Особенности формулы Пика при решении геометрических задач на клетчатой бумаге

Особенности формулы Пика при решении

геометрических задач на клетчатой бумаге

Выполнил:

Кашин Егор

8 «Б» класс

Руководитель:

Мягкова Е.В.

«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах 

или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая 

хорошим образцам и постоянно практикуясь» 

(Д. Пойя).

Гипотеза: мы считаем, что вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части.

Объект исследования: формула Пика для вычисления площадей многоугольников.

Предмет исследования : задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования: сравнение, обобщение.

Цель исследования: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Задачи:

1) Изучить литературу по данной теме.

2) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.

3) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

4) Сравнить и проанализировать результаты исследования.

Многоугольник - это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломанная, имеющая больше одного угла.

Площадь - это величина пространства, которое ограниченно замкнутым контуром (периметром фигуры).

Немаловажным фактором является то, что необходимость определить величину площади чего-либо возникает в нашей жизни очень часто. Для примера возьмём обычный ремонт квартиры или дома.

Сколько раз приходится вычислить площадь комнаты, потолка, стен, пола и т.д.

Нам постоянно приходится слышать о площади геометрических фигур, и можно полноценно сказать, что это одна из наиважнейших составляющих всей геометрии, как научной дисциплины.

Георг Александр Пик (10.09.1859 – 13.07.1942)

Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье. Его отец Адольф Йозеф Пик возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), а затем поступил сразу в четвёртый класс гимназии.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени, однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна.

Формула Пика

S   = В + Г / 2 − 1

S — площадь многоугольника

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника

Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. • Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.

Например, для многоугольника на рисунке, В=7 (красные точки), Г=8 (зелёные точки), поэтому S = 7 + 8/2 - 1 = 10 квадратных единиц.

Результаты опроса показали то, что более 30 % учащихся 9-х классов не знают формулы площади прямоугольника, квадрата и трапеции.

Применение формулы Пика

Данный вид задач (нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге) входит в один из разделов части В единого государственного экзамена по математике.

Ознакомление с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач.

Приведем несколько примеров из заданий ОГЭ и ЕГЭ на нахождение площадей многоугольников.

Рассматривая задачи на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнивая результаты в таблицах, я показал справедливость формулы Пика и приш ёл к выводу, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле геометрии.

Итак, моя гипотеза оказалась верной.

Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны и их легче и быстрее решать с помощью формулы Пика.

Спасибо

за

внимание!