Основные аспекты и преимущества решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методами операционного исчисления

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (РИНХ)

Таганрогский институт имени А.П.Чехова

(филиал)

Кафедра математики

Основные аспекты и преимущества решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методами операционного исчисления

Цель

Рассмотреть преимущества операционного метода решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методами операционного исчисления, основанного на использовании преобразования Лапласа.

Актуальность

• Дифференциальные уравнения лежат в основе многих математических моделей, их изучение даёт возможность проникнуть в суть рассматриваемых физических процессов, поэтому для точности расчётов необходимо владеть различными способами решения дифференциальных уравнений.

Практическая значимость

Общий вид линейного неоднородного уравнения:

• Рассмотрим частный случай: линейное неоднородное дифференциальных уравнений n-ного порядка с постоянными коэффициентами:

• Практическую значимость представляет решение задачи Коши, то есть задачи нахождения частного решения дифференциального уравнения, которые удовлетворяют начальным условиям:

,

…

• Решение данного уравнения осуществляется методом подбора частного решения по специальному виду правой части, либо методом вариации произвольной постоянной.

Преобразование Лапласа

• Основными понятиями преобразования являются понятия функции оригинала и изображения.
• Функция оригинал- любая комплекснозначная функция у(х) действительного аргумента х.
• Изображение по Лапласу – несобственный интеграл, где у(х) оригинал.

Функция-оригинал

• Функцию действительного аргумента t удовлетворяющую условиям:
• 1) для всех отрицательных значений аргумента функция тождественно равна нулю, т.е.
• 2) функция при возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные что
• 3) на любом конечном отрезке положительной полуоси функция   и ее производные достаточно высокого порядка непрерывны или имеют конечное число разрывов 1-го рода.
• Простейшей функцией - оригиналом является единичная функция Хевисайда:

• Если функция не удовлетворяет условию, то произведение уже ему удовлетворяет, т.е. будет оригиналом.

Изображение функции

• Функция комплексной переменной определяемую соотношением

- интеграл Лапласа

• Функция F(p) определяется в полуплоскости и является в этой области аналитической функцией.
• Обозначение изображения по Лапласу функции действительного аргумента:

или

Решение дифференциального уравнения методом Лапласа

Преимущества операционного метода

• Переход от дифференциального уравнения относительно функций-оригиналов к более простому алгебраическому уравнению относительно изображений;
• Учитываются начальные условия при записи уравнений в изображениях;
• Можно найти не только частное, но и общее решение уравнения;
• Применение возможно для неоднородных уравнений с широким спектром кусочно – непрерывных функций и функций, заданных графически в правой части уравнения;
• Можно применять для решения уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Заключение

• В данном докладе были рассмотрены способы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методами операционного исчисления, а также преимущества использования данного метода на практике.

Спасибо за внимание!