Корни n - ой степени и их свойства

Корни натуральной степени из числа и их свойства.

Определение. Корнем n-ной степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a, то есть = b, т.к. = a

Если n - нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого числа (положительного или отрицательного).

Например,  = – 2,

Если n - четное число, то существует два корня n-й степени из любого положительного числа. Например, корень четвертой степени из числа  625 - это числа  – 5 и 5. Так как  ,

Корень четной степени из отрицательного числа не существует. Например, 

Определение. Арифметическим корнем  n-ной степени из числа а называют неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Например, = 9 т.к.

т.к.

т.к.

= – 3 т.к.

т.к.

Решение уравнения хⁿ = a

n – нечетное

При любых значениях a уравнение имеет один корень

n – четное

1. Если a 0, то уравнение имеет два корня

= ; =

1. Если a 0 , то уравнение имеет один корень x = 0

2. Если a 0 , то уравнение не имеет корней

Основные свойства арифметических корней n-ной степени

Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a и b выполнены равенства:

1 . =

2 . = (

3 . =

4 . =

5 . = (если

6 . Для любых чисел a и b , таких, что , выполняется неравенство

Примеры с решениями:

1. Решите уравнения

а)

= – 4

х = =

б)

= ; =

в)

х =

г)

= ; =

2. Найдите значения числового выражения

а) = = = 2

б) = =

Решите самостоятельно:

1) Вычислите

а)

б)

в)

г)

2) Решите уравнения

а)

б)

в)

г)

3) Найдите значение числового выражения

а)

б)

в) (

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

4) Найдите значение выражения

Воспользуйтесь формулой сокращенного умножения:

(a−b)·(a + b) = a² − b²

а)

б) +

в)

г)

Ответьте на вопросы:

– Дайте определение корня n-ой степени из действительного числа.

– Сколько корней может иметь уравнение вида  хⁿ = a?

Отчего это зависит?

– Как вычислить корень n-ой степени из числа?

– Когда корень n-ой степени не имеет смысла?