Опорный конспект

ТЕОРИЯ

ТРЕТЬЕ ЗАДАНИЕ

КВАДРАТНАЯ РЕШЁТКА, КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ

1. Общие сведения.

   1. Виды углов.

Угол, градусная мера которого равна 90̊, называют прямым.

Угол, градусная мера которого меньше 90̊, называют острым.

Угол, градусная мера которого больше 90̊, но меньше 180̊, называют тупым.

1. Расстояние от точки до прямой.

Две прямые называют перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы.

На рисунке изображены прямая a и перпендикулярный ей отрезок AB, конец B которого принадлежит прямой a. В таком случае говорят, что из точки A на прямую a опустили перпендикуляр AB.

Длину перпендикуляра AB называют расстоянием от точки A до прямой a.

1. Периметр.

Периметр фигуры – это сумма длин всех сторон данной фигуры.

1. Параллельные прямые.

Параллельными называют прямые, которые не пересекаются.

1. Треугольник.

   1. Биссектриса треугольника.

Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

1. Медиана треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

1. Высота треугольника.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

1. Средняя линия треугольника.

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Виды треугольников.

Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным.

1. Четырёхугольники.

   1. Диагональ.

Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырёхугольника, называют диагональю.

1. Параллелограмм.

   1. Общий вид.

Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны.

1. Площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, соответствующей этой стороне.

S = a⋅h

1. Ромб.

   1. Общий вид.

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны.

1. Площадь ромба.

1. Прямоугольник.

   1. Общий вид.

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.

1. Периметр прямоугольника.

P = a + b + c + d

P = 2⋅(a + b)

1. Площадь прямоугольника.

S = a⋅b

1. Квадрат.

   1. Общий вид.

Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.

1. Периметр квадрата.

P = 4⋅a

1. Площадь квадрата.

S = a²

1. Трапеция.

   1. Общий вид.

Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

1. Площадь трапеции.

1. Средняя линия трапеции.

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

1. Виды трапеций.

Если боковая сторона трапеции является её высотой, то такую трапецию называют прямоугольной.

Равнобедренная трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

1. Окружность.

   1. Диаметр, хорда и радиус окружности.

Окружностью называют геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной точки равны данному положительному числу.

Заданную точку называют центром окружности.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности.

Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром.

1. Вписанные и описанные окружности.

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения биссектрис треугольника.

1. Вписанные и центральные углы.

Центральным углом окружности называют угол с вершиной в центре окружности.

Градусную меру всей окружности считают равной 360̊.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вписанным углом окружности называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

1. Сектор.

На рисунке радиусы OA и OB делят круг на две части. Каждую из этих частей вместе с радиусами OA и OB называют круговым сектором или просто сектором.

1. Площадь круга, длина окружности.

Длина окружности С вычисляется по формуле:

,

где R – радиус окружности.

Площадь круга S вычисляется по формуле:

.

1. Тригонометрия.

   1. Прямоугольный треугольник (катеты и гипотенуза).

AB – гипотенуза, лежит против прямого угла.

AC, CB – катеты.

1. Синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла A обозначают так: sin A (читают: «синус А»).

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла A обозначают так: cos A (читают: «косинус А»).

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла A обозначают так: tg A (читают: «тангенс А»).

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла A обозначают так: ctg A (читают: «котангенс А»).

Формулы для синуса и косинуса тупого угла, а также основное тригонометрическое тождество

1. Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке изображён прямоугольный треугольник ABC (угол ACB = 90̊). Имеем: AB² = AC² + BC².

1. Формула Пика для нахождения площадей фигур.

В 1899 году Георг Пик доказал очень полезную формулу, которая так и называется – формула Пика. Это формула для нахождения площади многоугольника с целочисленными вершинами. Целочисленная вершина – это точка пересечения клеток на клетчатой бумаге. Точку пересечения клеток иногда называют узлом.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

В + Г / 2 − 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.