Оригами. Геометрия бумажного листа

Оригами. Геометрия бумажного листа

Оригами – вид декоративно-прикладного искусства, который используется для описания ремесел, связанных со складыванием из бумаги различных фигур без использования бумаги и клея. В основе оригами лежит геометрия бумажного листа, которая определяет возможности создания различных форм и фигур.

Чаще всего люди воспринимают оригами просто как способ изготовления бумажных игрушек и украшений интерьера, и мало кто задумывается о том, что это древнее искусство имеет тесную связь с математикой. 

С оригами можно знакомиться и повторять основные геометрические фигуры. Разверните фигурку оригами и посмотрите на складки – вы увидите обилие многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей. Складывание самой простой фигуры оригами включает в себя решение простейших геометрических задач на построение, таких, как построение перпендикуляра к данной прямой, построение биссектрисы угла и т.д.

В древности китайцы использовали для письма деревянные и бамбуковые дощечки и шелк. Способ фиксации знаний на дощечках был объемен и поэтому неудобен (известен факт, когда литератор династии Хань (206 г. до н.э. — 220 г. н.э.) Дуфань Шо написал для императора статью на трех тысячах древесных стволов). А шелк, хоть и являлся прекрасным материалом для письма, был слишком дорогим. Поэтому в дело шли даже самые малые его обрезки, которые смачивали и растирали между камнями. Полученную кашицу наливали на ровную поверхность и сушили под гнетом. Это была еще не бумага в строгом смысле слова, но уже шаг к ее изготовлению. Подобную технологию использовали и восточные туркмены для изготовления тончайшего войлока. Для этого они распускали в воде небольшие кусочки шерстяной нити. Их затем отлавливали ситом, отбрасывая на специальный пресс, отжимали и сушили.

К 3 г. до н.э. китайцы заменили шерсть и шелк более дешевым и доступным материалом – растительными волокнами, используя для этого толченую кору тутового дерева и размочаленные стебли бамбука. Получился совершенно новый материал - бумагу. Официальной же датой «появления» бумаги в Китае считается 105 г. н.э., когда чиновник Цай Лунь сделал официальный доклад императору о существовании такой технологии

Высушенные листки спрессованного волокнистого материала оказались прекрасным материалом для письма. Император Хен Сюай даже издал специальный указ, запрещающий писать на дереве и предписывающий использовать для письма только бумагу.

В VI-VII веке н.э. в Китае уже имели хождение бумажные деньги Фей-Тянь («летающие монеты»). Вероятно, это были первые бумажные деньги в истории человечества. В VI веке н.э. в Китае уже изготавливают настоящие бумажные книги.

Китайцы ревностно хранили секрет изготовления бумаги, технологию ее производства было запрещено вывозить за границу. Однако, согласно легенде, в начале VII в. н.э. странствующий буддийский монах Дан Хо, о котором современники говорили, что он был «богат знаниями и умел делать бумагу и тушь», добирается до Японии, где раскрывает секрет бумагоделия. Произошло это, как утверждают «Японские хроники» («Нихонги») в 610 году. А спустя столетие японцы уже производят свою собственную бумагу, которая по качеству превосходит китайскую.

Первоначально бумагу в Японии получали из коконов шелкопряда. Их варили, раскладывали на циновку, промывали в речной воде, перетирали в однородную массу, которую после отцеживания воды сушили. Верхний слой, или шелковую вату, удаляли, а на циновке оставался тонкий волокнистый слой, который после высушивания превращался в лист бумаги.

Вскоре дорогое сырье заменили более дешевым — теми же стеблями бамбука, древесной корой, коноплей, тряпьем. Появляется много мелких мастерских, производящих бумагу. Первая крупная бумажная фабрика в Токио возникла в 1870 г. К тому времени в стране было уже более 35 тысяч мастерских, где бумагу изготавливали вручную.

Старинная технология производства бумаги сохраняется в Японии и до сегодняшнего дня. Мастерам, овладевшим тайнами древних ремесел, присваивается звание «живое сокровище» и выделяется значительная стипендия. Вместе с крупнейшими фабриками, производящими ежедневно километры бумаги в рулонах, работают маленькие мастерские, где выделывают вручную отдельные дорогостоящие листы бумаги «ваши». Эта бумага очень прочная — она выдерживает несколько тысяч сгибов. На бумаге «ваши» после окончания первой мировой войны был подписан Версальский договор о мире.

