамент образования Администрации города Екатеринбурга

Муниципальное образование «город Екатеринбург»

Ленинский район

Муниципальное Автономное Общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 19

Олимпиадные задачи, составленные совместно с учащимися на конкурс «Математический аукцион»

Выполнила:

Луценко Наталия Николаевна

учитель математики,

первая квалификационная категория

2020 г.

6 класс

1. Три поросёнка на Дне рождения у волка лакомились тортами. Ели они по очереди и за 20 минут съели 2 торта. Известно, что каждый ел столько времени, сколько понадобилось бы двум другим на съедение одного такого торта, если бы они ели вдвоём. Каждый поросёнок ест с собственной постоянной скоростью. За сколько минут три поросёнка вместе съели бы один такой торт?

Решение:

Допустим, что пока один из поросят ест, другие не скучают, а тоже едят торт и съедят за то же время 1 торт. Значит, за 20 минут поросята съедят 5 таких тортов и при этом каждый поросёнок ест всё это время без перерыва. Если они все вместе за 20 минут съедают 5 таких тортов, то 1 торт они съедают за (20:5=4) 4 минуты.

Ответ: Три поросёнка съедят 1 торт за 4 минуты.

1. Найти все тройки простых чисел x, y,z для которых выполняется равенство:13x - yz=1365.

Решение:

yz = 13x-1365; yz = 13(x-105). Так как y и z простые числа, то одно из них равно – 13, а другое – (x-105). Пусть y=13, z= x-105. Из последнего равенства следует, что одно из чисел z и x- чётное. Чётным является одно простое число – 2 . Тогда z=2, x=107. А если z=13, то y=x-105 и y=2; x=107.

Ответ: x=107, y=13, z=2 или x=107, y=2, z=13.

1. Существуют ли целые числа x, y, z, для которых выполняется равенство: (5x²-y²)·(5y²-z²)·(5z²-x²)=2017? Ответ обоснуйте.

Решение:

Сумма чисел (5x²-y²)+(5y²-z²)+(5z²-x²)=4(x²+y²+ z²) – чётна, значит хотя бы одно из этих чисел чётно. А если хотя бы один множитель чётное число, то произведение должно быть чётным и оно не может равняться числу 2017.

Ответ: Таких целых чисел не существует.

7 класс

1. В туристический поход пошли 30 учеников СОШ №16 и в целое число раз меньше учащихся СОШ №19. Они разместились в нескольких палатках, в каждой столько человек сколько палаток. Сколько учащихся 19 школы приняло участие в походе?

Решение: Число учащихся СОШ №19 является делителем числа 30. Возможные числа: 2, 3, 5, 6,10, 15. Но общее количество учеников должно быть точным квадратом, так как число палаток равно числу человек в каждой из них. Число 30 только с одним из своих делителей даёт точный квадрат: 30+6=36. В походе приняло участие 6 учащихся СОШ №19.

1. Денис купил тетрадь в 96 листов. И пронумеровал её страницы числами от 1 до 192. В течение месяца он вырвал из тетради 17 листов (не обязательно по порядку). Листы он не выбрасывал и в конце месяца сложил все числа (номера страниц) с этих листов. После этого сообщил, что у него получилось 1784. Лера заметила, что Денис где- то ошибся. Кто из них прав и почему?

Решение: Права Лера, так как на страницах одного листа одно число чётное, другое нечётное. Сумма любого числа чётных чисел, число чётное. А если сложить нечётное количество нечётных чисел получится нечётное число. 17 чётных + 17 нечётных чисел в сумме дадут нечётное число. А у Дениса получилось чётное число. Значит, он ошибся.

1. Длину пакета для молока увеличили на 20%, ширину уменьшили на 25%. Что надо сделать с высотой, чтобы объём пакета не изменился?

Решение:V=a*b*c, a-длина, b-ширина, с- высота. Новая длина составляет 120% от старой-1,2*a. 0,75*b-новая ширина. Пусть y*c- новая высота. V=1,2*a*0,75*b*y*c=0,9*y*V. Чтобы объём не изменился, нужно что бы 0,9*y=1. Значит y=10/9. Высоту нужно увеличить на 1/9, т. е. на 100/9%=11 1/9%.

1. Существует ли квадрат, площадь которого выражается числом: 444…4(2015 цифр), а длина стороны - натуральное число?

Решение: 444…4=4*1111…1(2015 цифр). Так как 111…1(2015 цифр) не делится на 4, то число 444…4делится на 4 и не делится на 16. Следовательно, данное число не может быть квадратом натурального числа. Квадрата с такими данными не существует.

8 класс

1. Малыш и Карлсон делили одно и то же натуральное число с остатком. Малыш делил его на 8, а Карлсон на 9. Частное, которое получилось у Малыша и остаток, полученный Карлсоном, в сумме дают 12. Какой остаток получился у Малыша?

