Основные понятия комбинаторики

Основные понятия комбинаторики.

Факториал числа – это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал восклицательным знаком n!

0! =1 1! = 1

Пример. Вычислить факториалы следующих чисел: 3! 5!

3! = 1·2·3 = 6 5! = 1·2·3·4·5 = 120

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

(Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.)

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, - комбинаторикой. Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

Размещения

Определение. Размещениями из m элементов по n элементов

( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения

Число размещений из m элементов по n обозначают (от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

Пример 1.

Пример 2.

Перестановки

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле:

Сочетания

Определение.

Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример 3.

Пример 4.

При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Закрепление материала

Задание: выполнить вычисления ниже таблицы, а в таблицу записать только ответы (без заданий)