Олимпиада по математике

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

5 класс

1. Разгадайте числовой ребус.

2. Напишите девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Не меняя порядок этих цифр, расставьте между ними плюсы и минусы, всего три знака, таким образом, что бы в результате получилось 100.

3. В шести кружках, расположенных в форме равностороннего треугольника, расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех трех сторонах треугольника была одинаковой и равнялась 100.

4. 4 утенка и 5 гусят весят 4 кг 100 гр, а 5 утят и 4 гусенка весят 4 кг. Сколько весит один утенок?

5. Из города А в город Б ведут пять дорог, а из города Б в город В -семь дорог. Сколько есть различных маршрутов поездки из города А в город В через город Б?

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

5 класс

1. Разгадайте числовой ребус.

2. Напишите девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Не меняя порядок этих цифр, расставьте между ними плюсы и минусы, всего три знака, таким образом, что бы в результате получилось 100.

3. В шести кружках, расположенных в форме равностороннего треугольника, расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех трех сторонах треугольника была одинаковой и равнялась 100.

4. 4 утенка и 5 гусят весят 4 кг 100 гр, а 5 утят и 4 гусенка весят 4 кг. Сколько весит один утенок?

5. Из города А в город Б ведут пять дорог, а из города Б в город В -семь дорог. Сколько есть различных маршрутов поездки из города А в город В через город Б?

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

6 класс

1. Делится ли значение выражения 11*21*31*…*91-1 на 10? Ответ обосновать.

2. Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Известно, что:

а) лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;

б) Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и лучший художник?

3.Вместо звездочек расставьте пропущенные цифры:

785

х

***

***

+

1***

***

*****

4. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

- если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

- первая цифра больше последней в 4 раза.

Сколько лет старику Хоттабычу?

5. В ковре 4х4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок.(дырки считать точечными).

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

6 класс

1. Делится ли значение выражения 11*21*31*…*91-1 на 10? Ответ обосновать.

2. Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Известно, что:

а) лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;

б) Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и лучший художник?

3.Вместо звездочек расставьте пропущенные цифры:

785

х

***

***

+

1***

***

*****

4. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

- если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

- первая цифра больше последней в 4 раза.

Сколько лет старику Хоттабычу?

5. В ковре 4х4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок.(дырки считать точечными).

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

7 класс

1. Решить уравнение 2(3-2х)=3х-4(1+3х)

2. Найдите двузначное число, равное сумме его цифр, увеличенной в 6 раз.

3. На конференции собрались марсиане, у каждого было по 7 конечностей, и земляне, у которых было по 4 конечности. Сколько было землян, если всего было 53 конечности?

4. Длину каждой стороны квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?

5. В меню столовой имеется 5 первых, 3 вторых и 2 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из трёх блюд (первое, второе и третье)?

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

7 класс

1. Решить уравнение 2(3-2х)=3х-4(1+3х)

2. Найдите двузначное число, равное сумме его цифр, увеличенной в 6 раз.

3. На конференции собрались марсиане, у каждого было по 7 конечностей, и земляне, у которых было по 4 конечности. Сколько было землян, если всего было 53 конечности?

4. Длину каждой стороны квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?

5. В меню столовой имеется 5 первых, 3 вторых и 2 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из трёх блюд (первое, второе и третье)?

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

8 класс

1. Решить уравнение (х-2)²-(х-1)(х+3)=5

2. Представить в виде рациональной дроби: 1 +

3. Доказать, что число, равное (11⁶+14⁶-13³) кратно 10.

4. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла АМС проходит через точку D. Найдите углы параллелограмма, если известно, что .

5. Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Каша должна вариться 15 минут. Как сварить ее, перевернув часы минимальное количество раз?

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

8 класс

1. Решить уравнение (х-2)²-(х-1)(х+3)=5

2. Представить в виде рациональной дроби: 1 +

3. Доказать, что число, равное (11⁶+14⁶-13³) кратно 10.

4. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла АМС проходит через точку D. Найдите углы параллелограмма, если известно, что .

5. Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Каша должна вариться 15 минут. Как сварить ее, перевернув часы минимальное количество раз?

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

9 класс

1 В уравнении (х² + …) (х+1) = (х⁴ + 1) (х + 2) одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что один из корней данного уравнения равен единице.

2. Найдите значение выражения:

(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1-) при а=2011

3. Сколько цифр содержит число ?

4 В прямоугольном треугольнике один катет равен 7 см. Определите две другие целочисленные стороны.

5. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 67,5, а его боковая сторона АВ равна 15. О- точка пересечения высот ВЕ и СН. Найдите площадь треугольника ВОН.

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

9 класс

1 В уравнении (х² + …) (х+1) = (х⁴ + 1) (х + 2) одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что один из корней данного уравнения равен единице.

2. Найдите значение выражения:

(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1-) при а=2011

3. Сколько цифр содержит число ?

4 В прямоугольном треугольнике один катет равен 7 см. Определите две другие целочисленные стороны.

5. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 67,5, а его боковая сторона АВ равна 15. О- точка пересечения высот ВЕ и СН. Найдите площадь треугольника ВОН.

