Отборочный этап олимпиады Ломоносов.

1. Какое наибольшее количество подарков для детей можно собрать из 234 пряников, 546 конфет и 156 шоколадок, чтобы в каждом подарке было одинаковое количество пряников, одинаковое количество конфет и одинаковое количество шоколадок и все пряники, конфеты и шоколадки были использованы?

2. Найдите значение выражения

если , а b и c - корни уравнения .

3. На окружности пытаются разместить 11 черных и 45 белых точек так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?

4. Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в 17 раз после отбрасывания первой цифры. В ответе укажите сумму всех таких чисел.

5. В треугольнике со сторонами на основании выбрана точка так, что . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников . При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.

6. Найдите наибольшее значение величины , если известно, что

7. Решите уравнение В ответе укажите сумму всех решений, принадлежащих промежутку , при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

8. В правильной четырёхугольной пирамиде с вершиной ребро основания равно , угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен . Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной , причём так, что в это сечение можно вписать окружность. Найдите всевозможные значения радиусов этих окружностей. В ответ запишите сумму целых значений таких радиусов.

9. Найдите минимальное число, принадлежащее множеству значений функции

10. Найдите все значения , при каждом из которых ровно два целых значения x удовлетворяют неравенству . В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений y.