Вычисление определенных интегралов.

Практическое занятие: Вычисление определенных интегралов

Сегодня мы научимся вычислять определенные интегралы. Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, вспомним материал предыдущего урока и ответим на некоторые вопросы. Что такое определенный интеграл? В первую очередь – это число, в отличие от неопределенного интеграла, который является функцией. В общем виде определенный интеграл записывается так: . Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования. Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число, заданное формулой . Как его найти? С помощью формулы Ньютона-Лейбница:

.

То есть, для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

1) Уметь находить первообразные функций (неопределенные интегралы).

2) Уметь вычислить разность первообразных.

Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Для вычисления неопределенных интегралов мы использовали три метода интегрирования: метод непосредственного интегрирования, метод замены (введения новой переменной) и интегрирование по частям. Рассмотрим применение данных методов для вычисления определенных интегралов.

При этом, как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

Пример 1.Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Решение обычно значительно сокращают и оформляют следующим образом:

Ответ: 36.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Ответ: .

Пример 3: Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Ответ: .

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования. Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла.

Пример 4. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Вводим новую переменную: , тогда .

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап: находим новые пределы интегрирования.

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:

Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:

Продолжаем решение.

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница .

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, используем свойства логарифмов.

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что после того, как вычислили интеграл, обратную замену производить не надо.

Ответ: 0,35

Пример 5. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Проведем замену переменной: .

Найдем новые переделы интегрирования:

Ответ: .

Пример 6. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Проведем замену переменной: .

Найдем новые переделы интегрирования: ; .

.

Ответ: .

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям, которая в данном случае будет иметь вид:

.

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение:

Данный интеграл находим при помощи метода интегрирования по частям.

Затем в полученное выражение подставим соответствующее значение аргумента х.

Пусть

, тогда имеем:

Ответ:

Самостоятельная работа

Вычислите определенные интегралы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

5