Олимпиадные задания по математике

Олимпиадные задания по математике

для младших школьников

Задача №1 (1 балл)
Два огурца весят столько, сколько 4 помидора, а один помидор, как три репы. Сколько помидоров должно быть на левой чаше, чтобы весы были в равновесии, если на правой чаше 1 огурец и 3 репы? 3 помидора

Задача №2 (1 балл)
На одной пасеке 56 ульев на другой 48. С первой пасеки собрали на 80 килограмм больше меда, чем со второй. Сколько меда собрали с каждой пасеки, если в каждом улике было одинаковое количество меда?

560 кг и 480 кг

Задача №3 (1 балл)
Двое рабочих заработали вместе 900 рублей. Один работал 2 недели, а другой 4 недели. Сколько денег заработал каждый? 300 и 600 рублей

Задача №4 (1 балл)
Вася и Петя ловили рыбу. У Васи хорошо клевало, у Пети хуже. Сколько рыбы они вместе поймали, если Петя поймал на 18 меньше, чем они поймали вместе и у одного из них на 14 меньше, чем у другого. 22 рыбы

Задача № 5 (1 балл)
Вот эти два индюка вместе весят 20 фунтов, — сказал мясник. — Однако фунт мяса индюшонка стоит на два цента дороже, чем фунт мяса крупного индюка. Миссис Смит купила индюшонка за 82 цента, а миссис Браун заплатила 2 доллара 96 центов за большого индюка. Сколько весил каждый индюк? Большой индюк весил 16 фунтов, а индюшонок – 4 фунта

Задача № 6 (1 балл)
Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидала зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков? В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем и собакой.

Eсли заяц сделает 6 скачков, то и собака сделает 6 скачков, но собака за 5 скачков из 6 пробежит то же расстояние, что заяц за 6 скачков. Следовательно, за 6 скачков собака приблизится

Задача № 7 (1 балл)

Нужно распилить 5 бревен на 6 частей каждое. Сколько времени на это потребуется, если на один распил уходит 4 минуты? 100 мин

Задача № 8 (1 балл)

Какое из чисел обладает такими свойствами: оно четное, все его цифры различны, а число сотен в два раза больше числа единиц? 8

Задача № 9

Есть 5 мисок. В них 100 орехов. В первой и второй мисках суммарно 52 ореха. Во второй и третьей мисках - 43 ореха. В третьей и четвёртой - 34, в четвертой и пятой – 30 орехов. Сколько в каждой миске орехов?

Решение: 

1) 100 – 52 = 48 (ор.) – в 3, 4 и 5-ой мисках.

2) 48 – 34 = 14 (ор.) – в 5-й миске.

3) 30 – 14 = 16 (ор.) – в 4-й миске.

4) 34 – 16 = 18 (ор.) – в 3-й миске.

5) 43 – 18 = 25 (ор.) – во 2-й миске.

6) 52 – 25 = 27 (ор.) – в 1-й миске.

 Максимальный балл – 20 ставится, если выполнены все шесть действий, и есть пояснения к ним.

10 баллов – если действия выполнены, верно, но нет пояснений.

5 баллов – если в одном действии допущена ошибка.

0 баллов – любой другой ответ.

Задача № 10

Если на чашу весов посадить Дашу, масса которой 45 кг, и Наташу, масса которой на 8 кг меньше, а на другую насыпать 89 кг разных конфет, то сколько кг конфет придётся съесть девочкам, чтобы чаши весов оказались в равновесии?

 Решение: 

1) 45 – 8 = 37 (кг) масса Наташи.

2) 45 + 37 = 82 (кг) – масса обеих девочек.

3) 89 – 82 = 7 (кг)

Максимальный балл – 15 ставится, если правильно решена задача и написаны пояснения к действиям.

10 баллов – если действия выполнены, верно, но нет пояснений.

5 баллов – если в одном из действий допущена одна ошибка.

Любой другой ответ – 0 баллов.

Задача № 11 (2 балла)

В бутылке, стакане, кувшине и банке находится молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, а сосуд с лимонадом находится между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не лимонад и не вода. Стакан находится между банкой и сосудом с молоком. Как распределены эти жидкости по сосудам?

Бутылка – лимонад,

Стакан – вода,

Кувшин – молоко,

Банка – квас.