В древнем Китае бумагу использовали самым различным образом, в т.ч. и в религиозных обрядах. Например, изначально было принято на похоронах вместе с покойником сжигать и весь его домашний скарб — чтобы обеспечить ему дальнейший путь на небесах. Позже из бережливости реальные вещи умершего были заменены специальными полосками бумаги, на которых писались лишь их названия (подобные полоски бумаги с напечатанными пожеланиями процветания и счастья в наши дни можно купить в мелочных лавках Китая). Из бумаги же изготовлялись и разнообразные полезные в быту вещи, вроде знаменитых подвесных фонариков. При их изготовлении использовался и прием складывания. Однако складывание фигурок из квадратных листов бумаги не получило в Китае такого же мощного развития, как в Японии. Вероятно, это объясняется тем, что японцы использовали бумагу не только для письма, производства ширм, зонтиков, окон и даже одежды, но и для наглядной демонстрации некоторых мировоззренческих идей философии дзен-буддизма.

Буддисты были первые, кто уничтожил деление мира на высокое и низкое (в отличие от западного сосредоточения на общих законах, пристрастия к крупному, приводящему к делению искусств на высокие и низкие, занятий на важные и не очень). Они обратили свое внимание на все, что непрочно, на миг, на мельчайшую малость, с замечательной целью – чтобы поймать в ней, в мелочи, дыхание вечности, ибо в мире все связано со всем. Они искали в простейшем проявления единой и неделимой истины – макото – ибо любая малость содержит ее, и надо уметь ее, Истину, там обнаружить.

Буддизм искал истину во многих направлениях, и каждый принявший его народ находил свой особенный путь к ней. Говоря о пути в буддийском понимании, стоит подчеркнуть, что разные пути к Истине в нем не конкурировали между собой, а скорее дополняли друг друга, т.к. все вели в едином направлении – к единой и неделимой Истине. В этом смысле Восток не знал религиозного фанатизма Европы.

Японские буддисты разработали поразительной силы способы, позволяющие увидеть Истину. Они открыли самый верный ее признак: красоту. Японская ветвь буддизма пошла по пути незаметного, избрала красоту показателем истины. На этом пути японцы открыли красоту недолговечности, простых вещей, налета времени на вещах.

Вот почему оригами не родилось, например, в Китае, где также был расцвет дзен- (кит. чань) буддизма. Китайцы искали истину в другом направлении, там не существовало би-до – пути красоты, т.е. представления о красоте, как пути к Истине.

Вообще же красоту, скрытую в вещах, японцы открыли в IX-XII веках, в эпоху Хэйан (794-1185 гг) и даже обозначили особым понятием «моно-но-аварэ». Это открытие идет от синто, веры в то, что каждая вещь, каждое явление, даже слова, содержат в себе ками – божество. Синтоизм, вообще, очень похож на наше язычество. Для синтоистов ками живет, поселяется особенно охотно во всем, что необычно. Например, в бумаге. А тем более в закрученном в мудреный зигзаг гохэй, который висит и сегодня перед входом в синтоистские святилища и указывает на присутствие божества в храме. Существует 20 вариантов складывания гохэй, и те, которые сложены особенно необычно, привлекают ками. С IX века в Японии живет обычай укреплять гохэй на поясах борцов сумо перед началом схватки.

До сих пор складывают в Японии ката-сиро – восемь кукол из белой бумаги, которых расставляют для предотвращения несчастий по всем восьми направлениям пространства; складывают гофу — бумажные амулеты; и нагаси-бина – символ семейной гармонии: он и она в бумажном кимоно на круглом ложе. Для изгнания злых духов и очищения храмов синтоисты до сих пор пользуются харам-гуси – метелкой, сложенной из полосок белой бумаги. Вообще роль бумаги в синто очень велика, и изделиям из нее придается эзотерический смысл.

В периоды Камакура (1185 — 1333 гг.) и Муромати (1333 — 1573 гг.) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократия и придворные должны были обладать определенными навыками и в искусстве складывания. Записки, сложенные в форме бабочки, журавля, цветка или абстрактной геометрической фигуры были символом дружбы или доброго пожелания для любимого человека. Ими удавалось порой выразить больше внимания, любви, чем это можно было сделать словами. Умение складывать стало одним из признаков хорошего образования и изысканных манер. Различные знатные семьи использовали фигурки оригами как герб и печать. Придворная дама Мурасаки Сикибу, жившая в XI в, упоминает в своей книге «Гандзи моно гатари» («Повесть о блистательном принце Гандзи») о разновидности оригами-искусстве складывания писем, когда само письмо превращалось в замысловатый конверт с украшением.

В периоды Адзути-Момояна (1573 — 1603 гг.) и Эдо (1603 — 1867 гг.) оригами из церемониального искусства превратилось в популярное времяпрепровождение. Тогда бумага перестала быть предметом роскоши и оригами начало распространяться и среди простого народа. Именно тогда, триста-четыреста лет тому назад, изобретается ряд новых фигурок, которые позже становятся классическими. Среди них и японский журавлик (цуру) — традиционный японский символ счастья и долголетия. Искусство оригами в Японии стало традицией, которая передается из поколения в поколение в основном по женской линий. Историки оригами утверждают, что по манере складывания и набору фигурок можно было определить провинцию Японии, в которой выросла и обучалась девушка.

