Определенный интеграл и его применение

Г еометрический смысл суммы S_n - это есть алгебраическая сумма площадей

прямоугольников, в основании которых лежат отрезки ∆x , a

высоты равны f(ξ ). (В том
случае функция неотрицательна функция)

Обозначим через γ_R = max ∆x - максимальную длину отрезков

длину отрезков [х х ₊₁]

разбиения R. Предел (если он
существует), к которому
стремится интегральная сумма
р_ис1. S_n, когда γ_R = max ∆x → 0, называется определенным интегралом от функции f на отрезке [a, b] и обозначается:

(1)

Предел (1) называют интегралом Римана и функцию, для которой этот предел существует называют интегрируемой в смысле Римана.

Определение: Определенным интегралом функции у= на отрезке называется интеграл:

a – нижний предел.

b – верхний предел.

f(x) – подынтегральная функция.

dx- дифференциал независимой переменной.

Непосредственное вычисление определенного интеграла по формуле (1) связано с рядом трудностей, так как интегральные суммы имеют сложный вид, и найти их предел нелегко. До XVII века вычисление интегралов являлось трудной математической задачей. Ньютон и Лейбниц указали метод решения таких задач путем сведения к отысканию первообразной функции.

Таким образом, определенный интеграл вычисляется с помощью фундаментальной формулы Ньютона – Лейбница:

Определенный интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного интеграла:

1. П остоянный множитель можно выносить за знак интеграла :

1. И нтеграл от алгебраической суммы равен сумме интегралов от этих функций:

1. Для любых чисел a, b и с имеет место равенство:

4 ) При перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак:

5)

2. Вычисление определенных интегралов различными методами.

1. Непосредственное интегрирование - вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов, основных свойств неопределенных интегралов и формулы Ньютона – Лейбница.

1. Замена переменной в определенном интеграле:

Определенный интеграл

по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g - обратная функция к g, т.е. t = g (x).

Пример1:

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то

t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

1. Интегрирование по частям для определенного интеграла

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

Г де u и v – непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла

;

При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример 2:

Вычислить интеграл

Используем интегрирование по частям: В нашем случае пусть будет

Следовательно, интеграл равен

3. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объемов тел.

Фигура, ограниченная на плоскости ОХУ отрезком оси ОХ, прямыми х=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции у = f(x) на [a,b], называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла:

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b],

то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

Вычисление объемов тел вращения:

Пусть дана кривая у=f(x), a≤x≤b. Объем тела вращения, ограниченного плоскостями х= a и х=b и поверхностью вращения кривой вокруг оси ОХ вычисляется по формуле:

Аналогично можно получить формулу объема тела вращения вокруг оси ОУ

;

Длина дуги кривой вычисляется по формуле:

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, выражена как функция от х, т.е. в виде Ѕ = Ѕ(х) (а ), то объем части тела, заключенный между перпендикулярными оси Ох плоскостями х=а и х=b находится по формуле

V=

1. Дифференциальные уравнения:

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, происходящих в природе записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль в других науках и областях, таких, как биология, экономика и электротехника. Дифференциальные уравнения широко применяются в области медицины: это волновые и колебательные движения, вязкость крови, для описания медико – биологических приложений ультразвука и т. д. В действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного(числового) описания явлений.

Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значения её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменны. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Порядком или степенью дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. Формулировка второго закона Ньютона для материальной точки дает простейший пример обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с неизвестной функцией координат точки и временем, выступающим в роли независимой переменной.

О быкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

или

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной x , штрих означает дифференцирование по x . Число n называется порядком дифференциального уравнения. Решением дифференциального уравнения называется раз дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций (такое параметризованное семейство рещений, называется общим решением дифференциального уравнения), и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение. Полученное единственное решение называется частным решением.

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

П усть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать

производную виде

имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при x = x y = y и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y до y для левой части и от x до x для правой части уравнения:

Р ешая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить y(x).Значения x и y называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных -

где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

Пример1:

Решить дифференциальное уравнение

Разделим переменные:

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

Осталось лишь выразить y через x:

Найдем также нулевые решения:

Ответ:

ff*W

Запишем параметрическое уравнение эллипса: x = acos/, y = bsmt. С учетом

а 0 ■ я/2

симметрии фигуры получаем S - 4 j ydx -A j a sin t(~b sin t)dt =4ab I sin² tdt =

nil

. . t 1 -cos2/ , _ ,( 1
Aab J dt = 2ab\ t-

nab.

координаты.

Для решения задачи разобьем сектор ОАВ на секторы лучами а = (р_{а [ й} •■„_, Элемент и-ного сектора можно приближенно считать круговым сектором, ограниченным окружностью радиуса Р, =/О?,) • Площадь такого сектора