Основные методы решения алгебраических уравнений высших степеней

предметные

познавательные

коммуникативные

регулятивные

спроектировать, обобщить и систематизировать основные методы решения уравнений высших степеней, проверить умения находить решение для уравнений различного типа, а также подобрать наиболее простой алгоритм для решения уравнения с помощью языка программирования.

*общеучебные

-формулирование цели

*действия постановки и решения проблемы

- формулирование проблемы

-самостоятельное создание способов решения проблем поискового и творческого характера

*планирование

- определение цели

- способов взаимодействия партнеров

*постановка вопросов

-инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации

*управление поведением партнера, точностью выражать свои мысли

- контроль, коррекция , оценка действий партнера, умение выражать свои мысли

*целеполагание

- постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что еще не известно

*волевая саморегуляция

-способность к волевому усилию преодоления препятствий

-способность к мобилизации сил и энергии

*оценка

- осознание и выделение того, что уже известно и что еще подлежит усвоению

- осознание качества и уровня усвоения

*прогнозирование

*контроль

*коррекция

*планирование

- составление плана и последовательности действий

Тема «Основные методы решения алгебраических уравнений высших степеней»

Мои достижения

Сомневаюсь в правильности

Планирую проверить решение через составление программы

Знаю алгоритм решения

Умею решать

(2 - х)⁶ + 9(2 – х)³ + 8 = 0

2х⁴ + х³ – 6х² + х + 2 = 0

4х³ + 2х² – 8х + 3 =0

х⁴ – 4х³ + 4х² = (7х + 1)²

x⁵ – x⁴ – 7x³ + 7x² + 12x – 12 = 0

Вывод

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1.Самоопределение к деятельности

Цель: включение детей в деятельность на личностно – значимом уровне

Слайд №1

Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас с вами не совсем обычный урок. Сегодня мы выступим в роли исследователей и попробуем решить несколько уравнений степени выше 3.

Откройте, пожалуйста, тетради, запишите число, классная работа. Как бы вы определили сегодняшнюю тему урока? Слайд №1

Тема сегодняшнего урока «Основные методы решения алгебраических уравнений высших степеней».

Включение в деятельность. Здороваются с учителем

Высказывают свои предположения по теме урока.

Личностные (мотивация к изучению предмета)

2.Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

3. Первичное усвоение нового материала

Цель: создать проблему решения уравнения высшей степени

Слайд №2

С какими способами решения уравнений высших степеней вы уже знакомы? А какой метод решения вам предлагал на своих лекциях профессор СФУ Дураков Евгений Борисович? Можем мы его добавить на слайд? Что подразумевает метод разложения на множители?

Как вы думаете, данные методы будут «работать» при решении любых уравнений?

Хорошо. Попробуйте решить данное уравнение.

Задание группам: решить уравнение Слайд №3

(проблема)

Почему у вас не получается решение задачи?

Так какая, по вашему мнению, у нас сегодня будет цель урока? Слайд №4

Учебная цель: (вывесить отдельно на доске) обобщить и систематизировать основные методы решения уравнений высших степеней (n≥3). Спроектировать алгоритм рассуждений при подборе наиболее эффективного метода решения уравнения высшей степени. Проверить умения определять наиболее эффективный способ решения уравнения высшей степени по его виду, а также подобрать наиболее простой алгоритм для решения уравнения с помощью языка программирования.

Что мы должны сделать в процессе урока?

Поэтому, в процессе занятия мы должны выяснить, почему не удалось самостоятельно найти решение данного уравнения, разобрать его решение и решить это уравнение, а также несколько других.

Устно отвечают на вопросы, работая индивидуально

Метод дихотомии (деление отрезка пополам)

Высказывают предположения.

Затрудняются в решении

Определяют и формулируют проблему

Методом разложения на множители решить данное уравнение не получается, графическим- тоже. Методом введения новой переменной- не получается.

Определяют цели на урок.

Высказывают предположения о задачах урока.

