Особые случаи пересечения тел вращения

 На рис. 9.14 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае цилиндр врезается в конус, так как, если вписать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором случае конус врезается в цилиндр, так как сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем случае сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности. В пересечении участвуют все образующие и цилиндра, и конуса, а пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые второго порядка - эллипсы. 

   Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка могут быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка. 

   На рис. 9.15 показано построение линии пересечения двух цилиндров вращения, заданных своими фронтальными проекциями. Пусть оси данных поверхностей пересекаются и лежат в плоскости, паралельной плоскости П₂. В эти поверхности можно вписать третью поверхность - сферу, которая будет касаться двух цилиндров по окружностям, пересекающимся в точках С и D. На основании теоремы Монжа данные цилиндрические поверхности пересекутся по двум эллипсам, плоскости которых будут проходить через отрезок CD (точки пересечения окружностей соприкосновения сферы и пересекающихся поверхностей). Фронтальные проекции эллипсов изобразятся отрезками прямых А₂В₂ и E₂F₂. На чертеже построен натуральный вид одного из эллипсов с осями АВ и CD (АВ = А₂В₂, CD равна диаметру цилиндров). 

 Рис. 9.14.  Рис. 9.15.

   Следствие из теоремы Монжа. Если плоскость осей поверхностей второго порядка параллельна плоскости проекций, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка проецируется на эту плоскость в кривую второго порядка. Так на рис.9.12 и 9.14а,б пространственные кривые спроецировались в гиперболы.