Решение: Пусть a число, которое делили Малыш и Карлсон. По условию получаем: a=8b+p, a=9c+q, b+q=12, значит q=12-b, 8b+p=9c+q, p=9c+q-8b=9c+12-b-8b=9c-9b+12. P-остаток при делении на 8→ 0≤p˂8, 0≤9*(c-b) +12˂8, -12≤9*(c-b) ˂ -4, →c-b=-1, p=9*(-1)+12=3. Ответ: остаток равен 3.

1. Сравнить числа A=(19²⁰¹⁵+1)/(19²⁰¹⁶+1) и B=(19²⁰¹⁶+1)/(19²⁰¹⁷+1).

Решение:

Пусть 19 ²⁰¹⁵=n, тогда A=(n+1)/(19n+1), B=(19n+1)/(19 ² n+1),

A/B = (n+1)*( 19²n+1)/(19n+1)² = (19²n² +n+ 19² n+1)/(19 n+1)² = (19²n²+(1+19² )n+1)/(19 ² n ²+2*19n+1)1. Т. к.(1+19 ²) (2*19). Значит AB.

9-10 класс

1. Назовём год «счастливым», если его номер является квадратом натурального числа. Сколько «счастливых» лет будет в третьем тысячелетии?

Решение:
44²=1936. Значит первый «счастливый» год в третьем тысячелетии 2025=45². 54²=2916. Очевидно, что это последний «счастливый» год в третьем тысячелетии. Всего натуральных чисел от 45 до 54 - десять (54-44=10). Их квадраты и будут номерами «счастливых» лет в третьем тысячелетии.
Ответ: 10 лет.

1. Бизнесмен договорился с врачом о том, что за каждый день, когда он будет здоров, он будет платить врачу 500 р. А за те дни, когда он болен, врач будет ему платить по 200 р. Заплатив бизнесмену 1300 р., врач расторг договор. Какое наименьшее количество дней мог длиться

Решение:
Пусть x дней - бизнесмен не болел, y дней – болел. Тогда получим 200y-500х=1300; 2y-5x=13; 5x=2y-13, x=(2y-13)/5. Так как x и y натуральные числа и чем меньше y, тем меньше x и x+y, то x=1, y=9, x+y=10. Значит наименьшее количество дней, которое мог длиться договор равно 10.
Ответ: 10 дней.

1. Можно ли 118 последовательных натуральных чисел 1, 2, 3, 4…118 разбить на 3 группы так, чтобы сумма чисел в первой группе была в 2 раза больше суммы чисел во второй группе, а во второй в 4 раза больше суммы чисел в третьей группе? Ответ объяснить.
   Решение:

Сумма всех 118 чисел равна 1+2+3+…+118=119*59. Пусть сумма чисел в третьей группе равна s, тогда во второй 4s, а в первой 8s. Значит, сумма s+4s+8s=13s должна делиться на 13, а произведение 119*59 на 13 не делится.
Ответ: Нельзя, т. к. при этих условиях сумма всех чисел должна делиться на 13, а это не так.

1. Найдите наименьшее значение многочлена x⁶ + 2x³ – 2.

Решение:

Заметим, что x⁶ + 2x³ – 2= x⁶ + 2x³ +1 – 3 = (x³ + 1)² – 3. Квадрат числа всегда число неотрицательное и наименьшее его значение 0, а многочлен третьей степени всегда имеет корни. Значит, всегда найдётся значение x, при котором значение многочлена равно -3. Это значение многочлена и будет наименьшим.
 Ответ: -3.

1. Баскетбольная команда «Академики» сыграла 34 игры на турнире, набрав 31 очко по новой системе подсчёта очков (2 очка-за выигрыш, 1 очко-за ничью, 0-за поражение). Сколько очков набрала бы команда по старой системе подсчёта (3 очка-за победу; 1очко-за ничью; - 1очко - за проигрыш)?

Решение:
1 способ.
По системе (2; 1; 0) команда набрала 31 очко. Если бы система была (4; 2; 0), команда набрала бы вдвое больше (62 очка). А по системе (3;1; -1) она теряет по одному очку в каждой игре по сравнению с системой (4; 2; 0), значит, наберёт 62-34=28 очков.
2 способ.
Пусть x игр команда выиграла, y игр сыграла вничью, z игр проиграла. Тогда x+ y + z=34, 2x + y = 31, а найти нужно 3x + y – z. Умножим обе части второго уравнения на 2 и вычтем из него первое уравнение. Получим: 3x +y – z=28.
Ответ: 28 очков.

1. Маша сказала: «Моей младшей сестре больше 11 лет, а сумма квадратов наших возрастов в 26 раз больше моего возраста». Сколько лет Маше?

Решение:

Пусть младшей сестре x лет, а Маше y лет (yx11).

По условию задачи x²+y²=26y; x²+y²-26y+169=169;
x²+(y-13)²=169; 169=144+25. Других подходящих по условию задачи вариантов нет. Значит x=12; y-13=5; у=18.
Ответ: Маше 18 лет.

7