Приближенное вычисление определенного интеграла

Ход урока

Время (минута)

Действия преподавателя

Действия обучающихся

Учебные материалы и ресурсы

1

2

3

4

5

1. Организационный этап

3 мин

Приветствовать обучающихся, отметить отсутствующих.

Проверить подготовленность обучающихся к учебному занятию.

Приветствовать.

Подготовится к учебному занятию.

1. Проверка выполнения домашнего задания

5 мин

Ответы на вопросы по домашнему заданию (решение примеров)

Контроль усвоения материала.

Ответить на вопросы

Показать д-е задание.

1. Подготовка обучающихся к работе на основном этапе

10 мин

Цели урока: Обучающая:  вычисление площадей фигур; вычислять определенные интегралы и площади плоских фигур, проверка сформированности умений и навыков при решении примеров на их применение;

Развивающие: - содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

Воспитывающая: воспитание дисциплины и норм поведения, творческого отношения к изучаемому предмету; стимулировать активность учащихся, повышать мотивацию к изучению математики. Тип урока: комбинированный, включающий освоение новых знаний.

Мобилизирующий момент: Слайд « Приближенное вычисление определенного интеграла»

Тема «Приближенное вычисление определенного интеграла»

1. Приближенное вычисление ОИ.

2. Формула трапеций.

3. Формула парабол.

Подготовить тетради и ручки.

Алгебра и начала математического анализа.

1. Формирование новых знаний и способов деятельности

10 мин

Консультация Приближенное вычисление определенных интегралов

При решении физических и технических задач приходится находить опре­деленные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов. Познакомимся с двумя из них: формулой трапеций и формулой парабол.

1. Формула трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл

, где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x_{0 1 2 k-1 k n} =b и с помощью прямых х=х_k построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(x_k-1 ) и f(x_k ) - соответственно основания трапеций; x_k - x_k-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Рассмотрим в качестве примера интеграл

. Точное значение этого интеграла находится просто:

Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение. Пусть n=5. Тогда имеем: a=x₀ =0, x₁ =0,2, x₂ =0,4, x₃ =0,6, x₄ =0,8, x₅ =1=b и соответственно f(x₀ )=0, f(x₁)=0,04, f(x₂ )=0,16, f(x₃ )=0,36, f(x₄ )=0,64, f(x₅ )=1. Следовательно,

Точное значение интеграла равно 0,3333...., поэтому абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих технических задач эта точность достаточна.

Если увеличить число n, то точность будет большей. Так, например, при n=10

т.е. абсолютная ошибка меньше 0,002.

В более полных курсах высшей математики доказывается, что если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную вторую производную, то абсолютная величина погрешности формулы трапеций не больше, чем

где k -наибольшее значение на отрезке [a, b].

Следует отметить, что с увеличением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла, но и объем вычислительной работы. Однако здесь на помощь приходят ЭВМ.

Вычислим по формуле трапеции интеграл

при n=10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х₀ =0, х₁ =0,1, ..., х₉ =0,9, х₁₀ =1. Вычислим приближенно значения функции f(x)=

в этих точках: f(0)=1,0000, f(0,1)=0.9091, f(0,2)=0,8333, f(0,3)=0.7692, f(0,4)=0,7143, f(0,5)=0,6667, f(0,6)=0,6250, f(0,7)=0,5882, f(0,8)= 0,5556, f(0,9)=0,5263, f(1)=0,5000.

По формуле трапеций получаем

Оценим погрешность полученного результата. Так как f(x)=1/(1+x), то

На отрезке [0, 1] имеем

. Поэтому погрешность полученного результата не превосходит величины

Вычислим точное значение данного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Абсолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности.

Идею, которая была использована при построении формулы трапеций, можно использовать для получения более точных приближенных формул для вычисления определенного интеграла

Внимательно слушать консультацию. Записывать важные информации.

Интернет. Википедия.

Алгебра и начала математического анализа.

1. Первичная проверка понимания изученного материала

5 мин

Составить диаграмму Венна на определенный и неопреленный интегралы.

Командная работа.

1. Закрепление новых знаний и способов деятельности

15 мин

2. Формула парабол. Докажем предварительно две леммы.

Лемма 1.1. Через любые три точки М₁ (х₁ ; у₁ ), М₂ (х₂ ; у₂ ), М₃ (х₃ ; у₃ ) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида

у=Ах² +Вх+С (1)

Доказательство. Подставляя в уравнение параболы (1) координаты точек М₁ , М₂ , М₃ , получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными А, В, С:

Так как числа х₁ , х₂ , х₃ различны, то определитель этой системы отличен от нуля:

Следовательно, данная система имеет единственное решение, т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно. g

Отметим, что если А¹0, то кривая (1) является параболой, если А=0, то прямой.

Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах² +Вх+С, проходящей через точки М₁ (- h; y₁ ), M₂ (0, y₂ ), M₃ (h, y₃ ) ( рис. 2) выражается формулой

(2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах² +Вх+С координаты точек М₁ , М₂ , М₃ , получаем у₁ =А h ² -В h +С ; у₂ =С ; у₃ =А h ² +В h +С , откуда следует, что

2А h ² +2С=у₁ +у₃ ; С=у₂ (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x_{0 1 22k 2k+1 2k+2 2n-12n} =b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=x_k на 2n соответствующих частей точками М₀ , М₁ , М₂ , ..., М_2 k , М_2k+1 , М_2k+2, ..., М_2n-2 , М_2n-1 , М_2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М₀ М₁ М₂ , ..., М_2 k М_2k+1 М_2k+2 , ..., М_2n-2 М_2n-1 М_2n

проведем кривую вида у=Ах² +Вх +С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x_2k , x_2k+2 ], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

Решить примеры вместе с преподавателем. Записывать важные информации.

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 Алимов Москва 2014

1. Применение знаний и способов деятельности

15 мин

Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов

Работа на доске.

1. Обобщение и систематизация знаний

5 мин

Учим термины на английском языке. The Formula Newton – Leibniz

If the function is  defined and continuous on the interval  and  is its integral (i.e.  ), then Example. As  one of the primitive then

.

1. Контроль и самоконтроль усвоения знаний и способов деятельности

10 мин

Парная работа.

Карточки с заданиями

1. Коррекция знаний и способов деятельности

5 мин

Метод «Вопрос - ответ»- обучающийся- преподаватель, обучающийся- обучающийся.

Задавать вопросы.

1. Информация о домашнем задании

2 мин

Задание на дом

Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов §, прочитать и конспектировать, №

Записать домашнее задание

Алгебра и начала анализа

1. Подведение итогов занятия и рефлексия

5 мин

Дать качественную оценку работы всей группы и отдельных обучающихся. Рефлексия «Знал… Узнал… Хочу знать…»