Познавательные (вспоминание информации, ранее изученной, развитие внимательности на задании «с подвохом»)

Регулятивные :в ситуации затруднения регулируют мысли

Коммуникативные: выражают свои мысли и аргументируют

4.Построение проекта выхода из затруднения

Цель:

практическим методом подобрать способ решения уравнения

Попробуйте теперь подобрать методы для решения следующих уравнений. Начнем с анализа. Перед вами на столах карточки для устной работы с уравнениями. Слайд №5

(На слайде написаны 8 уравнений+ дополнительно на доске)

а) 4х³ +6х² + 4х + 1 = 0

б) х³ –3х² – х + 3 = 0

в) х³ - 4х² + х + 6 = 0

г) (х²-х+3)² – 3(х²-х+3)(10х-1) + 2(10х-1)²=0

д) (х-2)(х+1)(х+4)(х+7) = 63

е) 2х⁴ – 7х³ + 10х² – 7х + 2 = 0

ж) 16х³ -28х² + 4х + 3 = 0

з) х³ =10 – х

Вопрос: Для нахождения решения уравнения высшей степени можем ли мы воспользоваться какой-либо формулой, или лучше воспользоваться какой-нибудь схемой рассуждения?

С какого вопроса начинаем рассматривать проблему? Слайд №6

Итак, первый метод (высвечивается на слайде 7):

1. Разложение на множители.

Сразу же к нему вопросы:

- в каком случае следует рассматривать этот метод?

- какое уравнение из восьми предложенных вы стали бы решать этим методом?

Запишите в вашей таблице

(выбирается нужное уравнение и заносится в таблицу к методу).

- если уравнение нельзя разложить на множители, какой следующий способ следует рассмотреть?

2. Введение новой переменной.

Вопрос:

- в каком случае этот метод имеет место?

- какое уравнение из предложенных вы стали бы решать этим методом?

- что дает замена переменной?

(выбирается нужное уравнение и заносится в таблицу к методу). И т.д. на слайде высвечивается цепочка методов:

3. Нахождение целого корня по следствию из теоремы Безу

- как звучит следствие из теоремы Безу?

- что позволит сделать нахождение целых корней?

- выберите уравнение, которое решается подобным образом

4. Замена х= , если это уравнение 3-ей степени с различными коэффициентами и свободным членом, равным 1. Слайд №7

-к чему приводит такая замена?

- какое уравнение следует решать подобным образом?

5. Выделение множителя (ах)³=8 и замена ах=t. В каком случае используется?

- можно ли считать этот метод универсальным?

- почему не стоит злоупотреблять этим методом?

- какое уравнение можно решить подобным образом, не меняя его коэффициентов?

6. Деление на х² и замена (х+)=t, если это возвратное уравнение типа ах⁴+вх³+сх²+вх+а=0.

- какое уравнение имеет возвратный вид?

- какое уравнение вы станете решать подобным образом?

- если уравнение четвертой степени, но не является возвратным, то на что надо обратить внимание при его решении? Слайд №8

7. Умножение крайних и средних членов с последующей заменой группы слагаемых, если это уравнение типа: (х+а)(х+в)(х+с)(х+d)=m.

- на что следует обратить внимание?

- что дает данный метод?

Слайд №9 Какое в итоге у нас осталось уравнение?

Вопрос: какие методы при решении уравнений высших степеней не были рассмотрены?

- каким методом вы станете решать уравнение з)?

- можно ли данное уравнение решить каким-либо другим способом?

Слайд №10

Вопрос: если уравнение 4-ой степени не является возвратным, его свободный член не является квадратом какого-либо числа и оно не разложено на произведение четырех скобок, то как следует поступать в этом случае?

Слайд №11

Таким образом, какой вывод мы можем сделать о методе решении уравнения высшей степени?

Вывод (на слайде): т.о., любое уравнение высших степеней может иметь как единственный способ решения, так и несколько способов решения, а также может состоять из комбинации различных методов. При решении любого уравнения следует придерживаться предложенной схемы анализа для нахождения наиболее рационального решения.

