Олимпиадные задания по математике (10-11 классы)

Олимпиадные задания по математике 10-11 классы

№1
Четырехугольник ABCD вписан в окружность диаметра 17. Диагонали АС и ВD перпендикулярны. Найдите стороны АВ, ВС, CD, если известно, что AD = 8 и AB : CD = 3 : 4

№2.

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?  

№3

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки.

№4

Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?

№ 5

На доске через запятую выписаны числа 1, 2, 3, … 99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак «+» или «*» (умножить). После того как запятых не останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечётным числом, то выигрывает первый, а если чётным – второй. Кто выигрывает при правильной игре?

№ 6

Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между  любыми двумя соседними числами была равна 2 или 3.

Решение. Например, так:1, 3, 5, 2, 4, 6, 8,10, 7, 9 , 11, … , 96, 98, 100,97, 99 (в каждой пятёрке порядок расположения чисел 5к+1,  5к+3, 5к+5, 5к+2,  5к+4)

№ 7

В классе не менее  95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек. При каком наименьшем числе учеников это возможно?

№ 8

Решите уравнение: 

№ 9.

Решите уравнение: 

№ 10.

Решите уравнение: 

                                            Литература.  

1.Н. Х. Агаханов,  Д. А. Терешин,  Г. М.Кузнецова  ,,Школьные математические олимпиады ^,, - М. : Дрофа , 2002.  

2.  Г.А. Гальперин, А.К.Толпыго  ,,Московские математические олимпиады^,,  -М.: Просвещение, 1986.  

3.   Журнал ,, Математика в школе^,,  №4 1995г.