Олимпиадные задания по математике 8 - 9 класс (школьный этап).

Задания школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2016-2017 учебном году

8 класс

1. В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающих день рождения в один месяц.

10 баллов

2. Длины сторон треугольника равны 6,82 м и 0,31 м, а длина третьей стороны выражена целым числом метров. Найти длину третьей стороны.

15 баллов

3. Разложите на множители: 4(а² + b²) + 21b² – 20ab – 36.

20 баллов

4. Четырех кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы 7 кг, 8 кг, 9 кг, 10 кг, 11 кг, 12 кг. Какова общая масса всех кошек?

25 баллов

5. В ∆АВС биссектриссы углов А и В пересекаются под углом 128⁰. Найдите угол С.

30 баллов

9 класс

1. Решить уравнение: x² + xy + y² – 2x + 2y + 4 = 0 10 баллов

2. Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч, а вторую – 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля. 15 баллов

3. Равнобокая трапеция АВСD разбивается диагональю АС на 2 равнобедренных треугольника. Определите углы трапеции.

17 баллов

4. Решите систему уравнений:

(3x + y)² + 2(x – y)² = 96,

3x + y = 2(x – y).

18 баллов

5. Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий день, на вопрос кто какое место занял, они ответили так:

Алексей: Я не был ни первым и ни последним;

Борис: Я не был последним;

Владимир: Я был первым;

Григорий: Я был последним.

Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто сказал правду? Кто был первым? 20 баллов

6. Найдите четыре последовательных натуральных числа, произведение которых равно 1680. 20 баллов

Ответы и решения олимпиадных задач по математике

8 – 9 класс

8 класс

1. В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающих день рождения в один месяц.

Ответ: Если в каждый месяц родилось не более 3 учеников, то всего учеников будет не больше 36. А по условию их 37, значит, такого быть не может. Поэтому найдется 4 ученика, отмечающих день рождения в один месяц.

2. Длины сторон треугольника равны 6,82 м и 0,31 м, а длина третьей стороны выражена целым числом метров. Найти длину третьей стороны.

Решение: a, b, c – стороны треугольника: a = 6,82; b = 0,31; известно, что

a – b c a + b, то есть 6,51 c так как c € Z, то с = 7 м.