Слайд №12

Так каким же методом следовало решать первоначальное уравнение? Проанализируйте его по схеме и попробуйте решить.

Предложить группам решить данное уравнение как минимум двумя способами:

Слайд №13

Введение новой переменной: (дать время решить, а затем проверить )

Можно ли решить это уравнение другим методом? Слайд №14

Упрощение выражения и применение следствия из теоремы Безу.

После того, как группы выполнили работу, предлагается одному человеку из группы проанализировать ее и сверить с эталоном

Формулируют гипотезу о том, что не существует универсального метода решения уравнений высших степеней, а решать каждое конкретное уравнение необходимо отдельно, исходя из условий задания

Озвучивают свои гипотезы

Ответ: можно ли уравнение разложить на множители.

Ответ: если правая часть равна нулю и коэффициенты позволяют использовать способ группировки

Это уравнение б).

Записывают в таблицу метод решения

Ответ: если есть общая группа членов

Ответ: это уравнение г)

Ответ: позволяет упростить уравнение при наличии свободного члена

Ответ: если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена

Ответ: по схеме Горнера понизить степень уравнения и тем самым, найти все корни уравнения

это уравнение в)

Ответ: происходит изменение свободного члена, что значительно расширяет возможность найти целые корни уравнения

это уравнение а)

Ответ. Осли это уравнение 3-ей степени с различными коэффициентами и свободным членом, не равным 1.

Ответ: да, т.к. всегда можно получить куб первого члена, умножив каждый член уравнения на соответствующий множитель

Ответ: умножение на множитель увеличивает свободный член и тем самым, создает сложности в определении целых корней уравнения

Это уравнение ж)

Ответ: уравнение четвертой степени, коэффициенты которого симметричны относительно среднего члена

это уравнение е)

Ответ: будет ли свободный член являться квадратом некоторого числа. В этом случае надо попытаться его также разделить на х²

Ответ: произведение скобок должно быть упорядочено

Ответ: позволяет выделить общую группу слагаемых и решить уравнение заменой

то уравнение д)

х³=10-х

Ответ: графический, метод дихотомии

Ответ: легко решается графически - это кубическая парабола и прямая.

Ответ: да, судя по корню, его можно было решить по следствию из теоремы Безу, найдя целый корень, а также методом деления отрезка пополам (метод дихотомии)

Ответ: Алгоритм: надо вернуться к первому методу и попытаться найти способ решения, анализируя каждый метод. Дойдя до 5 пункта, выделить (ах)⁴ первого члена. Т.о, наша схема подбора метода решения является цикличной.

Исходя из этого, можно сделать вывод о подтверждении гипотезы о том, что нет универсального метода решения уравнений высших степеней, а для каждого уравнения надо подбирать метод решения индивидуально, и в этом может помочь данный алгоритм.

Решают в группе, записывая решение на листах формата А3

Способ 1:

(х²-2х-1)² + 3(х-1)² = 16, Замена: (х-1)²=t, тогда х² - 2х = t-1

(t-2)² + 3t = 16,

t² – t - 12 = 0,

t = 4, или t = -3,

(х-1)² = 4, (х-1)² =-3,

х = 3 или х=-1. решения нет.

Ответ: -1; 3.

Способ 2:

(х²-2х-1)² + 3(х-1)² = 16,

х⁴ – 4х³ + 5х² -2х – 12 = 0, х = -1 - целый корень уравнения.

По схеме Горнера:

(х+1)(х³ - 5х² + 10х - 12)=0, х = 3 –целый корень уравнения х³ - 5х² + 10х – 12=0,

По схеме Горнера:

(х+1)(х – 3)(х² -2х + 4) = 0. D² -2х + 4 = 0 корней не имеет.

Ответ: -1; 3.

Личностные (мотивация к изучению темы);

Регулятивные (постановка цели)

5. Физминутка

Предлагает выполнить упражнения для глаз Слайд №15

Выполняют упражнения для глаз

6. Проверка умения правильно выбрать метод и решить предложенные уравнения.

