Олимпиадные задания по математике 8 - 9 класс.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ 8 - 9 КЛАСС

Решение задач по математике 8 класс 

1. В выражении 1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19 расставьте несколько знаков модуля так, чтобы равенство стало верным. (20 баллов)

Ответ: | |1 – 2 - 4| - 8 - 16| = 19

2. Из 100 студентов английский язык знают 28, немецкий 30, французский 5, английский и французский 10, английский и немецкий 8, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков? (15 баллов)

Решение:

Пусть х студентов не знают ни одного из трех языков, тогда 28 + 30 + 42 – 10 -5 – 8 + 3 + х = 100. Откуда х = 20, то есть 20 студентов не знают ни одного языка.

3. Сумма нескольких последовательных четных чисел равна 100. Найти эти числа.

(10 баллов)

Ответ: 22+24+26+28=100, 16+18+20+22+24=100

4. Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую секунду он управился с половиной памяти, за вторую секунду – с одной третью оставшейся части, за третью секунду с одной четвертью того, что ещё сохранилось, за четвёртую – с одной пятой остатка, тут его настиг могучий Антивирус. Какая часть памяти уцелела?

(20 баллов)

Решение:

Обозначим всю память за 1. Тогда после первой секунды осталось , после второй секунды , после третьей , после четвертой секунды , значит, уцелела памяти.

5. Две вершины квадрата имеют координаты (0; 0) и (5; 5). Найдите координаты двух других его вершин.

(15 баллов)

Ответ: (5; 0), (0; 5), или (10; 0); (5; -5), или (0; 10), (-5; 5).

6. В ΔKMN медианы MM₁ и NN₁ пересекаются в точке Р. Найдите площадь ΔKMN, если площадь ΔMNP равна 10 см².

(20 баллов)

Решение:

К

N₁

P

S_ΔMNP = 10 см².

S_{ΔMNP :} S _ΔMN1P = ½ cледовательно, S_ΔMN1P = 5 см² , тогда S_ΔMN1N = 15 см², так как MN – медиана, то S_ΔN1КМ1 = 15 см², то есть S_ΔМKN = 30 cм².

Решение задач по математике 9 класс 

1. Найдите значения х и у в числе 12х3у4, если оно кратно 599.

(15 баллов)

Ответ: х=9, у=8

2. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников опросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ «в двух» дали вдвое меньше человек, чем ответ «в одной», а ответ «в трех» - втрое меньше, чем ответ «в одной». Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?

(20 баллов)

Решение:

х – ученики, участвовавшие в одной олимпиаде, тогда учеников участвовало в 2 олимпиадах, - в 3. Отсюда . Значит, всего в олимпиадах участвовало (человек).

3. Решите систему уравнений:

(20 баллов)

Ответ:

4. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол меду диагоналями равен 60⁰. Доказать, что трапеция равнобедренная.

Решение: АС = a + b, где ВС = а; AD = b. Если ⁰, то ΔВОС, ΔAOD – равносторонние, BD = AC = a + b, Δ ACD = Δ BAD следовательно AB = CD.

(20 баллов)

b

C

a

OС

b

5. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 х 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 х 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?

(10 баллов)

Ответ: 7 клеток.

6. Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?

(15 баллов)

Ответ: имеет смысл идти.

Решение:

Пусть мальчик пошел к следующей остановке и в какой-то момент заметил автобус. Скорость автобуса в четыре раза больше скорости мальчика, поэтому за одно и то же время автобус проезжает расстояние в четыре раза больше. Пусть мальчик пробежит х км, тогда автобус проедет 4х км. В случае, если они двигаются навстречу друг другу, до встречи с автобусом мальчик пробежит 2/5 км. Это значит, что ,отойдя от остановки не более, чем на 2/5 км, мальчик сможет успеть на автобус, побежав назад.

В случае, если автобус догоняет мальчика, мальчик успеет пробежать 2/3 км до момента, когда автобус его догонит.

Это означает, что он сможет успеть на автобус, если до следующей остановки осталось не более 2/3 км, то есть если он успел пройти не менее 1/3 км до момента, когда заметил автобус. Так как 1/3

Школьный этап олимпиады по математике в 2015-2016 учебном году

8 класс

1. В выражении 1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19 расставьте несколько знаков модуля так, чтобы равенство стало верным.

(20 баллов)

1. Из 100 студентов английский язык знают 28, немецкий 30, французский 5, английский и французский 10, английский и немецкий 8, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков?

(15 баллов)

1. Сумма нескольких последовательных четных чисел равна 100. Найти эти числа.

(10 баллов)

1. Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую секунду он управился с половиной памяти, за вторую секунду – с одной третью оставшейся части, за третью секунду с одной четвертью того, что ещё сохранилось, за четвёртую – с одной пятой остатка, тут его настиг могучий Антивирус. Какая часть памяти уцелела?

(20 баллов)

1. Две вершины квадрата имеют координаты (0; 0) и (5; 5). Найдите координаты двух других его вершин.

(15 баллов)

1. В ΔKMN медианы MM₁ и NN₁ пересекаются в точке Р. Найдите площадь ΔKMN, если площадь ΔMNP равна 10 см².

(20 баллов)

9 класс

1. Найдите значения х и у в числе 12х3у4, если оно кратно 599.

(15 баллов)

1. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников опросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ «в двух» дали вдвое меньше человек, чем ответ «в одной», а ответ «в трех» - втрое меньше, чем ответ «в одной». Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?

(20 баллов)

1. Решите систему уравнений:

(20 баллов)

1. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол меду диагоналями равен 60⁰. Доказать, что трапеция равнобедренная.

(20 баллов)

1. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 х 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 х 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?

(10 баллов)

1. Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?

(15 баллов)