Задача № 12 (1 балл)

ЖЕЛЕ Л=9

КРЕМ

КРЕМ

За одинаковыми буквами спрятаны одинаковые цифры. Разные буквы «прячут» разные цифры. Определи число, которое зашифровано за словом «ЖЕЛЕ»?

6494

3247

3247

Истинные и ложные высказывания

1. В велогонках приняли участие пятеро школьников. После гонок пятеро болельщиков заявили:

Коля занял 1-е место, а Ваня – 4-е;

  Серёжа занял 2-е место, а Ваня – 4-е;

  Серёжа занял 2-е место, а Коля – 3-е;

  Толя занял 1-е место, а Надя – 2-е;

  Надя заняла 3-е место, а Толя – 5-е.

Зная, что одно из показаний каждого болельщика верное, а другое – неверное, найдите правильное распределение мест.

Сережа - 1 место, Надя – 2 место, Коля – 3 место, Ваня – 4 место, Толя – 5 место.

1 балл за верный ответ.

1. В лесу звери проводили кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй была лиса». Другая возразила: «Заяц занял второе место, а первым был лось». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а другая – нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе?

Лиса заняла второе место, а лось – первое.

1 балл за верный ответ.

4. Пятеро школьников из пяти разных городов приехали в Минск для участия в Республиканской олимпиаде по математике. Их спросили, откуда они. Вот что они ответили:

  Андреев: «Я живу в Рогачёве, а Гришин – в Гомеле».

  Борисевич: «В Гомеле живёт Васильев, а я приехал из Пинска».

  Васильев: «Из Рогачёва приехал я, а Борисевич из Бреста».

  Григорьев: «Я прибыл из Гомеля, а Данилов из Орши».

  Данилов: «Андреев приехал из Пинска, а я живу в Орше».

Когда удивились противоречивости их ответов, ребята объяснили, что каждый высказал одно правильное утверждение, а другое – ложное. Но по их ответам вполне можно установить, откуда они приехали. Откуда же приехал каждый из школьников?

Андреев приехал из Рогачева, Борисевич – из Бреста, Васильев – из Гомеля, Гришин – из Пинска, Данилов – из Орши.

5. В одной коробке лежат 2 белых шара, в другой – 2 чёрных, в третьей – белый и чёрный. На каждой коробке имеется рисунок, но он неправильно указывает содержимое коробки. Из какой коробки, не глядя, надо достать шар, чтобы можно было определить содержимое каждой коробки?

Рассмотрим коробку, на которой нарисованы 2 одинаковых шара (например, белых). По условию в этой коробке либо 2 чёрных шара, либо 2 разноцветных. Если мы, не глядя, достанем черный шар, то оставшийся в этой коробке второй шар может быть черным или белым, т.е. содержимое каждой коробки определить однозначно нельзя. Надо достать шар из коробки, на которой нарисованы разные шары, а на самом деле там лежат шары одного цвета.

6. Три мальчика нашли в море старинный сосуд – амфору. Один сказал, что амфору изготовили финикийцы в Y в. до н.э., второй – что её изготовили греки в III в. до н.э., а третий сказал, что она не греческая и изготовлена в IY в. до н.э. пошли ребята к учителю и попросили разрешить их спор. Тот рассмотрел амфору и сказал, что каждый из них прав лишь наполовину, т.е. у каждого мальчика одно утверждение верно, другое – неверно. Требуется узнать, в каком веке, и каким народом была изготовлена амфора.

Амфору изготовили финикийцы в III в. до н.э.

1. Вместо звёздочек поставь такие цифры, чтобы получилось верное равенство: 5* + **3 = **01.

Решение:

Определим сначала цифру единиц в первом слагаемом. Исходя из условия задачи, к трём следует прибавить такое слагаемое, чтобы получилось число, оканчивающееся на 1. Этому условию удовлетворяет число 8, так как 8+3=11 (58+**3=**01).

Теперь будем определять цифру десятков во втором слагаемом. Один десяток мы получили, когда складывали единицы. Прибавив к нему ещё 5 десятков, мы должны получить число, оканчивающееся на 0. Этому условию удовлетворяет 4, так как 5+1+4=10 (58+*43=**01). При сложении десятков мы получили одну сотню, поэтому для того, чтобы получились тысячи, следует прибавить 9 сотен. Таким образом, получаем 58+943=1001.