Исследовательским методом попробуйте решить предложенные уравнения (работаем в группах, в каждой группе 13 уравнений.) Каждый член группы должен решить не менее двух уравнений. Слайд №16

Вариант 1. (2 - х)⁶ + 9(2 – х)³ + 8 = 0

Вариант 2. 2х⁴ + х³ – 6х² + х + 2 = 0

Вариант 3. 4х³ + 2х² – 8х + 3 =0

Вариант 4. х⁴ – 4х³ + 4х² = (7х + 1)²

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8. x⁵ – x⁴ – 7x³ + 7x² + 12x – 12 = 0

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Работа в группах, где ребята решают проблему, выполняя практическую работу.

Их задача: распределить роли, какие уравнения и кто будет решать, решить уравнения, а затем каждому записать свое решение в свой лист решения.

Регулятивные:

-целеполагание учебной задачи,

-планирование,

-прогнозирование.

Познавательные: - поиск выхода из затруднительной ситуации, анализ информации, выявление закономерностей и формулирование выводов

Коммуникативные: умение работать в группе и умение слушать и слышать

Группы закончили свою работу. Проанализируйте свою работу: что у вас получилось, а что нет.

Я попрошу вас высказать свое мнение о вашей работе.

Какие уравнения вы не взялись решать и почему?

Анализируют свою работу (как работали, сколько уравнений решили, что вызвало затруднения, а что получилось, какие уравнения не взялись решать и почему)

7. Домашнее задание

Цель: обсуждение домашнего задания

Откройте дневники, запишите домашнее задание согласно вашему усвоению темы. Слайд №17

Записывают домашнее задание

8. Рефлексия

Цель: организовать рефлексию по поводу мотивации своей деятельности, взаимодействия с учителем и одноклассниками, организация дальнейшей деятельности

Вспомните поставленную цель в начале урока и ответьте на вопрос: лично вами была ли она достигнута и какими знаниями вы могли бы поделиться. Запишите в листах успеха свои результаты работы.

Слайд №18

Так какой же метод решения алгебраических уравнений наиболее удобен для составления программы на языке программирования?

Записывают в лист успеха свои результаты, согласно целей и задач

Озвучивают свои мысли по поводу написания программы на языке Паскаль.

Познавательные: оценка процессов и результатов деятельности

Регулятивные: осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению

9. Итог урока

Цель: включение нового знания в систему знаний

Слайд №19

Все ученики, кто справился с заданием, получают оценку 5 (перечислить фамилии детей). Кто уравнения не смог решить или не успел довести решение до конца, не отчаивайтесь: я проверю ваши работы и проанализирую результат на следующем занятии. В любом случае вы уже смогли увидеть все ошибки, которые вы допустили, а это уже результат.

В начале нашего урока вы поставили перед собой учебную цель, но не знали главного: наш урок – итог исследовательской и проектной работы, которую мы провели вместе, решив множество уравнений.

Вы помните весь процесс познания, с каким трудом вам давалось решение первых уравнений, как появилась идея привести методы решения в систему и создать циклическую форму исследования любого уравнения. Ваша деятельность показала, как на базе школьного учебника можно проводить исследовательскую работу, навыки которой обязательно пригодятся вам в будущем при выполнении различных проектов.

Помните, что работа не имеет никакого смысла, если в ней нет элемента исследовательской деятельности. Следующим уроком у вас будет информатика, и я предлагаю вам написать на языке Паскаль программу, которая решала бы ваши уравнения и таким образом проверить себя еще раз. А вдруг вы пропустили какой-либо корень или неверно решили уравнение. На следующем уроке алгебры вы мне сдадите свои листы решения, а сейчас мне только нужны ваши листы успеха.

Закончить урок я хочу словами академика Марчука «Бойтесь поверхностного подхода к познанию – это закроет вам путь к творчеству», а вы люди - творческие и я желаю вам всего самого наилучшего.

Анализируют свою работу

Личностные: умение анализировать и характеризовать состояния в связи с изучением новой темы; оценивать собственную учебную деятельность; свои достижения, самостоятельность, ответственность, причины неудач