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

10 класс

1. Упростить выражение

2. Решить уравнение ׀х-4׀+׀х-3׀=х-7

3. Найти все пары натуральных чисел (х;у) удовлетворяющих уравнению 2ху + 3у²=24

4. Построить график функции у =

5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

10 класс

1. Упростить выражение

2. Решить уравнение ׀х-4׀+׀х-3׀=х-7

3. Найти все пары натуральных чисел (х;у) удовлетворяющих уравнению 2ху + 3у²=24

4. Построить график функции у =

5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

11 класс

1 Решить систему:

х+у=2;

ху – z² =1

2. Найдите площадь фигуры, координаты которой удовлетворяют соотношениям:

х²+у²≤9

у+1≥0

3у+6≥2׀х׀

3 Все коэффициенты квадратного трехчлена – целые нечетные числа. Может ли он иметь два целых корня?

4. При каких значениях а уравнение имеет единственный корень?

5 В основании четырехугольной пирамиды лежит равнобедренная трапеция со сторонами 2, 3, 3, 4. Высота пирамиды равна 3. Найдите боковые ребра пирамиды, если известно, что две ее боковые грани перпендикулярны к плоскости основания.

Школьная олимпиада по математике

2016-2017 уч. год

11 класс

1 Решить систему:

х+у=2;

ху – z² =1

2. Найдите площадь фигуры, координаты которой удовлетворяют соотношениям:

х²+у²≤9

у+1≥0

3у+6≥2׀х׀

3 Все коэффициенты квадратного трехчлена – целые нечетные числа. Может ли он иметь два целых корня?

4. При каких значениях а уравнение имеет единственный корень?

5 В основании четырехугольной пирамиды лежит равнобедренная трапеция со сторонами 2, 3, 3, 4. Высота пирамиды равна 3. Найдите боковые ребра пирамиды, если известно, что две ее боковые грани перпендикулярны к плоскости основания.

Ответы и указания.

11 класс:

№1 Выразим х=2-у и подставим (2-у)у-z²=1, преобразуем z²=-(y-1)². Учитывая, что левая часть неотрицательна, а правая неположительна, имеем

z=0

y-1=0 т.е. (1,1,0)

№2 Преобразуем систему к виду х²+у²≤3²

у≥-1

у≥׀х׀ 2-

Построим графики и

S=S₁+S₂=

№4 х≠1, х≠5

Если D=0, то а=3, х=5- не удовлетворяет условию х≠5

Если D0, то а≠3 и х₁=2а-1 х₂=а+2

2а-1=1 2а-1=5 а+2=1 а+2=5

а+2≠5 а+2=1 2а+1≠5 2а+1≠1

Ответ: а=1, а=-1

№5

1 случай. Грани АВМ и МВС перпендикулярны плоскости основания, тогда BM перпендикулярна плоскости АВС.

BF=, BD=, AM=3, MC=,

M

MD=

2

С

В

C

3

3

B

1

2

А

1

D

D

А

2 случай Грани АВМ и МAD перпендикулярны плоскости основания, тогда AM перпендикулярна плоскости АВС.

АС=, ВМ=3, МD=, MC=

M

D

А

B

C

3 случай Грани АВМ и МDС перпендикулярны плоскости основания, тогда

MK перпендикулярна плоскости АВС.

M

BC-средняя линия треугольника АКD.

ВК=КС=3, АК=КD=6, МВ=МС=

МА=МD=

K

С

В

D

А

10 класс:

№1 Ответ: -2

№2 Ответ: корней нет

№3 Ответ: (3;2) (3;4) (7;6) (17;12)?

№5

Имеем S_ADK = S_ALK, так как они имеют общее основание AK и равные высоты, совпадающие с расстоянием между параллельными прямыми AB и DC. S_ADE = S_ADK – S_AEK = S_ALK – S_AEK = S_KLE. Аналогично, S_BCF = S_KLF. Таким образом, сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.

9 класс:

№1 Решение: Подставим в уравнение х = 1… Ответ: 2

№2 Применяя формулу (х-у)(х+у)=х²-у² последовательно для последних двух множителей, в результате получим: (1-)(1+)=1-a.

При а=2011 получим 1-а=1-2011=-2010.

Ответ:-2010.

№3 =()==1 250 000 000 000.

Ответ: 13 цифр.

№4 Ответ: 24см и 25 см

8 класс:

№2

№3 11⁶ оканчивается на 1; 14⁶- на 6; 13³- на 7

№4 60⁰ и 120⁰

7 класс:

№2 54

№3 Ответ: 8 или 1.

6 класс:

№1 да, т.к. произведение оканчивается на 1 и разность на 0

№2 Олег – художник, Аня – шахматист, Игорь – математик

№3 ответ 785

*

121

785

+

1570

785

94985

№4 ответ: старику Хоттабычу 8942 года

№5 4х4=16,значит, ковер можно разрезать на 16 ковриков размером 1х1,т.к. 1615,то один коврик будет без дырок.

5 класс:

№1 7243

*

29

65187

14486

210047

№2 123+45-67+8-9=100

№3 35

32 34

33 36 31

№4 500 гр

№5 35