Основновные вопросы планиметрии "Что должен знать ученик за базовую школу по планиметрии"

ОСНОВНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (ПЛАНИМЕТРИЯ)

Это должен знать ученик за базовую школу по планиметрии

1. Две прямые

Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекающимися

_ ____________ а b

_ ____________ b разделяют плоскость на четыре

a угла, которые объединяются в

пары.

2. Три прямые

а) Среди них может не быть параллельных или такие могут быть

б) Если есть параллельные прямые, то третья прямая может быть параллельной им или пересекать

Возникает восемь углов, которые Свойство параллельных

объединяются в пары прямых:

и для которых дают специальные

названия:

соответственные; внутренние накрестлежащие,

внутренние односторонние

Свойства параллельных

1) соответственные углы равны;

2) внутренние накрестлежащие углы равны;

3) внутренние односторонние в сумме дают 180º.

Признаки параллельных:

а) Если соответственные углы равны.

б) Если внутренние накрест лежащие углы равны.

в) Если внутренние односторонние углы в сумме дают 180º.

3. Треугольник

Свойства треугольника

1. Сумма внутренних углов равна 180⁰

2. а в + с и а в – с.

3. большему углу соответствует большая противоположная сторона и наоборот.

4. теорема sin; cos.

Кроме сторон и углов треугольник имеет другие элементы:

а) внешний угол

б) средняя линия

в) медиана

г) биссектриса

д) высоты

е) площадь

4. Прямоугольный треугольник

Свойства:

1) Острые углы в сумме 90⁰

2) Теорема Пифагора.

3) Связь сторон и углов.

Признаки прямоугольного треугольника

Треугольник является прямоугольным если:

- сумма двух углов равна 90⁰

- квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон;

- одна из его медиан равна половине стороны, до которой проведена.

5. Равнобедренный треугольник

Свойства

- углы при основании равные;

- медиана, высота, биссектриса, проведенные к основанию совпадают.

Признаки

- треугольник является равнобедренным, если две стороны равные;

- два угла равные;

- медиана и высота или медиана и биссектриса, или высота и биссектриса, проведенные из

одной вершины совпадают.

6. Равенство фигур

- Признаки равенство треугольников;

- признаки равенства прямоугольных треугольников.

7. Подобие фигур

Теорема Фалеса

Признаки подобия

Свойства

Отношения любых соответствующих линейных элементов равны коэффициенту подобия k;

Отношение площадей подобных многоугольников равно k²; Отношение объемов — k³.

8. Окружность и круг

Отношение длины окружности к ее диаметру

Длина окружности c=2π R.

Площадь круга S= πR².

9. Окружность и угол

Вершина угла может:

- совпадать с центром окружности;

- принадлежать окружности;

- находиться внутри круга;

- находиться вне круга.

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Вписанный угол, который опирается на диаметр — прямой.

• Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны.

• Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сторонами данного угла, а другая — между сторонами угла, вертикального данному.

• Угол с вершиной вне круга измеряется полуразностью дуг, которые данный угол высекают из окружности.

10. Окружность и прямая

Окружность может иметь с прямой две общие точки или одну общую точку или не иметь общих точек.

Свойство касательной

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Признак касательной

Прямая является касательной, если она проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

Угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания измеряется половиной дуги, которую этот угол заключает.

Произведение частей хорды, на которые она разделяется внутренней точкой есть const,

равно R²- a² , где R –радиус круга, a- расстояние от центра до выбранной точки.

Если секущая проходит через точку вне круга, то произведение отрезков, которые соединяют эту точку с точками пересечения прямой с окружностью равно const, равная а²-R²