Ответ: 58+943=1001.

За верно выполненное задание – 3 балла.

1. Рост Буратино 1м 4дм, а длина его носа раньше была 9см. Каждый раз, когда Буратино обманывал, длина его носа удваивалась. Как только длина его носа стала больше его роста, Буратино перестал обманывать. Сколько раз он обманул?

Решение:

1) 9 х 2=189 (см)- длина носа Буратино после того, как он обманул один раз.

2) 18 х2 = 36(см)-длина носа Буратино после того, как он обманул два раза.

3) 36 х 2= 72(см)- длина носа Буратино после того, как он обманул три раза.

4) 72 х 2= 144(см)- длина носа Буратино, после того , как он обманул четыре раза.

Так как 144см больше 140 см, то Буратино перестал обманывать.

Ответ: Буратино обманул 4 раза.

Правильное решение с пояснением или выражение – 3 балла.

Правильное решение с частичным пояснением или с ошибкой в пояснении к одному действию – 2 балла.

Правильное решение без пояснения или с ошибками в пояснении к каждому действию – 1 балл.

Неверное решение – 0 баллов.

Максимальное количество баллов – 3 балла.

1.  Сын лесничего помогал отцу вести подсчёт зверей в лесу. После подсчёта он сказал отцу: "Я считал медведей, зайцев и волков. Всего 1000 зверей, волков на 250 больше, чем медведей, зайцев на 300 больше, чем волков". Услышав такой ответ, лесничий сказал, что такого быть не может. Прав ли лесничий?

Решение:

1) 250 + 30 0 = 550 (з.)- было больше зайцев, чем медведей.

2) 550 + 250 = 800 (з.) - было больше зайцев и волков, чем медведей.

3) 1000 - 800 =200(з.) -было бы зверей всего, если бы зайцев и волков было столько, сколько медведей.

4) 200 : 3 = 66(ост.20)

Ответ: лесничий прав, так как количество зверей должно быть числом натуральным.

Правильное решение с пояснением – 5 баллов.

Правильное решение с частичным пояснением или с ошибкой (1–2) в пояснении к действию – 4 балла.

Правильное решение без пояснения или с ошибками во всех пояснениях, с ошибками в вычислениях – 3 балл.

Частичное правильное решение – 1 балл.

Неверное решение – 0 баллов.

Максимальное количество баллов – 5 баллов.

Решение

В этом примере В = 0, так как второе неполное произведение равно 0. Значит, А = 0, Д = 0.

Так как А · А = ЛО, а Д · А = ОЛ, то число Д · А получается перестановкой цифр в числе ЛО.

Легко убедиться, что ЛО = А · А = 81. Действительно, это не могут быть произведения числа А · А = 1 · 1, 2 · 2, 3 · 3, т.к. результатами их произведений являются однозначные числа 1, 4, 9.

В остальных случаях произведения А · А чисел 4, 5, 6, 7, 8, 9 дают числа 16, 25, 36, 49, 64, 81. При перестановке цифр в этих числах получим числа 61, 52, 63, 94, 46, 18. Из них только число 18 удовлетворяет условиям

А · А = ЛО и Д · А = ОЛ. Поэтому А = 9, а Д = 2. Таким образом, имеем:

И значит, Д = 2, В = О, А = 9, О = 1, Л = 8, Ч = 4, И = 3, С = 6.

Каждая буква алфавита представлена каким-то числом:

А - ____; Е- ______; Й _ ____;О- _____; У - ____; Ш - _____; Э - ______;

Б - ____; Ё - _____; К - _____; П- _____; Ф - _____; Щ - _____; Ю _______;

В - ____; Ж - ____; Л - _____; Р - _____; Х - _____; Ъ - ______; Я - ______;

Г - ____; З - _____; М - _____; С - _____; Ц - _____; Ы - _____;

Д - ____; И - ____; Н - _____; Т - _____; Ч - _____; Ь - ______.

А) Попробуй определить эти числа (найти код), если слово ГИД записывается как 6,12, 7.

Б) Попытайся при помощи этого кода прочитать фразу: 16 18 15 18 7 8 26

17 3 27 12 17 3 13 7 20 23 6 23 34 21 22 20 3 17 12 26 23

Запиши полученную фразу.

Ответ. ____________________________________________________________

Решение.

Молодец начинай другую страницу.