Опорный конспект по теме: "Координатный метод в пространстве".11 класс

Тема: «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве».

Коэффициенты x, y и z в разложении называются координатами вектора в данной системе координат.
Координаты вектора будем записывать в скобках: (x ; y ; z).
Координаты равных векторов равны.

Правила действия над векторами.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Если + = ,

то (x +x₂; y₁+y₂; z₁+z₂); где (x₁; y₁; z₁), {x₂; y₂; z₂}.

1. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Если - = , то (x₁-x₂; y₁-y₂; z₁-z₂).

2. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Если k = , то (kx₁; ky₁; kz₁).

Координаты любой точки D в прямоугольной системе координат Оxyz равны соответствующим координатам вектора .
Т.о. если A(x; y; z), то (x ; y ; z).

Простейшие задачи в координатах.

1. Координаты середины отрезка.

   рис. 3

   Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

2. Вычисление длины вектора по его координатам.
   
   

3. Расстояние между двумя точками. M₁ (x₁; y₁; z), M₂(x₂; y₂; z₂), тогда

Косинус угла между векторами

Чтобы найти косинус угла между векторами нужно скалярное произведение этих векторов разделить на произведение их длин.

В случае, если векторы заданы на плоскости и имеют координаты и , то косинус между ними вычисляется по формуле:

Если же векторы заданы в пространстве, то есть и , то косинус угла вычисляется по формуле

Примеры вычисления косинуса угла между векторами

Пример

Задание. Найти косинус угла между векторами и

Решение. Так как векторы заданы на плоскости, воспользуемся формулой

Подставим координаты заданных векторов:

Ответ.  

Пример

Задание. Найти косинус угла между векторами и , заданных в пространстве.

Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами, воспользуемся формулой

Подставляя координаты векторов и , получим

Ответ.