Опорный конспект "Основы теории вероятностей

Вероятность случайного события

Опорный конспект

Событие, которое может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.

(пусть n – число всех испытаний, m – число испытаний, когда произошло событие А (частота события А), отношение m/n – относительная частота).

Результат испытания называют исходом.

Статистическое определение вероятности. За вероятность случайного события принимается значение относительной частоты, около которого группируются наблюдаемые её значения при большом числе некоторых испытаний, когда относительная частота принимает достаточно устойчивое значение.

Равновозможные исходы – имеются основания считать, что шансы их наступления одинаковы.

Благоприятные исходы – указанное событие наступило.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.

Обозначают: Р(А)

Достоверное событие – происходит всегда, сколько бы раз ни повторялось испытание. Р(А)=1

Невозможное событие – никогда не происходит, сколько бы раз ни повторялось испытание. Р(А)=0.

0 ≤ Р(А) ≤ 1 – для любого события А.

События А и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

Сложение вероятностей. Если событие С означает, что наступает одно из несовместных событий: А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В. Р(С)=Р(А)+Р(В)

Если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А - наступление события В, то события А и В - противоположные события.

Сума вероятностей противоположных событий равна 1: Р(А)+Р(В)=1.

Противоположные события являются несовместными.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.

Умножение вероятностей. Если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В. Р(С)=Р(А)∙Р(В)

Пример 1: Пусть в одном из двух ящиков находится 15 деталей, из которых 2 нестандартные. А в другом – 20 деталей, из которых 3 нестандартные. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся нестандартными?

Решение:

Рассмотрим события: А – из первого ящика вынимают нестандартную деталь; В – из второго ящика вынимают нестандартную деталь; С – из обоих ящиков вынимают нестандартные детали.

Для события А благоприятными являются 2 исхода из 15, тогда Р(А)=2/15;

Для события В благоприятными являются 3 исхода из 20, тогда Р(В)=3/20.

Событие С состоит в совместном наступлении событий А и В. При этом события А и В являются независимыми. Тогда Р(С)=Р(А)∙Р(В)=( 2/15)∙(3/20)=(2∙3)/(15∙20)=0,02

Рассуждения: действительно, общее число равновозможных исходов равно 15∙20 (каждому из 15 извлечений из первого ящика соответствует 20 возможностей извлечения детали из второго ящика – комбинаторика!) Каждому из двух возможных извлечений нестандартной детали из первого ящика соответствует три возможности извлечения нестандартной детали из второго ящика, то есть число благоприятных исходов равно 2∙3. Тогда Р(С)= (2∙3)/(15∙20)=0,02.

Ответ: 0,02.

Вопросы:

1. Для каких событий применяют теорему сложения? Происходят ли эти события одновременно?

2. Для каких событий применяют теорему умножения? Происходят ли эти события одновременно?

3. Два события А и В - противоположные. Верно ли, что Р(В)=1 – Р(А)?

4. Какое событие называют случайным событием?

5. Что называют относительной частотой?

6. Что называют исходом?

7. Сформулируйте статистическое определение вероятности.

8. Какие исходы называют равновозможными?

9. Какие исходы называют благоприятными?

10. Сформулируйте классическое определение вероятности.

11. Какое событие называют достоверным? Какова вероятность достоверного события?

12. Какое событие называют невозможным? Какова вероятность невозможного события?

13. Какие события называют несовместными?

14. Сформулируйте теорему сложения вероятностей.

15. Какие события называют противоположными? Каким свойством обладают вероятности противоположных событий?

16. Какие события называют независимыми?

17. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.