К появлению оригами причастен синтоизм, обративший внимание буддистов на тайну листа бумаги. Немаловажным оказалось также и сходство звучания японских слов «бумага» и «божество» — «ками». В представлениях японцев возникла некая мистическая связь между религиозными ритуалами и изделиями из сложенной бумаги. Не случайно первые оригами появляются в синтоистских храмах. Один из ритуалов с их использованием состоял в изготовлении небольших бумажных коробочек санбо, которые наполняли кусочками рыбы и овощей, поднося их в качестве жертвоприношений богам.

Если говорить о классическом оригами, то в нем используется один квадратный равномерно прокрашенный листочек бумаги без ножниц и клея. Из него собирают разнообразные фигуры – это традиционные самолетики, кораблики, журавлики, лягушечки, цветочки, мордочки животных.

Дети по своей натуре большие фантазеры и творцы. Они просто обожают волшебство и сказки, дружат с чародеями и магами. И, несмотря на то, что их шалости часто связаны с отсутствием важных дел, как у взрослых, дети продолжают узнавать мир, искать что-то новое. Оригами – отличная возможность подарить им волшебный мир, в котором они смогут проявить свою кипучую фантазию и отвлечься от шалостей. Это же так важно, стать хотя бы на часок волшебником маленькой страны! Детское оригами – это еще и полезное занятие, которое развивает моторику рук, логическое, пространственное мышление и ловкость. Существует масса схем оригами для детей, в которых используется обычная цветная бумага, окрашенная с одной стороны. Оживить фигурки можно, дорисовав или приклеив им из цветной бумаги глазки, нос и рот.

Этот вид оригами появился значительно позже, чем классический. Но сегодня модульное оригами на первом месте по популярности, позволяя взрослым и детям делать удивительные гирлянды, мозаики (картины), кусудамы и составлять настоящие скульптурные композиции. Основа модульного вида оригами – заготовки или модули, которые складывают из кусочков бумаги. Модули бывают объемными и плоскими. Скрепляя их между собой, можно получить любую фигуру.

Эту технику разработала Акира Есидзава. Она использовала смоченную в воде бумагу, которую складывала и придавала моделям плавные изгибы, выразительность и некоторую жесткость. Особенно мокрое складывание актуально, если нужно сложить какие-то негеометрические фигуры, например, цветок или животное. Изделия, которые были выполнены в этой технике, максимально приближены к натуральному виду и выглядят почти оригинально.

Наглядное решение геометрической задачи с помощью оригами

Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре, что буквально означает «землемерие». А в процессе складывания фигур оригами мы учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Первоначально на уроках геометрии с использованием оригами можно познакомиться с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник), понятиями (сторона, угол, вершина угла, диагональ, смежные стороны; горизонтальные, вертикальные, наклонные линии; центр фигуры) и их свойствами. Работа по схемам, процесс складывания плоскостных фигур - это деятельность, направленная на развитие восприятия и мышления.

С помощью перегибания листа бумаги можно получать интересные решения геометрических задач, свойства многих плоских фигур становятся настолько очевидными, что нет необходимости в дополнительных разъяснениях.

Из чего же состоит любая задача оригаметрии:

1. Постановка задачи. Анализ условия, выделение заданных компонентов, исследование их свойств.

2. Решение с помощью оригами. Проверка выполнения заданного условия или построение искомой фигуры.

3. Математическое обоснование. Доказательство того, что в результате действительно получена фигура с искомыми свойствами.

Выделяют три группы задач, решаемых методом оригами:

• задачи на построение. Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого разнообразия задач;

• задачи на доказательство;

• задачи на вычисление, т.е. при помощи перегибании мы получаем какой-то математический объект (угол, отрезок, фигура) и нам необходимо вычислить его параметр, но делаем это мы уже математически.

Наглядное решение с помощью оригами:

Наметили сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.

Совместили вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точной намеченной линии сгиба.

Перегнули левую верхнюю часть фигурки и вернулись в исходное положение квадрата.

Проверим результат: Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Энциклопедия оригами Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. – Санкт-Петербург, 2000.

2. https://www.syl.ru/article/170897/new_istoriya-origami-istoriya-vozniknoveniya-origami - история возникновения оригами.

3. Афонькин С.Ю., Капитонова И.В. «Оригами и геометрия». – Чебоксары, ЧГУ, 1993.

4. С. Н. Белим. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г.

5. https://fb.ru/article/284212/vidyi-origami-iz-bumagi - виды оригами.