Основные понятия дифференциальных уравнений

Основные понятия дифференциальных уравнений.

1) Мотивация изучения дифференциальных уравнений (ознакомиться).

В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде дифференциальных уравнений.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное  Лейбницем и Ньютоном (1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

2) Изучение нового материала. Определим дифференциальные уравнения и их порядок (записать в конспект).

Дифференциальное уравнение (в дальнейшем ДУ) - это уравнение, обязательно содержащее хотя бы одну производную функции или дифференциал функции и не обязательно саму функцию и независимую переменную.

Порядок ДУ определяется порядком старшей производной в уравнении.

Например:

у' + х = 2 - это ДУ 1-го порядка,

у'' - у' + у = 0 - это ДУ 2-го порядка,

у''' = 1 - это ДУ 3-го порядка.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Во всех уравнениях присутствует хотя бы одна производная, сама функция у и независимая переменная х в записи уравнения могут отсутствовать.

3) Изучение нового материала. Определим решение дифференциального уравнения (ДУ) (записать в конспект).

Решением ДУ называется любая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение будет получено тождество.

Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием дифференциального уравнения, график решения называют интегральной кривой.

Если функция, удовлетворяющая ДУ, задана неявно, то говорят об интеграле уравнения.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Искомой величиной в ДУ является функция.

Уже сейчас мы можем решать простейшие задачи с дифференциальными уравнениями.

Пример 1. Проверить, что функция у = является решением ДУ у'' + у = 0.

Для того, чтобы решить данное задание необходимо подставить предложенную функцию в уравнение и убедиться, что оно станет тождеством.

Для подстановки в дифференциальное уравнение у'' + у = 0 предложенной функции мы имеем у = и дополнительно найдём у'', последовательно дифференцируя функцию у = :

у = ,

у' = - ,

у'' = - .

Подставим в левую часть уравнения вместо у'' - , а вместо у :

у'' + у = 0,

- + = 0.

Сравним левую и правую часть уравнения:

0 = 0.

Мы получили тождество, а значит предложенная функция у = является решением ДУ у'' + у = 0.

Пример 2. Выяснить, является ли решением ДУ у'' - у' = у функция у = х².

у'' - у' = у.

Найдём дополнительно и последовательно у' и у'':

у = х²,

у' = 2х

у'' = 2.

Подставим в левую часть уравнения вместо у'' число 2, вместо у' 2х:

у'' - у' = 2 - 2х.

В правую часть вместо у х²:

у = х².

Сравним левую и правую части:

2 - 2х ≠ х².

А это значит, что предложенная функция у = х² не является решением дифференциального уравнения у'' - у' = у.

4) Изучение нового материала. Рассмотрим виды решений ДУ и определим их (записать в конспект).

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Решая ДУ, мы можем получить общее решение и частное решение.

Решение ДУ, содержащее столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называют общим решением этого уравнения.

Например:

у = х² + 4х + С - это общее решение ДУ 1-го порядка (С одно),

у = х³ - х + - это общее решение ДУ 2-го порядка (имеем и ).

Геометрически общее решение ДУ определяет семейство кривых.

При наличии начальных условий вида у( ) = , или х = у = или ( ),

кроме общего решения ДУ, мы можем найти частное решение ДУ или, говорят, решить задачу Коши.

Общее решение находим первым, а частное можем найти только при наличии начальных условий.

Пример 3. Зная общее решение у = х² + С ДУ и начальные условия у(1) = 2, найти частное решение ДУ.

Возьмём общее решение и начальные условия:

у = х² + С, у(1) = 2.

Подставим в общее решение вместо у число 2, а вместо х число 1:

2 = 1² + С.

Поменяем местами левую и правую часть уравнения (знаки не меняются, если замена полная):

1² + С = 2.

Решим простейшее линейное уравнение относительно переменной С:

С = 2 - 1²,

С = 1.

Вернёмся в общее решение ДУ и заменим С на полученное значение:

у = х² + 1.

Мы получили частное решение или решили задачу Коши.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! В записи общего решения дифференциального уравнения мы имеем множество решений благодаря наличию постоянных, которые можно заменять числовыми значениям, а частное решение - это одно решение из множества.

5) Изучение нового материала. Определим простейшее дифференциальное уравнение 1-го порядка и рассмотрим метод его решения (записать в конспект).

Дифференциальное уравнение (в дальнейшем ДУ) вида у' = f (х) называется простейшим ДУ 1-го порядка.

Для нахождения общего решения простейшего ДУ 1-го порядка необходимо проинтегрировать правую часть уравнения.

Пример 4. Решить ДУ у' = 9х² + 6х - 1.

у' = 9х² + 6х - 1 - это простейшее ДУ 1-го порядка, так как имеет такой вид у' = f (х).

Решая ДУ, мы находим функцию у. Для этого возьмём интеграл от правой части уравнения:

у = )dx.

Найдём неопределённый интеграл методом непосредственного интегрирования, используя свойство интеграла суммы и табличные интегралы:

у = + - х + С.

Упростим правую часть:

у = + - х + С - это общее решение ДУ.

Пример 5. Решить ДУ у' = 2х² - 3х - 7. Решить самостоятельно.

Если в условии задания будут заданы начальные условия, то кроме общего решения ДУ, мы можем найти частное решение ДУ.

Пример 6. Решить ДУ у' = , если х = 0, у = 1.

у' = - это простейшее ДУ 1-го порядка.

Сначала найдём общее решение:

у = dx.

Это табличный интеграл:

у = + C - это общее решение ДУ.

В условии имеем начальные условия х = 0, у = 1.

Подставим их в общее решение и найдём значение постоянной С:

1 = + С,

1 = + С,

+ С = 1,

С = 1 - - мы получили числовое выражение.

Подставим найденное значение С в общее решение ДУ:

у = + 1 - - частное решение ДУ.

Пример 7. Решить ДУ у' = , если х = 0, у = 2. Решить самостоятельно.

6) Изучение нового материала. Определим простейшее дифференциальное уравнение 2-го порядка и рассмотрим метод его решения (записать в конспект).

Дифференциальное уравнение (в дальнейшем ДУ) вида у'' = f (х) называется простейшим ДУ 2-го порядка.

Для нахождения общего решения простейшего ДУ 2-го порядка необходимо дважды проинтегрировать правую часть уравнения.

Пример 8. Решить ДУ у'' = 4х² + х - 3.

у'' = 4х² + х - 3 - это простейшее ДУ 2-го порядка.

Необходимо найти функцию у. Для этого сначала найдём у', проинтегрировав правую часть уравнения:

у' = dx.

Найдём неопределённый интеграл:

у' = + - 3х + (постоянную обозначили , так как их две).

Найдём у, проинтегрировав правую часть полученного уравнения:

у = dx.

у = .

Упростим:

у = - это общее решение простейшего ДУ 2-го порядка.

Пример 9. Решить ДУ у'' = . Решить самостоятельно.

Если в условии задания будут заданы начальные условия, то кроме общего решения ДУ, мы можем найти частное решение ДУ.

7) Домашнее задание: изучить и составить конспект, решить ДУ у' = 6 + 7х - 2, у'' = 7 +6.