Олимпиадные задания по математике 5 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике 2021-2022 уч. год.

Школьный этап

5 класс

Максимальный балл-25. Время выполнения – 60 минут.

Задание № 1. (4 балла)

Денис расставил числа от 1 до 9 в клетки квадрата 3 × 3 так, что сумма чисел
во всех строках и во всех столбцах равна 15. А Лёша стёр числа от 1 до 5 и вместо них
написал буквы

Где какие числа стояли первоначально?

Задание №2 ( 5 баллов)

Алёна, Боря, Вера и Полина собирали яблоки в саду. Кто-то из них собрал 11 яблок, другой — 17, третий — 19, четвёртый — 24. Известно, что

• одна из девочек собрала 11 яблок;

• Алёна собрала яблок больше, чем Боря;

• суммарное количество яблок, собранное Алёной и Верой, делится на 3.

Кто сколько яблок собрал?

Задание №3 (6 баллов)

Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры. 

                                                                C И Н И Ц А

                                                                       +

                                                                           С И Н И Ц А

                                                                           ____________

                                                                            П Т И Ч К И

Задание №4. ( 5 баллов)

На некоторых деревьях в волшебном лесу растут монеты. Деревьев, на которых вообще не растут монеты, в два раза больше, чем деревьев, на которых растут по три монеты. На трёх деревьях растут по 2 монеты, на четырёх деревьях — по 4 монеты, а больше, чем по 4 монеты, ни на каком дереве не растёт. На сколько общее число монет в волшебном лесу больше, чем число деревьев?

Задание №5. ( 5 баллов)

В зоопарке есть красные, жёлтые и зелёные попугаи (есть хотя бы по одному попугаю каждого из перечисленных цветов; попугаев других цветов в зоопарке нет).

Известно, что среди любых 10 попугаев обязательно есть красный, а среди любых 12 попугаев обязательно есть жёлтый. Какое наибольшее количество попугаев может быть в зоопарке?

Всероссийская олимпиада школьников

по математике 2021-2022 уч. год.

Школьный этап.

5 класс.

Максимальный балл 25 баллов.

Задание № 1.( 4 балла)

Денис расставил числа от 1 до 9 в клетки квадрата 3 × 3 так, что сумма чисел
во всех строках и во всех столбцах равна 15. А Лёша стёр числа от 1 до 5 и вместо них
написал буквы

Где какие числа стояли первоначально?

Решение:

Ответ: a1 b5 c2 d4 e3.
Решение. Посмотрим на вторую строку. Сумма чисел в ней равна С + 6 + 7 = 15, откуда

C = 2. Аналогично во втором столбце имеем сумму чисел A + 6 + 8 = 15, откуда A = 1.

Теперь можно выписать суммы чисел в первой строке и в первом столбце — это 9 +1+ B = 15 и 9 + 2 + D = 15. Из них получаем, что D = 4 и B = 5. Осталось только из суммы чисел в последнем столбце 5 + 7 + E = 15 найти, что E = 3.

Задание №2. ( 5 баллов)

Алёна, Боря, Вера и Полина собирали яблоки в саду. Кто-то из них собрал 11 яблок, другой — 17, третий — 19, четвёртый — 24. Известно, что

• одна из девочек собрала 11 яблок;

• Алёна собрала яблок больше, чем Боря;

• суммарное количество яблок, собранное Алёной и Верой, делится на 3.

Кто сколько яблок собрал?

Решение. Суммарное количество яблок, собранное Алёной и Верой, делится на 3. Таким образом, если Алёна собрала 24 яблока, то количество яблок, собранных Верой, тоже должно делиться на 3; но среди наших чисел нет других, кратных 3, так что это невозможно.

Так как Алёна собрала яблок больше, чем Боря, то она собрала либо 17, либо 19 яблок. Но если она собрала 17 яблок, то Боря должен был собрать 11 яблок, а по условию задачи 11 яблок собрала одна из девочек.

Таким образом, Алёна собрала 19 яблок, а Боря — 17. Из оставшихся двух чисел только 11 в сумме с 19 даёт число, кратное 3. Получается, Вера собрала 11 яблок, а Полина — 24 яблока.

Задание №3. ( 6 баллов)

Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры. 

                                                                C И Н И Ц А

                                                                       +

                                                                           С И Н И Ц А

                                                                           ____________

                                                                            П Т И Ч К И

Решение:  342 457 + 342 457 = 684 914.

Решение:  342 457 + 342 457 = 684 914.

Задание №4. ( 5 баллов)

На некоторых деревьях в волшебном лесу растут монеты. Деревьев, на которых вообще не растут монеты, в два раза больше, чем деревьев, на которых растут по три монеты. На трёх деревьях растут по 2 монеты, на четырёх деревьях — по 4 монеты, а больше, чем по 4 монеты, ни на каком дереве не растёт. На сколько общее число монет в волшебном лесу больше, чем число деревьев?

Решение. Пусть в лесу растёт x деревьев, на которых растут по три монеты, и y деревьев, на которых растёт по одной монете. Тогда в лесу 2x деревьев, на которых не растут монеты вовсе.

Получается, что общее количество монет равно

2x ⋅ 0 + y ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + x ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 = 3x + y + 22 ,

а общее число деревьев равно

2x + y + 3 + x + 4 = 3x + y + 7 .

Первое число больше второго на 15.

Задание №5. ( 5 баллов)

В зоопарке есть красные, жёлтые и зелёные попугаи (есть хотя бы по одному попугаю каждого из перечисленных цветов; попугаев других цветов в зоопарке нет).

Известно, что среди любых 10 попугаев обязательно есть красный, а среди любых 12 попугаев обязательно есть жёлтый. Какое наибольшее количество попугаев может быть в зоопарке?

Решение. Пусть в зоопарке x красных, y жёлтых и z зелёных попугаев.

Раз среди любых 10 попугаев есть красный, то не красных попугаев не более 9, то есть

y+ z ⩽ 9. По аналогичным соображением мы получаем, что не жёлтых попугаев не более 11, то есть x +z  ⩽ 11.

Таким образом,

x + y + 2z = (y +z) + (x +z) ⩽ 9 + 11 = 20 ;

x + y +z ⩽ 20 − z ⩽ 19 .

Это означает, что общее число попугаев не превосходит 19. При этом в зоопарке могли быть 10 красных, 8 жёлтых и 1 зелёный попугай, то есть ровно 19 попугаев.